3．2.2 复数的乘法和除法
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复数的乘法
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设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)
问题1：如何规定两复数相乘？
提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
问题2：根据问题1中的规定复数的乘法运算是否满足交换律？
提示：满足．
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，
z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
故z1z2＝z2z1.
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1．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定义z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
(1)对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
(2)对复数z，z1，z2和自然数m，n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝zz.
3．共轭复数的性质
设z的共轭复数为，则
(1)z·＝|z|2＝||2；
(2)＝()2；
(3)＝·.
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复数的除法
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问题1：复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？
提示：两复数实部相等，虚部互为相反数．
问题2：试求z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)的积．
提示：z1z2＝a2＋b2，积为实数．
问题3：如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R，c＋di≠0)相除？
提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘c－di，化简后可得结果．
即＝＝
＝＋i(c＋di≠0)．
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1．复数的倒数
设z＝a＋bi(a，b∈R)．如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作.
2．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
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1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部，虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．
2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．
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复数的乘除运算
[例1] 计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(4)－.
[思路点拨] 按照复数的乘法与除法运算法则进行计算．
[精解详析] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝
＝＝＋i.
(4)法一：－
＝
＝＝＝2i.
法二：－＝－
＝i＋i＝2i.
[一点通]
(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行．
(2)复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行．
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1．(浙江高考)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i B．－1＋3i
C．－3＋3i D．－1＋i
解析：(－1＋i)(2－i)＝(－2＋1)＋(2＋1)i＝－1＋3i.
答案：B
2．(新课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
解析：z＝＝＝－1＋i.
答案：A
3．计算：
(1)(1－i)(1＋i)；
(2)；
(3).
解：(1)法一：(1－i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)
＝2
＝－1＋i.
(2)
＝
＝
＝
＝＝i.
(3)＝＝
＝＝
＝＝－1＋i.
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共轭复数的性质
[例2] 设z1，z2∈C，A＝z1·＋z2·，B＝z1·＋z2·，问A与B是否可以比较大小？为什么？
[思路点拨] →→→
[精解详析] 设z1＝a＋bi，
z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则＝a－bi，＝c－di，
∴A＝z1·＋z2·
＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi)
＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2
＝2ac＋2bd∈R，
B＝z1·＋z2·
＝|z1|2＋|z2|2
＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，
∴A与B可以比较大小．
[一点通]
(1)z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数．
(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
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4．(湖北高考)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝＝＝1＋i的共轭复数为1－i，对应的点(1，－1)在第四象限．
答案：D
5．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
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in的周期性及应用
[例3] (12分)计算1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 012.
[精解详析] 法一：∵i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝(i2)2＝1，i5＝i4·i＝i，?(4分)
∴i4n＋1 ＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，?(6分)
且i＋i2＋i3＋i4＝0，?(8分)
∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 012
＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)×503
＝1.?(12分)
法二：1＋i＋i2＋…＋i2 012
＝?(4分)
＝?(6分)
＝?(8分)
＝?(10分)
＝1.?(12分)
[一点通]
(1)in的周期性．
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
(2)记住以下结果，可提高运算速度．
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.
②＝－i，＝i.
③＝－i.
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6．(1＋i)4等于( )
A．4 B．－4
C．4i D．－4i
解：(1＋i)4＝(2i)2＝－4.
答案：B
7．计算·2·3·…·10.
解：∵＝i，∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.
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1．熟练掌握乘除法运算法则. 求解运算时要灵活运用in的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．
2．对共轭复数的理解：
(1)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，其中a＋bi与a－bi是一对共轭复数，这是虚数实数化的一个重要依据．
(2)互为共轭复数的两个复数的模相等，且||2＝|z|2＝z.
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1．(安徽高考)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
解析：因为z＝1＋i，所以＋i·＝－i＋1＋i＋1＝2.
答案：C
2．(新课标全国卷Ⅰ)若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－
C．4 D．
解析：因为|4＋3i|＝ ＝5，
所以已知等式为(3－4i)z＝5，
即z＝＝＝＝＝＋i，
所以复数z的虚部为，选择D.
答案：D
3．若z＋＝6，z·＝10，则z＝( )
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.
答案：B
4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A． B．
C．1 D．2
解析：∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.
答案：A
5．(湖南高考)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝ .
解析：因为z＝(3＋i)2＝8＋6i，所以|z|＝＝10.
答案：10
6．若z＝－，则z2 012＋z102＝ .
解析：z2＝2＝－i.
z2 012＋z102＝(－i)1 006＋(－i)51
＝(－i)1 004·(－i)2＋(－i)48·(－i)3
＝－1＋i.
答案：－1＋i
7．复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
解：z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，
∴设a＝mi(m∈R，m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i＜0，
∴∴m＝4.∴a＝4i.
8．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)
＝(－x－7y)＋(7x－y)i，
∴7x－y＝0. ①
又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50. ②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
课件31张PPT。第三章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练3.2 复数的运算3．2.2 复数的乘法与除法知识点一知识点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(十)课时跟踪训练(十) 复数的乘法和除法
1．(安徽高考)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
2．(新课标全国卷Ⅰ)若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－
C．4 D.
3．若z＋＝6，z·＝10，则z＝( )
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A． B．
C．1 D．2
5．(湖南高考)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
6．若z＝－，则z2 012＋z102＝________.
7．复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
8．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
答 案
1．选C 因为z＝1＋i，所以＋i·＝－i＋1＋i＋1＝2.
2．选D 因为|4＋3i|＝ ＝5，
所以已知等式为(3－4i)z＝5，
即z＝＝＝
＝＝＋i，
所以复数z的虚部为，选择D.
3．选B 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.
4．选A ∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.
5．解析：因为z＝(3＋i)2＝8＋6i，所以|z|＝＝10.
答案：10
6．解析：z2＝2＝－i.
z2 012＋z102＝(－i)1 006＋(－i)51
＝(－i)1 004·(－i)2＋(－i)48·(－i)3
＝－1＋i.
答案：－1＋i
7．解：z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，
∴设a＝mi(m∈R，m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i＜0，
∴∴m＝4.∴a＝4i.
8．解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)
＝(－x－7y)＋(7x－y)i，
∴7x－y＝0. ①
又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50. ②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
