1．2.3 同角三角函数的基本关系式
预习课本P22～24，思考并完成以下问题
(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？
(2)已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？
同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan_α＝.
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
[点睛] (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．( )
(2)对任意角α，＝tan 2α都成立．( )
(3)若cos α＝0，则sin α＝1.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知α∈，sin α＝，则cos α＝( )
A. B．－
C．－ D.
答案：A
3．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是( )
A. B．－ C. D．－
答案：D
4．已知sin α＝，α∈，则tan α＝________.
答案：－
利用同角基本关系式求值
[典例] (1)已知tan α＝2，则
①＝________；
②＝________；
③4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________.
(2)已知sin α＝，求cos α，tan α的值．
[解析] (1)①注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的一次齐次式，可将分子分母同除以cos α(∵cos α≠0)，然后整体代入tan α＝2的值．
则＝＝＝3.
②注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的二次齐次式，分子分母同除以cos2α(∵cos2α≠0)，
则＝＝＝.
③似乎跟前两题没什么联系，但若能注意到sin2α＋cos2α＝1，则有4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝
＝，
这样便使得分子分母均为二次齐次式．
同②有＝＝＝1.
答案：①3 ② ③1
(2)∵sin α＝>0，∴α是第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝＝ ＝，tan α＝＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－.
1．求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
[活学活用]
(1)已知cos α＝－，求sin α和tan α.
(2)已知tan α＝2，试求的值．
解：(1)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，
因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝.
(2)由tan α＝2可得sin α＝2cos α，
故＝＝＝.
三角函数式的化简
[典例] (1)化简： .
(2)若角α是第二象限角，化简：tan α .
[解] (1)原式＝
＝
＝＝1.
(2)原式＝tan α ＝tan α ＝×，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
所以原式＝×＝×＝－1.
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[活学活用]
化简：(1)· ；
(2) .
解：(1)原式＝·
＝·
＝·＝±1.
(2)原式＝
＝
＝＝1.
证明简单的三角恒等式
[典例] 求证：＝.
[证明] [法一 直接法]
左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边，
∴原等式成立．
[法二 左右归一法]
左边＝＝，
右边＝＝
＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
[法三 比较法]
∵－
＝
＝
＝
＝
＝
＝0，
∴＝.
[法四 综合法]
∵(tan α－sin α)(tan α＋sin α)
＝tan2α－sin2α
＝tan2α－tan2α·cos2α
＝tan2α(1－cos2α)
＝tan2α·sin2α，
∴＝.
证明三角恒等式常用的方法
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．
(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
(4)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1.
[活学活用]
求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
证明：法一：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α
＝1＋sin2α＋cos2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α)
＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2
＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．
法二：∵左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，
右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，
∴左边＝右边.
sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
[典例] 已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值．
[解] 因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，
所以(sin θ＋cos θ)2＝，
即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，
所以sin θcos θ＝－.
由上知，θ为第二象限的角，
所以sin θ－cos θ>0，
所以sin θ－cos θ
＝
＝ ＝.
已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：
①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
④(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．
[活学活用]
1．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．
解：∵sin θ－cos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝.
解得sin θcos θ＝.
∵0<θ<π，且sin θ·cos θ＝>0，
∴sin θ>0，cos θ>0.
∴sin θ＋cos θ＝＝
＝ ＝.
由得
∴tan θ＝＝.
2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－，求sin θ－cos θ.
解：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－<0，
∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0.
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝ ＝.
层级一 学业水平达标
1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 因为sin α＝－，且α为第四象限角，
所以cos α＝，所以tan α＝－，故选D.
2．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：选B ∵α为第三象限角，
∴原式＝＋＝－3.
3．下列四个结论中可能成立的是( )
A．sin α＝且cos α＝
B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1
D．α是第二象限角时，tan α＝－
解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A、C、D都不成立．
4．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.
5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝，则三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析：选B 将sin α－cos α＝两边平方，得1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．
6．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cos θ＝－＝－ ＝－.
答案：－
7．化简：＝________.
解析：原式＝
＝ ＝|cos 40°－sin 40°|
＝cos 40°－sin 40°.
答案：cos 40°－sin 40°
8．已知tan α＝－，则＝________.
解析：＝
＝＝＝＝＝－.
答案：－
9．化简：(1)；
(2).
解：(1)原式＝
＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝cos θ.
10．已知sin α＋cos α＝，求tan α＋及sin α－cos α的值．
解：将sin α＋cos α＝两边平方，得sin αcos α＝－.
∴tan α＋＝＝－3，
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，
∴sin α－cos α＝±.
层级二 应试能力达标
1．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵α∈，∴sin α<0.
由tan α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，
得sin α＝－.
2．化简(1－cos α)的结果是( )
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
解析：选A (1－cos α)＝·(1－cos α)＝·(1－cos α)＝＝＝sin α.
3．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，
∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝.
4．已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A. B．±
C. D．－
解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，
即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，
∴sin θcos θ＝＝＝＝.
5．已知sin αcos α＝，且π<α<，则cos α－sin α＝________.
解析：因为π<α<，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α答案：－
6．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为________．
解析：∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，
当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cos α＝0时，sin α＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.
答案：1
7．已知＝，α∈.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解：(1)由＝，
得3tan2α－2tan α－1＝0，
即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，
解得tan α＝－或tan α＝1.
因为α∈，
所以tan α<0，所以tan α＝－.
(2)由(1)，得tan α＝－，
所以＝＝＝.
8．证明：
(1)－＝sin α＋cos α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
证明：(1)左边＝－
＝－
＝－
＝－＝
＝sin α＋cos α＝右边，
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，
∴左边＝右边，∴原式成立．
课件32张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(五)”
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课时跟踪检测（五） 同角三角函数的基本关系式
层级一 学业水平达标
1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 因为sin α＝－，且α为第四象限角，
所以cos α＝，所以tan α＝－，故选D.
2．若α为第三象限角，则 ＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：选B ∵α为第三象限角，
∴原式＝＋＝－3.
3．下列四个结论中可能成立的是( )
A．sin α＝且cos α＝
B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1
D．α是第二象限角时，tan α＝－
解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且 cos α＝－1，故B成立，而A、C、D都不成立．
4．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.
5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝，则三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析：选B 将sin α－cos α＝两边平方，得1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．
6．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cos θ＝－＝－ ＝－.
答案：－
7．化简：＝________.
解析：原式＝
＝ ＝|cos 40°－sin 40°|
＝cos 40°－sin 40°.
答案：cos 40°－sin 40°
8．已知tan α＝－，则＝________.
解析：＝
＝＝＝＝＝－.
答案：－
9．化简：(1)；
(2).
解：(1)原式＝
＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝cos θ.
10．已知sin α＋cos α＝，求tan α＋ 及sin α－cos α的值．
解：将sin α＋cos α＝两边平方，得sin αcos α＝－.
∴tan α＋＝＝－3，
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，
∴sin α－cos α＝±.
层级二 应试能力达标
1．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵α∈，∴sin α<0.
由tan α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，
得sin α＝－.
2．化简(1－cos α)的结果是( )
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
解析：选A (1－cos α)＝·(1－cos α)＝·(1－cos α)＝＝＝sin α.
3．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，
∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝.
4．已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A. B．±
C. D．－
解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，
即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，
∴sin θcos θ＝＝＝＝.
5．已知sin αcos α＝，且π<α<，则cos α－sin α＝________.
解析：因为π<α<，所以cos α<0，sin α<0.
利用三角函数线，知cos α所以cos α－sin α＝－＝－＝－.
答案：－
6．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为________．
解析：∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，
当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cos α＝0时，sin α＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.
答案：1
7．已知＝，α∈.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解：(1)由＝，
得3tan2α－2tan α－1＝0，
即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，
解得tan α＝－或tan α＝1.
因为α∈，
所以tan α<0，所以tan α＝－.
(2)由(1)，得tan α＝－，
所以＝＝＝.
8．证明：
(1)－＝sin α＋cos α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
证明：(1)左边＝－
＝－
＝－
＝－＝
＝sin α＋cos α＝右边，
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，
∴左边＝右边，∴原式成立．
