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高考五大高频考点例析[对应学生用书P52]
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统计案例
考查
方式
统计案例主要是回归分析和独立性检验，在考纲中都是“了解”层次的内容．高考对本块知识的考查方式呈现多样性，以解答题为主，属中档题．
备考
指要
1.分析两个变量的相关关系常用方法：
(1)把样本数据表示的点在直角坐标系中标出，得到散点图；
(2)利用相关系数r进行检验，在确认具有相关关系后，再求线性回归方程．
2.独立性检验的一般步骤：
(1)提出假设H0：假设两个变量没有关系；
(2)根据2×2列联表计算χ2；
(3)根据χ2的值与临界值的大小关系作统计推断.
[例1] (辽宁高考)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
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将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．
附χ2＝，
P(x2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
[解] (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100名观众中，“体育迷”共25名，从而完成2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝＝≈3.030.
因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}．
其中ai表示男性，i＝1,2,3.bj表示女性，j＝1,2.
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“任选2名，至少有1名是女性”这一事件，则
A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.
1．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．
(1)根据以上数据列出2×2列联表；
(2)根据此资料是否认为40岁以上的人患胃病和生活规律有关？
解：(1)由已知可列2×2列联表得：
患胃病
未患胃病
合计
生活规律
20
200
220
生活不规律
60
260
320
合计
80
460
540
(2)根据列联表中的数据，由计算公式得：
χ2＝≈9.638.
∵9.638＞6.635，
因此，有99%的把握认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．
2．(安徽高考)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量/万吨
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
解：(1)对数据预处理如下：
年份－2006
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得
＝0，＝3.2，
＝
＝＝6.5，
＝－b＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝(x－2 006)＋＝6.5(x－2 006)＋3.2，即＝6.5(x－2 006)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为6.5(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．
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合情推理与演绎推理
考查方式
归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中、低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力；演绎推理大多数出现在解答题中，为中、高档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力．
备考指要
对本部分知识的学习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明.
[例2] (陕西高考)观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为 ．
[解析] 观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋＋＋＋＋…＋<(n∈N＋，n≥2)，
所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
[答案] 1＋＋＋＋＋<
3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”．显然这是个错误的推理，究其原因，是大前提错误，尽管推理形式是正确的，但是结论是错误的．
答案：A
4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )
A．各正三角形内任一点
B．各正三角形的某高线的中点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：正三角形的边对应正四面体的面(正三角形)，所以边的中点对应的就是正四面体各面(正三角形)的中心．
答案：C
5．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．
(1)请写出cn的一个表达式，cn＝ ；
(2)若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10＝ .(用数字作答)
解析：(1)通过观察归纳，得an＝n，bn＝2n，cn＝an＋bn＝n＋2n.
(2)M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2 101.
答案：n＋2n 2 101
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直接证明与间接证明
考查方式
近几年试题对本部分内容的考查是应用直接证明和间接证明解决数列，三角恒等式、立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等问题，题型大多为解答题，难度为中、高档．
备考指要
在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的.
[例3] (福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解] (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)法一 三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
法二 三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
6．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )
A．都大于2 B．至多有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
解析：令a＝b＝c＝1，则3个数都等于2，可排除A，B，C或利用反证法可证明D正确，假设三个数都小于2，则a＋＋b＋＋c＋＜6，而a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.
答案：D
7．(北京高考改编)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
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(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.
8．设数列{an}满足a1＝0且－＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Sn＝k，证明：Sn<1.
解：(1)由题设－＝1，
得是公差为1的等差数列．
又＝1，故＝n.所以an＝1－.
(2)证明：由(1)得
bn＝＝＝－，
Sn＝k＝(－)＝1－<1.
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复 数
考查方式
复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数的加、减、乘、除四则运算．
备考指要
要明确复数的分类及复数运算，掌握化归思想，设出复数z的代数形式，即复数问题实数化.
[例4] (北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
[解析] 由＝＝＝1＋3i，得该复数对应的点为(1,3)．
[答案] A
9．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则( )
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
解析：由＝1＋i，得1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，即得a＝，b＝.
答案：A
10．设复数z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若为纯虚数，则实数b＝( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：＝＝＝为纯虚数，得2＋b＝0，即b＝－2.
答案：A
11．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析：|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，故A错；z2＝x2－y2＋2xyi，故B错；|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，故C错，|z|＝≤|x|＋|y|，故D项正确．
答案：D
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框图
考查
方式
本部分知识在高考试题中必定有程序框图的考题．在选择题、填空题中，主要考查基本知识和技能，如对条件结构和循环结构的灵活应用或补全程序框图．
备考
指要
在画框图时，需要有较高的抽象概括能力和逻辑思维能力，要熟悉事物的来龙去脉，从头至尾抓住主要脉络进行分解，弄清各步的逻辑关系.
[例5] (北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
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A．1 B．
C． D．
[解析] 逐次运算的结果是S＝，i＝1；S＝＝，i＝2，此时终止程序，输出S的值为.
[答案] C
12．(新课标全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
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A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
解析：法一：作出分段函数s＝
的图像(图略)，可知函数s在[－1，2]上单调递增，
在[2，＋∞)上单调递减，
∴t∈[－1，3]时，
s∈[－3,4]．
法二：由框图知s是关于t的分段函数：
s＝
当t∈[－1,1)时，s∈[－3,3)；
当t∈[1,3]时，s＝4t－t2＝4－(t－2)2∈[3,4]，
故s∈[－3,4]．
答案：A
13．(山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
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A．0.2,0.2 B．0.2,0.8
C．0.8,0.2 D．0.8,0.8
解析：两次运行结果如下：
第一次：－1.2→－1.2＋1→－0.2＋1→0.8；
第二次：1.2→1.2－1→0.2.
答案：C
课件43张PPT。高考五大高频考点例析 考点一考点二考点三考点四考点五模块综合检测模块综合检测见阶段质量检测(五)
