3．1.2(2) 复数的几何意义
问题1：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？
提示：一一对应．
问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？
提示：一一对应．
问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？
提示：由问题1,2可知能一一对应．
问题4：平面直角坐标系中的点Z与向量OZ―→有怎样的对应关系？
提示：一一对应．
问题5：复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？
提示：由问题3,4可知能一一对应．
1．复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi有序实数对(a，b) 点Z(a，b)．
3．复数的模
设＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝.
4．共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi时，则＝a－bi，任一实数的共轭复数仍是它本身．
1．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.
2．根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用下图表示：
3．互为共轭复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称．
复数的几何意义
[例1] 在复平面上，复数i,1,4＋2i的对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
[思路点拨] 思路一：→→→→
思路二：写出，的坐标→利用＝＋求的坐标→利用＝＋求的坐标→
[精解详析] 法一：由已知得A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，
则AC的中点E，
由平行四边形的性质知E也是BD的中点，
设D(x，y)
则∴
即D(3,3)，
∴D点对应复数为3＋3i.
法二：由已知：＝(0,1)，＝(1,0)，＝(4,2)．
∴＝(－1,1)，＝(3,2)，
∴＝＋＝(2,3)，
∴＝＋＝(3,3)，
即点D对应复数为3＋3i.
[一点通] 复数的几何意义包含两种情况：
(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．
(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．
1．设z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R D．a＞0，b∈R
解析：复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．
答案：D
2．写出如图所示复平面内各点所表示的复数(每个正方格的边长为1)．
解：如题图所示，点A的坐标为(4,3)，
则点A对应的复数为4＋3i.
同理可知点B，C，F，G，H，O对应的复数分别为：
3－3i，－3＋2i，－2,5i，－5i,0.
3．实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在下列位置？
(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上．
解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z在第三象限．
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z在第四象限．
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上.
复数的模及共轭复数的计算
[例2] 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z及其共轭复数．
[思路点拨] 设z＝a＋bi(a，b∈R)代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.
[精解详析] 法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得∴z＝－15＋8i.
其共轭复数为－15－8i.
法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.
其共轭复数为z＝－15－8i.
[一点通]
计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值分别是 ， .
解析：∵x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，
∴解得
答案：－1 1
5．求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．
解：|z1|＝＝10，
|z2|＝ ＝.
∵10>，
∴|z1|>|z2|.
6．已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．
解：∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝，
由已知得 ＜4，
∴a2＜7，
∴a∈(－，).
复数的模的意义
[例3] (10分)设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
[精解详析] 法一：由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.?(4分)
这表明向量OZ―→的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.?(8分)
因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．?(10分)
法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.?(3分)
∵|3＋4i|＝5，?(5分)
∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，?(8分)
∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．?(10分)
[一点通] 复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比原点为起点的向量的模来加深理解．
7．复数z＝x＋3＋i(y－2)(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨迹是 ．
解析：∵|z|＝2，∴(x＋3)2＋(y－2)2＝4.
答案：以(－3,2)为圆心，2为半径的圆
8．设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝4；(2)2＜|z|＜4.
解：(1)复数z的模等于4，就是说，向量OZ―→的模等于4，所以满足条件|z|＝4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆．
(2)不等式2＜|z|＜4可化为不等式组
不等式|z|＜4的解集是圆|z|＝4内部所有的点组成的集合，不等式|z|＞2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2＜|z|＜4的点Z的集合．容易看出，点Z的集合是以原点O为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界(如图)．
1．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ―→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ―→相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．
1．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则a的值为( )
A．a＝0或a＝2 B．a＝0
C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2
解析：∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
答案：A
2．当＜m＜1时复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由∴复数z在复平面内表示的点位于第四象限．
答案：D
3．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A．z1＞z2 B．z1＜z2
C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
解析：∵复数不能比较大小，∴A，B不正确，
又|z1|＝＝，
|z2|＝＝，
∴|z1|＜|z2|.
答案：D
4．在复平面内，O为原点，对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.
答案：B
5．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为 ．
解析：∵z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数，
∴
∴z＝－4＋3i，
∴|z|＝＝5.
答案：5
6．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为 ．
解析：由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，
得x＝3，y＝－4.
而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝，
∵<5<，
∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
答案：|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|
7．已知z－|z|＝－1＋i，求复数z.
解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的定义，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1?|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
8．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？
解：a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)，
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．
课件27张PPT。第三章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练3.1 数系的扩充与复数的引入3．1.2(2) 复数的几何意义考点三应用创新演练见课时跟踪训练(八)课时跟踪训练(八) 复数的几何意义
1．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则a的值为( )
A．a＝0或a＝2 B．a＝0
C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2
2．当＜m＜1时复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A．z1＞z2 B．z1＜z2
C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
4．在复平面内，O为原点，对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则OB―→对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
5．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________．
6．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为_______________．
7．已知z－|z|＝－1＋i，求复数z.
8．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？
答 案
1．选A ∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
2．选D 由∴复数z在复平面内表示的点位于第四象限．
3．选D ∵复数不能比较大小，∴A，B不正确，
又|z1|＝＝，
|z2|＝＝，
∴|z1|＜|z2|.
4．选B 因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，
点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，
所以对应的复数为－2＋i.
5．解析：∵z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数，
∴
∴z＝－4＋3i，
∴|z|＝＝5.
答案：5
6．解析：由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，
得x＝3，y＝－4.
而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝，
∵<5<，
∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
答案：|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|
7．解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的定义，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1?|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
8．解：a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)，
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．
