3.2/复数的运算
3．2.1 复数的加法与减法
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复数的加法与减法
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已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？
提示：满足．
问题3：利用问题1的结果试说明复数加法满足交换律．
提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i，
∴z1＋z2＝z2＋z1.
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复数的加法与减法
(1)运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律：
设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
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复数加减法的几何意义
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如图，分别与复数a＋bi，c＋di对应．
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问题1：试写出，及＋，－的坐标．
提示：＝(a，b)，＝(c，d)，
＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)．
问题2：向量＋，－对应的复数分别是什么？
提示：向量＋对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2，向量－对应的复数是a－c＋(b－d)i，也就是z1－z2.
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若复数z1，z2对应的向量分别为，
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数
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复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
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1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．
2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如(3－2i)＋2i＝3.
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复数的加法与减法运算
[例1] 计算
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 013－2 014i)．
[思路点拨] 根据复数加、减运算的法则进行运算．
[精解详析] (1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2011－2012＋2 013)＋(－2＋3－4＋5－…－2012＋2 013－2 014)i＝1 007－1 008i.
[一点通] 复数的加法运算类似于多项式的合并同类项，首先正确确定各个复数的实部、虚部，再将所有实部和虚部分别求和，最后将实部和作为实部，虚部和作为虚部，写出复数的代数形式，注意减法要将减数的实部、虚部变为相反数进行求和．
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1．实数x ，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：由题意得x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴
∴xy＝1.
答案：A
2．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．
解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；
(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
3．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，求复数a＋bi.
解：z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)
＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0.
∴得
∴a＋bi＝－2－i.
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复数加减法的几何意义
[例2] 已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数及AD的长．
[思路点拨] /
→→
[精解详析] 设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i.由已知知＝，
∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.
∴∴
即D点对应的复数为3＋5i.
||＝|zD－zA|＝|2＋2i|＝2.
[一点通]
(1)根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．
(2)利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
(3)复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．
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4．已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则向量所表示的复数的模为( )
A. B.
C. D.
解析：＝＋，
∴向量对应的复数是(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
且|1＋3i|＝＝.
答案：C
5．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求点C对应的复数．
解：∵对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，
∴＝－对应的复数为
(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵＝＋，
∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
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1．根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和．
2．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．
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1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
解析：原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
答案：A
2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z对应的点为(－1，－3)，在第三象限．
答案：C
3．在复平面内，向量，对应的复数分别为－1－8i，－2－3i，则对应的复数为( )
A．－1－5i B．－1＋5i
C．－3＋11i D．1－5i
解析：＝－＝(－2－3i)－(－1－8i)＝－1＋5i.
答案：B
4．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4
C．4 D．16
解析：由|z－4i|＝|z＋2|得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥2 ＝2 ＝4，当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
答案：C
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴解得a＝－1.
答案：－1
6．若复数z满足z－1＝cos θ＋isin θ，则|z|的最大值为________．
解析：∵z－1＝cos θ＋isin θ，∴z＝(1＋cos θ)＋isin θ，
∴|z|＝ ＝
≤ ＝2.
答案：2
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解：z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z＝13－2i，且x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
8．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
解：(1)由题意知，复平面内A，B，C三点坐标分别为(1,0)，(2,1)，(－1,2)，
＝－＝(2,1)－(1,0)＝(1,1)，
＝－＝(－1,2)－(1,0)＝(－2,2)，
＝－＝(－1,2)－(2,1)＝(－3,1)，
所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因为||2＝10，||2＝8，||2＝2，
所以有||2＝||2＋||2，
所以△ABC为直角三角形．
课件20张PPT。第三章把握热点考向理解教材新知应用创新演练3.2
复数的运算3.2.1
复数的加法与减法考点一考点二知识点一知识点二应用创新演练见课时跟踪训练(十九)课时跟踪训练(十九) 复数的加法与减法
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在复平面内，向量，对应的复数分别为－1－8i，－2－3i，则BC―→对应的复数为( )
A．－1－5i B．－1＋5i
C．－3＋11i D．1－5i
4．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4
C．4 D．16
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
6．若复数z满足z－1＝cos θ＋isin θ，则|z|的最大值为________．
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
8．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
答案
1．选A 原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
2．选C z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z对应的点为(－1，－3)，在第三象限．
3．选B ＝－＝(－2－3i)－(－1－8i)＝－1＋5i.
4．选C 由|z－4i|＝|z＋2|得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
5．解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴解得a＝－1.
答案：－1
6．解析：∵z－1＝cos θ＋isin θ，∴z＝(1＋cos θ)＋isin θ，
∴|z|＝ ＝
≤ ＝2.
答案：2
7．解：z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z＝13－2i，且x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
8．解：(1)由题意知，复平面内A，B，C三点坐标分别为(1,0)，(2,1)，(－1,2)，
＝－＝(2,1)－(1,0)＝(1,1)，
＝－＝(－1,2)－(1,0)＝(－2,2)，
＝－＝(－1,2)－(2,1)＝(－3,1)，
所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因为||2＝10，||2＝8，||2＝2，
所以有||2＝||2＋||2，
所以△ABC为直角三角形．
