2．1.2 演绎推理
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看下面两个问题
(1)一切奇数都不能被2整除，22012＋1是奇数，所以22012＋1不能被2整除；
(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．
问题1：这两个问题中的第一句都说的是什么？
提示：都说的一般原理．
问题2：第二句又说的是什么？
提示：都说的特殊示例．
问题3：第三句呢？
提示：由一般原理对特殊示例作出判断．
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1．演绎推理
(1)定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理．
(2)特征：当前提为真时，结论必然为真．
2．演绎推理规则
演绎推理的一般模式为“三段论”，包括：
(1)大前提——已知的一般原理；
(2)小前提——所研究的特殊情况；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
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1．演绎推理的前提是一般性的原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
2．演绎推理是一种收敛性的思考方法，少创造性，但具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
3．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
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三种演绎推理的形式
[例1] 选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程．
(1)函数y＝sin x(x∈R)是周期函数；
(2)k>1时，－>－；
(3)若n∈Z，求证n2－n为偶数．
[思路点拨] 对应三种规则的应用格式，不同的问题可采用不同的推理规则，这里(1)用三段论推理，(2)用传递性关系推理，(3)用完全归纳推理．
[精解详析] (1)三段论推理：三角函数是周期函数，(大前提)
y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．(结论)
(2)传递性关系推理：k>1时，－＝
> >＝－.
(3)完全归纳推理：
∵n2－n＝n(n－1)，
∴当n为偶数时，n2－n为偶数，
当n为奇数时，n－1为偶数，n2－n为偶数，
∴n∈Z时，n2－n为偶数．
[一点通] 对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一的，在证明等量关系、不等关系(放缩法)或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理．根据定理证题，往往用三段论推理．
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1．选择合适的推理规则写出下列推理过程：
(1)75是奇数．
(2)平面α，β，已知直线l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m.
解：(1)三段论推理：一切奇数都不能被2整除．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)传递性关系推理：如图，在α内任取点P(P?m)，由l∥α，
∴P?l，则l与点P确定一平面与α相交，设交线为a，则a∥l，同理，在β内任取一点Q(Q?m)，l与点Q确定一平面与β交于b，则l∥b，从而a∥b.
由P∈a，P?m，∴a?β，而b?β，
∴a∥β.
又a?α，α∩β＝m，∴a∥m，∴l∥m.
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三段论在证明几何问题中的应用
[例2] 已知：在梯形ABCD中(如图)，DC＝DA，AD∥BC.求证：CA平分∠BCD(用三段论证明)．
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[思路点拨] →→→
[精解详析] ∵等腰三角形两底角相等，···································大前提
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，·····························小前提
∴∠1＝∠2. ····························································结论
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，·····························大前提
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，·························小前提
∴∠1＝∠3. ····························································结论
∵等于同一个角的两个角相等，···········································大前提
∠2＝∠1，∠3＝∠1，···················································小前提
∴∠2＝∠3，即CA平分∠BCD. ··········································结论
[一点通]
(1)三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
(2)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．
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2．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a?平面α，则直线b∥直线a.这个结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：大前提错误，导致结论必然错误．
答案：A
3．在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．
证明：(1)连接AC.
因为如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，
················································大前提
而△ABC和△CDA的三边对应相等，······································小前提
则这两个三角形全等．····················································结论
(2)因为全等三角形的对应角相等·········································大前提
而△ABC和△CDA全等，且∠1、∠2是对应角，···························小前提
所以∠1＝∠2. ·························································结论
(3)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，······大前提
直线AB，DC被直线AC所截，内错角∠1＝∠2，······················小前提(已证)
则AB∥DC. ····························································结论
同理有：BC∥AD.
(4)如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形，············大前提
四边形ABCD中，两组对边分别平行，····································小前提
则四边形ABCD是平行四边形．···········································结论
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演绎推理在代数问题中的应用
[例3] (12分)已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
[精解详析] 设x1，x2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－
＝ax1－ax2＋－
＝ax1－ax2＋，?(6分)
∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0.
又∵x1＞－1，x2＞－1，∴(x1＋1)(x2＋1)＞0.?(10分)
∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．?(12分)
[一点通]
(1)很多代数问题不论解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理．
(2)在解题过程中常省略大前提，本例3的大前提是增函数的定义，小前提是y＝f(x)在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．
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4．求证：函数f(x)＝是奇函数．
证明：f(x)的定义域为R.
对任意x∈R，f(－x)＝
＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
5．已知{an}是各项均为正数的等差数列．lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，又bn＝(n＝1,2,3，…)．证明：{bn}为等比数列．
证明：∵lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，
∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a＝a1a4.
若{an}的公差为d，
则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，
从而d(d－a1)＝0.
①若d＝0，{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．
②若d＝a1≠0，
则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝＝.
这时{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列．
综上，{bn}为等比数列．
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合情推理
演绎推理
区
别
思维方法
归纳、类比
三段论、传递性关系、完全归纳
推理形式
由部分到整体、由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理
由一般到特殊的推理
结论
结论不一定正确，有待于进一步证明
在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确
作用
具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，利于创新意识的培养
按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高演绎推理和逻辑证明的能力
联系
合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明
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1．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数·······················································大前提
整数是有理数·························································小前提
整数是真分数····························································结论
结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：推理形式没有错误，小前提也没有错误，可见大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．
答案：A
2．中东地区石油储量非常丰富，根据新疆地区与中东地区的地貌相似的特点，在新疆克拉玛依发现了震惊世界的大油田，若将发现油田这一过程看作推理，则最符合哪一类推理形式( )
A．三段论推理 B．归纳推理
C．传递性关系推理 D．类比推理
解析：由各推理的特征知，该推理为类比推理．
答案：D
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出的通项公式
解析：B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
答案：A
4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )
①y＝cos x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos x(x∈R)是周期函数．
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
解析：按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.
答案：B
5．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半．所以所有三角形的面积都等于底乘高的一半，以上推理运用的推理规则是 ．
解析：“钝角三角形、直角三角形、锐角三角形”这一分类方法包含了所有的三角形，若这三类三角形的面积都等于底乘高的一半，就是所有的三角形的面积都等于底乘高的一半，故其推理规则为完全归纳推理．
答案：完全归纳推理
6．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 ．
解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
7．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
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求证：平面AEC⊥平面PDB
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC.
∴AC⊥平面PDB，AC?平面AEC.
∴平面AEC⊥平面PDB.
8．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
解：(1)证明：因为x、y∈R时，
f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝0得，
f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)设x1、x2∈R且x1＜x2，
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
因为x＞0时，f(x)＜0，
所以f(x2－x1)＜0，
即f(x2)－f(x1)＜0，
所以f(x)为减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．
因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6，
所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.
课件26张PPT。第二章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练2.1
合情推理与演绎推理2.1.1
演 绎 推 理考点三应用创新演练见课时跟踪训练(四)课时跟踪训练(四) 演绎推理
1．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数…………………………大前提
整数是有理数…………………………小前提
整数是真分…………………………数结论
结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
2．中东地区石油储量非常丰富，根据新疆地区与中东地区的地貌相似的特点，在新疆克拉玛依发现了震惊世界的大油田，若将发现油田这一过程看作推理，则最符合哪一类推理形式( )
A．三段论推理 B．归纳推理
C．传递性关系推理 D．类比推理
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出的通项公式
4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )
①y＝cos x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos x(x∈R)是周期函数．
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
5．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半．所以所有三角形的面积都等于底乘高的一半，以上推理运用的推理规则是________．
6．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是____________________．
7．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
求证：平面AEC⊥平面PDB
8．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
答 案
1．选A 推理形式没有错误，小前提也没有错误，可见大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．
2．选D 由各推理的特征知，该推理为类比推理．
3．选A B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
4．选B 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.
5．解析：“钝角三角形、直角三角形、锐角三角形”这一分类方法包含了所有的三角形，若这三类三角形的面积都等于底乘高的一半，就是所有的三角形的面积都等于底乘高的一半，故其推理规则为完全归纳推理．
答案：完全归纳推理
6．解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
7．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC.
∴AC⊥平面PDB，AC?平面AEC.
∴平面AEC⊥平面PDB.
8．解：(1)证明：因为x，y∈R时，
f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝0得，
f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)设x1、x2∈R且x1＜x2，
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
因为x＞0时，f(x)＜0，
所以f(x2－x1)＜0，
即f(x2)－f(x1)＜0，
所以f(x)为减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．
因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6，
所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.
