[对应学生用书P42]
一、复数的概念
1．复数的相等
两个复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，并且仅当a＝c且b＝d时，z1＝z2.特别地，当且仅当a＝b＝0时，a＋bi＝0.
2．虚数单位i具有幂的周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.(n∈N＋)
3．复数是实数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R?b＝0；
(2)z∈R?z＝；
(3)z∈R?z2≥0.
4．复数是纯虚数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0，且b≠0；
(2)z是纯虚数?z＋＝0(z≠0)；
(3)z是纯虚数?z2<0.
二、复数的运算
(1)复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分母有理化，注意i2＝－1.
(2)在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时不总是成立的：
(1)(zm)n＝zmn(m，n为分数)；
(2)zm＝zn?m＝n(z≠1)；
(3)z＋z＝0?z1＝z2＝0；
(4)|z|2＝z2.
[对应学生用书P65]
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 若复数z＝(1＋i)(x＋i)(x∈R)为纯虚数，则|z|等于( )
A．2 B．
C． D．1
解析：∵z＝x－1＋(x＋1)i为纯虚数且x∈R，
∴得x＝1，z＝2i，|z|＝2.
答案：A
2．(四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A B．B
C．C D．D
解析：因为x＋yi的共轭复数是x－yi，故选B.
答案：B
3．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：由＝b＋i得a＋2i＝bi－1，由复数相等知，a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1.
答案：B
4．复数等于( )
A．i B．－i
C．2－i D．－2＋i
解析：＝＝
＝＝i.
答案：A
5．(山东高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析：根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
答案：D
6．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是( )
A．－2＋3i B．－3－2i
C．2－3i D．3－2i
解析：设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得
∴∴D(－3，－2)．
∴对应复数为－3－2i.
答案：B
7．集合{z|z＝in＋i－n，n∈Z}，用列举法表示该集合，这个集合是( )
A．{0,2，－2} B．{0,2}
C．{0,2，－2,2i} D．{0,2，－2,2i，－2i}
解析：根据in的周期性计算即可．
答案：A
8．设复数z满足＝i，则|1＋z|的值为( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：由＝i，得z＝＝－i，
∴|1＋z|＝|1－i|＝.
答案：C
9．(陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：依据复数概念和运算，逐一进行推理判断．
对于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?1＝2，是真命题；
对于B，C易判断是真命题；
对于D，若z1＝2，z2＝1＋ i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，
z＝－2＋2i，是假命题．
答案：D
10．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i，
∴得∴λ＋μ＝1.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．已知a，b∈R，且a－1＋2ai＝4＋bi，则b＝ .
解析：由已知得得
答案：10
12．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为 ．
解析：＝＝＝＝＋i，
∵为纯虚数，∴∴a＝.
答案：
13．(湖北高考)若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝ .
解析：由＝＝＝a＋bi，得a＝，b＝，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.
答案：3
14．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是 ．
解析：由已知得∴4
∴k∈(－，－2)∪(2，)．
答案：(－，－2)∪(2，)
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
解：∵z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
∴(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
16．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1z2；(2).
解：因为z2＝＝＝＝＝1－3i，所以
(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＝＋i.
17．(本小题满分12分)已知z∈C，表示z的共轭复数，若z·＋i·z＝，求复数z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
z·＋i·z＝(a＋bi)(a－bi)＋i(a＋bi)
＝a2＋b2＋ai－b＝(a2＋b2－b)＋ai，
又∵z·＋i·z＝，
∴(a2＋b2－b)＋ai＝＝3－i，
根据复数相等的充要条件得
解得或
所以z＝－1－i或z＝－1＋2i.
18．(本小题满分14分)已知z是复数，z＋2i，?eq f(z,2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，,由z＋2i为实数，得y＝－2.,∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由为实数，得x＝4.
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知
解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．
