1.2回归分析
1．线性回归模型
在回归直线方程＝x＋中
＝＝，＝－.
其中＝i，＝i, (，)称为样本点的中心．
2．线性相关性检验
(1)对于变量x与Y随机抽取到的n对数据(x1，y1)，(x2，y2)…，(xn，yn)，检验统计量是样本相关系数
r＝
＝
r具有以下性质：|r|≤1，并且r越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱．
(2)检验步骤如下：
①作统计假设：x与Y不具有线性相关关系．
②根据小概率0.05与n－2在附表中查出r的一个临界值r0.05.
③根据样本相关系数计算公式算出r的值．
④作出统计推断．如果|r|>r0.05，表明有95%把握认为x与Y之间具有线性相关关系．
如果|r|≤r0.05，我们没有理由拒绝原来的假设，这时寻找回归直线方程是毫无意义的．
1．线性回归分析的方法、步骤
(1)确定研究对象，明确是求哪一个变量对哪一个变量的回归方程．
(2)画散点图或计算相关系数r，判断两个变量之间是否线性相关．
(3)若两变量线性相关，可用公式计算，的值．
(4)写出线性回归方程，利用它来预测一些变量的对应值．
2．在求线性回归直线方程时，要先判断两变量的相关性，否则求出的回归直线方程，可能没有任何意义．
回归直线方程
[例1] 假设某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用Y(万元)有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
Y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
试求：
(1)Y对x的回归直线方程；
(2)当使用年限为10年时，估计维修费用是多少？
[思路点拨] 先作出散点图，再根据散点图分析支出的维修费用与使用年限是否线性相关，若相关，再利用线性回归方程求解，最后根据求得的方程估计10年时的维修费用．
[精解详析] (1)根据表中数据作散点图，如图所示：
从散点图可以看出，样本点都集中分布在一条直线附近，因此Y与x之间具有线性相关关系．利用题中数据得：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
x
4
9
16
25
36
＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3
所以＝＝＝1.23，
＝－＝5－1.23×4＝0.08，
∴线性回归方程为＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即当使用10年时，估计维修费用是12.38万元．
[一点通] 求回归直线方程的步骤：
(1)作出散点图，从直观上分析相关关系；
(2)计算，，，iyi；
(3)代入公式计算，的值；
(4)写出回归方程．
1．(辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元．
解析：以x＋1代替x，得＝0.254(x＋1)＋0.321，与＝0.254x＋0.321相减得年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
2．某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
物理成绩(Y)
78
65
71
64
61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩Y对数学成绩x的回归直线方程；
(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．
解：(1)如图所示．
(2)因为＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054，
＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
所以＝＝≈0.625，
＝－ ≈67.8－0.625×73.2＝22.05.
所以Y对x的回归直线方程是＝0.625x＋22.05.
(3)当x＝96时，则＝0.625×96＋22.05≈82，
即可以预测他的物理成绩是82.
相关性检验
[例2] 抽测10名15岁男生的身高x(单位：cm)和体重Y(单位：kg)，得到如下数据：
x
157
153
151
158
155
156
159
160
158
163
Y
45.5
44
42
46
44.5
45
46.5
47
45
49
(1)Y与x之间是否具有线性相关关系？
(2)如果Y与x之间具有线性相关关系，求Y对x的回归直线方程．
[思路点拨] 利用相关系数计算公式求出r；
与临界值比较判断其相关性．
[精解详析] (1)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
157
153
151
158
155
156
159
160
158
163
yi
45.5
44
42
46
44.5
45
46.5
47
45
49
xiyi
7 143.5
6 732
6 342
7 268
6 897.5
7 020
7 393.5
7 520
7 110
7 987
＝157，＝45.45，
＝246 598，＝20 688.75，iyi＝71 413.5
于是－102＝246 598－10×1572＝108，
－102＝20 688.75－10×45.452＝31.725，
iyi－10 ＝71 413.5－10×157×45.45＝57，
r＝
＝≈0.974.
查相关性检验的临界值表，得r0.05＝0.632.由于|r|>r0.05，因此认为Y与x之间有较强的线性相关关系．
(2)设Y对x的回归直线方程为＝x＋，则
＝＝≈0.528，
＝－ ≈45.45－0.528×157＝－37.446，
故所求的Y对x的回归直线方程为＝0.528x－37.466.
[一点通]
(1)在研究两个变量之间的关系时，一般通过散点图进行相关性检验，若具备线性相关关系，再求回归直线方程．
如果两个变量不具备线性相关关系，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．
(2)回归直线方程能定量地描述两个变量的关系，系数，刻画了两个变量之间的变化趋势，其中表示x变化一个单位时，y的平均变化量．利用回归直线可以对问题进行预测，由一个变量的变化去推测另一个变量的变化．
(3)线性回归分析中：
相关系数r的绝对值越大说明y与x的线性相关性越强．
3．某种产品的广告费支出x与销售额Y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
Y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)对两个变量进行相关性检验；
(3)求回归直线方程．
解：(1)散点图如图所示
(2)计算各数据如下：
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
＝5，＝50，
＝145，＝13 500，iyi＝1 380
r＝≈0.92，查得r0.05＝0.878，r>r0.05，故有95%的把握认为该产品的广告费支出与销售额之间具有线性相关关系．
(3)＝＝＝6.5，
＝－ ＝50－6.5×5＝17.5，
于是所求的回归直线方程是＝6.5x＋17.5.
非线性回归分析
[例3] (12分)有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
水高h(厘米)
0.7
1.1
2.5
4.9
8.1
10.2
13.5
流量Q(升/分钟)
0.082
0.25
1.8
11.2
37.5
66.5
134
根据表中数据，建立Q与h之间的回归方程．
[精解详析] 由表中测得的数据可以作出散点图，如图
?(4分)
观察散点图中样本点的分布规律，可以判断样本点分布在某一条曲线附近，表示该曲线的函数模型是Q＝m·hn(m，n是正的常数)两边取常用对数，
则lg Q＝lg m＋n·lg h.
令y＝lg Q，x＝lg h，那么y＝nx＋lg m，
即为 线性函数模型y＝bx＋a的形式(其中b＝n，a＝lg m)．?(6分)
由下面的数据表，用最小二乘法可求得≈2.5 097，＝－0.7 077，所以n≈2.51，m≈0.196.
i
hi
Qi
xi＝lg hi
yi＝lg Qi
x
xiyi
1
0.7
0.082
－0.1 549
－1.0 862
0.024
0.1 683
2
1.1
0.25
0.0 414
－0.6 021
0.0 017
－0.0 249
3
2.5
1.8
0.3 979
0.2 553
0.1 583
0.1 016
4
4.9
11.2
0.6 902
1.0 492
0.4 764
0.7 242
5
8.1
37.5
0.9 085
1.5 740
0.8 254
1.4 300
6
10.2
66.5
1.0 086
1.8 228
1.0 173
1.8 385
7
13.5
134
1.1 303
2.1 271
1.2 776
2.4 043
∑
4.022
5.1401
3.7807
6.642
于是所求得的回归方程为：Q＝0.196·h2.51.?(12分)
[一点通] 非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后像本例这样，采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：
4．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x
0.25
0.5
1
2
4
Y
16
12
5
2
1
试建立Y对x之间的回归方程．
解：作出变量Y与x之间的散点图如图所示．
由图可知变量Y与x近似地呈反比例函数关系．
设Y＝，令t＝，则Y＝kt.由Y与x的数据表可得Y与t的数据表：
t
4
2
1
0.5
0.25
Y
16
12
5
2
1
作出Y与t的散点图如图所示．
由图可知Y与t呈近似的线性相关关系，
又＝1.55，＝7.2，iyi＝94.25，＝21.3125.
＝＝≈4.134 4.
＝－＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8，
∴＝4.134 4t＋0.8.
所以Y对x的回归方程是＝＋0.8.
1．求回归直线方程时，一般不直接代入公式计算，可以分别计算公式中的相关部分(统计量)，从而减少运算出错的可能性．
2．利用回归直线方程求出的值，大多数时候是个预报值，与真实值之间可能有差异，因为真实值还会受到其他因素的影响．
3．两个变量之间的相关关系的样本相关系数，可用于线性相关的定性检验，衡量是否线性相关以及线性相关关系的强弱．
1．关于用最小二乘法求得的变量Y对x的回归直线方程，下列叙述正确的是( )
A．表示Y与x之间的一种确定性关系
B．表示Y与x之间的相关关系
C．表示Y与x之间的最真实的关系
D．表示Y与x之间真实关系的一种效果最好的拟合
解析：线性回归方程能最大可能地反映Y与x之间的真实关系．
答案：D
2．(湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正相关而斜率为负，不正确．
答案：D
3．下表是x和Y之间的一组数据，则Y对x的回归直线必过( )
x
1
2
3
4
Y
1
3
5
7
A.点(2,3) B．点(1.5,4)
C．点(2.5,4) D．点(2.5,5)
解析：回归直线必过样本点的中心(，)，即(2.5,4)．
答案：C
4．一位母亲记录了儿子3岁～9岁的身高．由此建立的身高与年龄的回归模型为＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A．身高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm以下 D．身高在145.83 cm左右
解析：当x＝10时，y＝7.19×10＋73.93＝145.83.
答案：D
5．为了考查两个变量Y与x的线性相关性，测得x，Y的13对数据，若Y与x具有线性相关关系，则相关系数r绝对值的取值范围是 ．
解析：相关系数临界值r0.05＝0.553，所以Y与x若具有线性相关关系，则相关系数r绝对值的范围是(0.553,1]．
答案：(0.553,1]
6．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数计数的结果如下：
尿汞含量x
2
4
6
8
10
消光系数Y
64
138
205
285
360
若Y与x具有线性相关关系，则回归直线方程是 ．
解析：由已知表格中的数据，利用科学计算器进行计算得＝6，＝210.4，＝220，
iyi＝7 790，
所以＝＝36.95，＝－＝－11.3.
所以回归直线方程为＝－11.3＋36.95x.
答案：＝－11.3＋36.95x
7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
Y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y关于x的回归直线方程；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤．
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解：(1)如下图．
(2)xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝＝4.5，＝＝3.5，
x＝32＋42＋52＋62＝86.
＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的回归直线方程为＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归直线方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)．
8．在7块并排的形状大小相同的试验田上进行施肥，施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据.
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量Y
330
345
365
405
445
450
455
试对x与Y进行线性回归分析，并预测施化肥量为50时，水稻的产量为多少？
解：∵＝×(15＋20＋25＋…＋45)＝×210＝30，
＝×(330＋345＋…＋455)≈399.3，
＝152＋202＋…＋402＋452＝7 000，
＝3302＋3452＋…＋4552＝1 132 725，
iyi＝15×330＋20×345＋…＋45×455＝87 175，
∴r＝
＝
＝0.973 3.
∴|r|＝0.973 3>0.754，从而有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系．
设Y对x的线回归直线方程为＝＋x
∴＝
＝
≈4.746，
∴＝－ ≈399.3－4.74 6×30＝256.9.
∴回归直线方程为＝256.9＋4.746x.
当x＝50时，＝256.9＋4.746×50＝494.2，这就是说当施化肥量为50时，水稻的产量大致接近494.2.
课件35张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1.2
回归分析应用创新演练见课时跟踪训练(二)课时跟踪训练(二) 回归分析
1．关于用最小二乘法求得的变量Y对x的回归直线方程，下列叙述正确的是( )
A．表示Y与x之间的一种确定性关系
B．表示Y与x之间的相关关系
C．表示Y与x之间的最真实的关系
D．表示Y与x之间真实关系的一种效果最好的拟合
2．(湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
3．下表是x和Y之间的一组数据，则Y对x的回归直线必过( )
x
1
2
3
4
Y
1
3
5
7
A．点(2,3) B．点(1.5,4)
C．点(2.5,4) D．点(2.5,5)
4．一位母亲记录了儿子3岁～9岁的身高．由此建立的身高与年龄的回归模型为＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A．身高一定是145.83 cm
B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm以下
D．身高在145.83 cm左右
5．为了考查两个变量Y与x的线性相关性，测得x，Y的13对数据，若Y与x具有线性相关关系，则相关系数r绝对值的取值范围是________．
6．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数计数的结果如下：
尿汞含量x
2
4
6
8
10
消光系数Y
64
138
205
285
360
若Y与x具有线性相关关系，则回归直线方程是______________________________．
7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
Y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y关于x的回归直线方程；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤．
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
8．在7块并排的形状大小相同的试验田上进行施肥，施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据.
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量Y
330
345
365
405
445
450
455
试对x与Y进行线性回归分析，并预测施化肥量为50时，水稻的产量为多少？
答 案
1．选D 线性回归方程能最大可能地反映Y与x之间的真实关系．
2．选D ①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正相关而斜率为负，不正确．
3．选C 回归直线必过样本点的中心(，)，即(2.5,4)．
4．选D 当x＝10时，y＝7.19×10＋73.93＝145.83.
5．解析：相关系数临界值r0.05＝0.553，所以Y与x若具有线性相关关系，则相关系数r绝对值的范围是(0.553,1]．
答案：(0.553,1]
6．解析：由已知表格中的数据，利用科学计算器进行计算得
＝6，＝210.4，＝220，iyi＝7 790，
所以＝＝36.95，＝－＝－11.3.
所以回归直线方程为＝－11.3＋36.95x.
答案：＝－11.3＋36.95x
7．解：(1)如下图．
(2)xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝＝4.5，＝＝3.5，
x＝32＋42＋52＋62＝86.
＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的回归直线方程为＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归直线方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)．
8．解：∵＝×(15＋20＋25＋…＋45)＝×210＝30，
＝×(330＋345＋…＋455)≈399.3，
＝152＋202＋…＋402＋452＝7 000，
＝3302＋3452＋…＋4552＝1 132 725，
iyi＝15×330＋20×345＋…＋45×455＝87 175，
∴r＝
＝
＝0.973 3.
∴|r|＝0.973 3>0.754，从而有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系．
设Y对x的线回归直线方程为＝＋x
∴＝＝≈4.746，
∴＝－ ≈399.3－4.74 6×30＝256.9.
∴回归直线方程为＝256.9＋4.746x.
当x＝50时，＝256.9＋4.746×50＝494.2，这就是说当施化肥量为50时，水稻的产量大致接近494.2.
