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1.1/独立性检验
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相互独立事件
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从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任意抽取一张，设事件A＝“抽出的是写有偶数的卡片”，B＝“抽出的是写有3的倍数的卡片”．
问题1：计算P(A)，P(B)．
提示：P(A)＝＝，
P(B)＝＝.
问题2：把事件A，B同时发生记作AB，计算P(AB)．
提示：P(AB)＝.
问题3：P(A)，P(B)，P(AB)之间有什么关系？
提示：P(AB)＝P(A)·P(B)．
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1．定义
一般地，对于两个事件A，B，如果有P(AB)＝P(A)P(B)，就称事件A与B相互独立，简称A与B独立．
2．性质
当事件A与B独立时，事件与B，A与，与也独立．
3．定义的推广
如果有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)，则称事件A1，A2，A3，…，An相互独立．
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独立性检验
1.2×2列联表
B
合计
A
n11
n12
n1＋
n21
n22
n2＋
合计
n＋1
n＋2
n
其中：n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.
2．独立性检验
(1)χ2统计量的表达式χ2＝.
(2)经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635
①当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；
②当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；
③当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的．
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1．事件的独立性，A与B，与B，A与，与只要有一对相互独立，其余三对必然也相互独立．
2．在列联表中，如果两个事件没有关系，则应有n11n22－n12n21≈0，因此|n11n22－n12n21|越小，说明两个事件之间关系越弱；|n11n22－n12n21|越大，说明两个事件之间关系越强．
3．利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越准确．如果抽取的样本容量很小，那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性．
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事件的独立性
[例1] 一个家庭中有若干个小孩，假设生男孩和生女孩是等可能的，设A＝{一个家庭中有男孩，又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形讨论事件A与事件B的独立性．
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[思路点拨] 利用P(AB)与P(A)P(B)是否相等来判定．
[精解详析] (1)有两个小孩的家庭，对应的样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，有4个基本事件，每个基本事件发生的概率均为，
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A与事件B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
由等可能性知，每个基本事件发生的概率均为，
这时A中有6个基本事件，B中有4个基本事件，AB中含有3个基本事件，
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
P (A)P(B)＝，
即P(AB)＝＝P(A)P(B)成立，所以事件A与事件B是相互独立的．
[一点通] 事件A与事件B相互独立的检验，应充分利用相互独立的定义，验证P(AB)与P(A)P(B)是否相等，若相等则相互独立；若不相等，则不相互独立．解决这一类问题，关键在于准确求出基本事件空间中的基本事件总数，确定事件A与事件B的概率．另一个关键点是正确理解题意，分析出事件AB中的基本事件的个数，求出P(AB)，即事件A与事件B同时发生的概率．
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1．从一副52张的扑克牌(不含大小王)中，任意抽出一张，设事件A：“抽到黑桃”，B：“抽到皇后Q”，事件A与B 及与是否独立？
解：从52张扑克牌中任意抽出一张的基本事件空间Ω中的基本事件总数为52，
事件A“抽到黑桃”的基本事件数为13，所以P(A)＝＝.
事件B“抽到皇后Q”的基本事件数为4，所以P(B)＝＝.
事件AB为“抽到黑桃Q”，则P(AB)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，即有＝×，
因此A与B相互独立．
P()＝＝，P()＝＝，P( )＝＝，
P()P()＝×＝，
因此P( )＝P()P()．
因此，与相互独立．
2．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6.计算：
(1)两人都投中的概率；
(2)其中恰有一人投中的概率．
解：设A＝“甲投篮一次，投中”，B＝“乙投篮一次，投中”．
(1)AB＝{两人各投篮一次，都投中}，由题意知，事件A与B相互独立，
所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.6＝0.36.
(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中，乙未投中(事件A发生)，另一种是甲未投中，乙投中(事件B发生)．根据题意，这两种情况在各投篮一次时不可能同时发生，即事件A与B互斥，并且A与，与B各自相互独立，因而所求概率为
P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.
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独立性检验的应用
[例2] (12分)下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
得病
不得病
合计
干净水
52
466
518
不干净水
94
218
312
合计
146
684
830
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；
(2)若饮用干净水得病的有5人，不得病的有50人，饮用不干净水得病的有9人，不得病的有22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．
[精解详析] (1)由公式得：
χ2＝≈54.21.
∵54.21>6.635，
所以有99%的把握说该地区这种传染病与饮用不干净水有关．?(6分)
(2)依题意得2×2列联表：
得病
不得病
合计
干净水
5
50
55
不干净水
9
22
31
合计
14
72
86
?(8分)
此时，χ2＝≈5.785.?(10分)
因为5.785＞3.841，
所以我们有95%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．
两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有95%的把握肯定．?(12分)
[一点通] 解决独立性检验问题的基本步骤是：①根据相关数据，作列联表；②求χ2的值；③将χ2与临界值作比较，得出事件有关的可能性大小．
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3．为了调查某生产线上某质量监督员甲在与不在对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在现场时，990件产品中合格品有982件，次品有8件；甲不在现场时，510件产品中合格品有493件，次品有17件．试列出其2×2列联表．
解：根据题目所给的数据作出如下的列联表：
产品正品数
次品数
合计
甲在现场
982
8
990
甲不在现场
493
17
510
合计
1 475
25
1 500
4．在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，用独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关，你所得到的结论在什么范围内有效？
解：由题意作出如下的列联表：
色盲
非色盲
合计
男
38
442
480
女
6
514
520
合计
44
956
1 000
将列联表中所给的数据，代入公式
χ2＝，得
χ2＝≈27.1.
由于χ2≈27.1>6.635，所以我们有99%的把握认为性别与患色盲有关系．这个结论只对所调查的480名男人和520名女人有效．
5．同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题：
(1)求两颗骰子都出现2点的概率；
(2)若同时抛掷两颗骰子180次，其中甲骰子出现20次2点，乙骰子出现30次2点，问两颗骰子出现2点是否相关？
解：(1)每颗骰子出现2点的概率都为，由相互独立事件同时发生的概率公式得两颗骰子都出现2点的概率为×＝.
(2)依题意，列2×2列联表如下：
出现2点
出现其他点
合计
甲骰子
20
160
180
乙骰子
30
150
180
合计
50
310
360
由公式计算得
χ2＝≈2.323.
因为2.323<3.841，因此我们没有理由说两颗骰子出现2点相关．
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1．若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，即可用P(AB)＝P(A)P(B)来求相互独立事件同时发生的概率．
2．独立性检验的步骤
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1．甲、乙两人分别对一目标射击一次，记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则在A与B，与B，A与，与中，满足相互独立的有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：由已知：A与B相互独立，则与B，A与，与均相互独立，故有4对．
答案：D
2．下面是2×2列联表：
y1
y2
合计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
合计
b
46
则表中a，b的值分别为( )
A．94,96 B．52,50
C．52,54 D．54,52
解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.
又∵a＋2＝b，∴b＝54.
答案：C
3．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．则下面的2×2列联表中
患色盲
未患色盲
合计
男
n11
n12
480
女
n21
n22
520
合计
n＋1
n＋2
1 000
n12和n＋2的值分别是( )
A．474,956 B．442,956
C．38,44 D．514,994
解析：n12＝480－n11＝480－38＝442，
n＋2＝1 000－38－6＝956.
答案：B
4．博士生和硕士生毕业情况的一个随机样本给出了关于所获取的学位类别与学生性别的分类数据如下表．由表中的数据，可得( )
硕士
博士
合计
男
162
27
189
女
143
8
151
合计
305
35
340
A.性别与获取学位类别有关
B．性别与获取学位类别无关
C．性别决定获取学位的类别
D．以上说法都不正确
解析：χ2＝≈7.34>6.635，所以有99%的把握认为性别与获取学位类别有关．
而选项C中的表述不恰当，因为性别与获取学位类别不是因果关系，只是统计学上的一种非确定性关系，故不能用“决定”二字描述．
答案：A
5．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 的．(有关、无关)．
解析：∵χ2＝27.63，∴χ2>6.635.
∴有理由认为打鼾与患心脏病是有关的．
答案：有关
6．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为 ．
解析：设A＝“甲地下雨”，B＝“乙地下雨”，
则P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，P()＝0.7，P()＝0.6，
且，相互独立，故所求概率为
P( )＝P()P()＝0.7×0.6＝0.42.
答案：0.42
7．已知甲、乙两袋中分别装有编号为1,2,3,4的四个小球，现从两袋中各取一球，设事件A＝“两球的编号都是偶数”，B＝“两球的编号之和大于6”．判断事件A，B是否相互独立．
解：P(A)＝＝，P(B)＝.
又AB＝“两球的编号都为4”，P(AB)＝.
显然P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不独立．
8．在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有44人主要的休闲方式是看电视，另外26人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)判断性别与休闲方式是否有关系．
解：(1)由题意得2×2列联表如下.
看电视
运动
合计
女
44
26
70
男
21
33
54
合计
65
59
124
(2)由(1)中表格所给数据，代入公式得
χ2＝≈7.021>6.635，
所以我们有99%的把握认为性别与休闲方式有关．
课件29张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1.1
独立性检验知识点一知识点二应用创新演练见课时跟踪训练(一)课时跟踪训练(一) 独立性检验
1．甲、乙两人分别对一目标射击一次，记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则在A与B，与B，A与，与中，满足相互独立的有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
2．下面是2×2列联表：
y1
y2
合计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
合计
b
46
则表中a，b的值分别为( )
A．94,96 B．52,50
C．52,54 D．54,52
3．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．则下面的2×2列联表中
患色盲
未患色盲
合计
男
n11
n12
480
女
n21
n22
520
合计
n＋1
n＋2
1 000
n12和n＋2的值分别是( )
A．474,956 B．442,956
C．38,44 D．514,994
4．博士生和硕士生毕业情况的一个随机样本给出了关于所获取的学位类别与学生性别的分类数据如下表．由表中的数据，可得( )
硕士
博士
合计
男
162
27
189
女
143
8
151
合计
305
35
340
A．性别与获取学位类别有关
B．性别与获取学位类别无关
C．性别决定获取学位的类别
D．以上说法都不正确
5．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关、无关)．
6．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为________．
7．已知甲、乙两袋中分别装有编号为1,2,3,4的四个小球，现从两袋中各取一球，设事件A＝“两球的编号都是偶数”，B＝“两球的编号之和大于6”．判断事件A，B是否相互独立．
8．在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有44人主要的休闲方式是看电视，另外26人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)判断性别与休闲方式是否有关系．
答 案
1．选D 由已知：A与B相互独立，则与B，A与，与均相互独立，故有4对．
2．选C ∵a＋21＝73，∴a＝52.
又∵a＋2＝b，∴b＝54.
3．选B n12＝480－n11＝480－38＝442，
n＋2＝1 000－38－6＝956.
4．选A χ2＝≈7.34>6.635，所以有99%的把握认为性别与获取学位类别有关．
而选项C中的表述不恰当，因为性别与获取学位类别不是因果关系，只是统计学上的一种非确定性关系，故不能用“决定”二字描述．
5．解析：∵χ2＝27.63，∴χ2>6.635.
∴有理由认为打鼾与患心脏病是有关的．
答案：有关
6．解析：设A＝“甲地下雨”，B＝“乙地下雨”，
则P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，P()＝0.7，P()＝0.6，
且，相互独立，故所求概率为
P( )＝P()P()＝0.7×0.6＝0.42.
答案：0.42
7．解：P(A)＝＝，P(B)＝.
又AB＝“两球的编号都为4”，P(AB)＝.
显然P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不独立．
8．解：(1)由题意得2×2列联表如下.
看电视
运动
合计
女
44
26
70
男
21
33
54
合计
65
59
124
(2)由(1)中表格所给数据，代入公式得
χ2＝≈7.021>6.635，
所以我们有99%的把握认为性别与休闲方式有关．
