2．2.2 反 证 法
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著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？
提示：实质运用了反证法的思想．
问题2：反证法解题的实质是什么？
提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．
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1．反证法
一般地，由证明p?q转向证明：綈q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
2．应用反证法证明数学命题的一般步骤
(1)分清命题的条件和结论；
(2)做出与命题结论相矛盾的假设；
(3)由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；
(4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
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1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．
2．反证法常见的矛盾类型
(1)与假设矛盾；
(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；
(3)与公认的简单事实矛盾．
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用反证法证明否(肯)定式命题
[例1] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
[思路点拨] 此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法，证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用之．
[精解详析] 假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．
∴n，an＋b均为奇数，
又a＋b为偶数，
∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，
∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
∴f(x)＝0无整数根．
[一点通]
(1)对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．
(2)常见否定词语的否定形式如下表所示：
否定词语
否定词语的否定形式
没有
有
不大于
大于
不等于
等于
不存在
存在
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1．用反证法证明，若a>b>0，那么>.
证明：假设不大于，则≤.
∵a>0，b>0，
∴2≤2，即a≤b.
这与已知条件a>b>0矛盾，所以>.
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数．
证明：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，
得偶数＝奇数，矛盾．
∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.
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用反证法证明唯一性命题
[例2] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[思路点拨]
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[精解详析] 设两直线为a、b，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；不只有一个交点．
(1)若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾；
(2)若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点设为A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点．
[一点通] 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．
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3．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
证明：因为a≠0，所以方程至少有一个根x＝.
假设方程不是一个根，那么不妨设x1、x2是它的两个不同根，即ax1＝b，①
ax2＝b，②
①－②得a(x1－x2)＝0.
∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，∴应有a＝0，这与已知相矛盾．
故假设不成立，
∴当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．
4．已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．
证明：①存在性，在a上任取一点A，过A作直线c∥b.
∵a与b异面，∴c与a相交．
过相交的a与c作平面α，则b∥α.
②唯一性：假设过a还有平面β与b平行．
过b与点A作一个平面γ，
β∩γ＝d.
由线面平行的性质有
d∥b，又c∥b，∴c∥d.
这与c，d相交于点A矛盾．
∴过a与b平行的平面有且仅有一个.
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用反证法证明“至多”或“至少”类命题
[例3] (12分)已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
[精解详析] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．
?(2分)
由y＝ax2＋2bx＋c，
y＝bx2＋2cx＋a，
y＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，
且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，
且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.?(5分)
同向不等式相加得：
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，?(7分)
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，?(9分)
∴a＝b＝c.?(10分)
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．?(12分)
[一点通]
(1)用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义．
(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有n－1个
至少有n＋1个
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5．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.
求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明：假设a，b，c都不大于0，则a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c
＝＋＋
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3＞0，
这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.
6．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，不妨设α，β为其两个实根，且α＜β，则f(α)＝f(β)＝0.
因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，又α＜β，
所以f(α)＜f(β)，这与假设f(α)＝f(β)＝0相矛盾．
所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
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用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的．
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1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
解析：除原结论不能作为推理条件外其余均可．
答案：C
2．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除
解析：用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“一个也没有”，故B正确．
答案：B
3．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”
答案：D
4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，
(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是( )
A．(1)与(2)的假设都错误
B．(1)与(2)的假设都正确
C．(1)的假设正确；(2)的假设错误
D．(1)的假设错误；(2)的假设正确
解析：(1)的假设应为p＋q＞2；(2)的假设正确．
答案：D
5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为 ．
答案：③①②
6．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则 均为奇数．①
因7个奇数之和为奇数，故有
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为 ．②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝ .③
②与③矛盾，故p为偶数．
解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，
故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，
这与0为偶数矛盾．
答案：①a1－1，a2－2，…，a7－7 ②奇数 ③0
7．如果非零实数a、b、c两两不相等，且2b＝a＋c，
证明：＝＋不成立．
证明：假设＝＋成立，则＝＝，
故b2＝ac，
又b＝，所以()2＝ac，即(a－c)2＝0，
所以a＝c.这与a，b，c两两不相等矛盾，
因此＝＋不成立．
8．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列．
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
解：(1)证明：若{Sn}是等比数列，则S＝S1·S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，
解得q＝0，这与q≠0相矛盾，
故数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．
当q≠1时，{Sn}不是等差数列．
假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，
即2S2＝S1＋S3，
则2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．
由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，
∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾．
综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．
课件26张PPT。第二章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练2.2
直接证明与间接证明2.2.2
反 证 法考点三应用创新演练见课时跟踪训练(六)课时跟踪训练(六) 反证法
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
2．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除
3．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，
(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是( )
A．(1)与(2)的假设都错误
B．(1)与(2)的假设都正确
C．(1)的假设正确；(2)的假设错误
D．(1)的假设错误；(2)的假设正确
5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
6．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数． ①
因7个奇数之和为奇数，故有
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为______． ②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝______. ③
②与③矛盾，故p为偶数．
7．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c，
证明：＝＋不成立．
8．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列．
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
答 案
1．选C 除原结论不能作为推理条件外其余均可．
2．选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“一个也没有”，故B正确．
3．选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”
4．选D (1)的假设应为p＋q＞2；(2)的假设正确．
5．③①②
6．解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，
故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，
这与0为偶数矛盾．
答案：①a1－1，a2－2，…，a7－7 ②奇数 ③0
7．证明：假设＝＋成立，则＝＝，
故b2＝ac，
又b＝，所以()2＝ac，即(a－c)2＝0，
所以a＝c.这与a，b，c两两不相等矛盾，
因此＝＋不成立．
8．解：(1)证明：若{Sn}是等比数列，则S＝S1·S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，
解得q＝0，这与q≠0相矛盾，
故数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．
当q≠1时，{Sn}不是等差数列．
假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，
即2S2＝S1＋S3，
则2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．
由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，
∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾．
综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；
当q≠1时，{Sn}不是等差数列．
