第二课时 诱导公式(四)
预习课本P31～32，思考并完成以下问题
(1)＋α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
(2)诱导公式四有何结构特征？
诱导公式
诱导公式(四)
角α与α＋的三
角函数间的关系
cos＝－sin_α，
sin＝cos_α
诱导公式(四) 的补充
角α与－α的三
角函数间的关系
cos＝sin_α，
sin＝cos_α
[点睛] 诱导公式(四)不同于前面的三个诱导公式，原因是等号左右两边的函数名称发生了改变，正弦变成余弦，同样余弦也变成正弦，其他规则不变．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式四中的角α只能是锐角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cos α.( )
(3)cos＝－sin α.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案：C
3．若cos＝，则cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案：A
4．化简：sin＝________.
答案：－cos α
利用诱导公式化简
[典例] 化简：
＋.
[解] ∵sin＝cos α，cos＝sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，
cos＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，
∴原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.
用诱导公式进行化简时的注意点
(1)化简后项数尽可能的少．
(2)函数的种类尽可能的少．
(3)分母不含三角函数的符号．
(4)能求值的一定要求值．
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[活学活用]
化简：(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
解：(1)原式＝·sin(－sin α)
＝·(－sin α)
＝·(－cos α)(－sin α)
＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos－
sin·cos[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos＋sincos(2π－α)
＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α
＝sin2α＋cos2α
＝1.
利用诱导公式证明恒等式
[典例] 求证：
＝.
[证明] 左边＝
＝
＝
＝
＝＝.
右边＝＝.
∴左边＝右边，故原式成立．
三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
[活学活用]
求证：·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.
证明：左边＝·[－sin(2π－α)]cos α＝
[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立.
利用诱导公式求值
[典例] 已知＝，求
的值．
[解] ∵＝
＝＝，
∴cos θ＝.
∴
＝
＝＝＝.
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
[活学活用]
已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)－sin(15°－α)的值．
解：cos(105°－α)－sin(15°－α)
＝cos[180°－(75°＋α)]－sin[90°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－.
层级一 学业水平达标
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B 由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.
3．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C 由cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－.又|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－.
4．已知tan θ＝2，则＝( )
A．2 B．－2
C．0 D.
解析：选B ＝
＝＝＝－2.
5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin B D．sin＝cos
解析：选D ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，故A，B错．
∵A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos＝cos＝sin，故C错．
∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D正确．
6．sin 95°＋cos 175°的值为________．
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)
＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：0
7．若sin＝，则cos2θ－sin2θ＝________.
解析：sin＝cos θ＝，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－.
答案：－
8．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.
解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos
＝－sin(π＋α)·
＝sin α·(－sin α)
＝－sin2α.
答案：－sin2α
9．已知sin(π＋α)＝－.
求：(1)cos；
(2)sin.
解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
(1)cos＝cos＝－sin α＝－.
(2)sin＝cos α，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin＝cos α＝.
②当α为第二象限角时，sin＝cos α＝－.
10．已知cos＝，
求值：＋.
解：原式＝＋
＝－sin α－sin α＝－2sin α.
又cos＝，所以－sin α＝.
所以原式＝－2sin α＝.
层级二 应试能力达标
1．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为( )
A．－m B．－m
C.m D.m
解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos＝－m，
即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m，从而sin α＝，
∴cos＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.
2．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x
C．f＝－cos x D．f(π－x)＝－f(x)
解析：选C f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sin x；
f(2π－x)＝sin(2π－x)＝sin(－x)＝－sin x；
f＝sin＝－sin＝－cos x；
f(π－x)＝sin(π－x)＝sin x＝f(x)，故选C.
3．化简的结果是( )
A．－1 B．1
C．tan α D．－tan α
解析：选C 原式＝
＝＝tan α，故选C.
4．已知cos(60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝－ ＝－.
5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________.
解析：原式＝·
＝·
＝＝1.
答案：1
6．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，
x∈N)，
∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋2＝.
答案：
7．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cos＝，
求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)因为cos＝－sin α，所以sin α＝－.
又α是第三象限的角，
所以cos α＝－ ＝－.
所以f(α)＝.
8．已知sin(3π－α)＝cos，cos(π－α)＝cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．
解：由已知，得sin α＝sin β，①
cos α＝cos β，②
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，所以sin2α＝.
又0<α<π，则sin α＝.
将sin α＝代入①，得sin β＝.
又0<β<π，故cos β＝±.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(七)”
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课时跟踪检测（七） 诱导公式（四）
层级一 学业水平达标
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B 由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，
所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.
3．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C 由cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－.
又|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－.
4．已知tan θ＝2，则＝( )
A．2 B．－2
C．0 D.
解析：选B ＝
＝＝＝－2.
5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos ＝sin B D．sin＝cos
解析：选D ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，故A，B错．
∵A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos＝cos＝sin，故C错．
∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos ，故D正确．
6．sin 95°＋cos 175°的值为________．
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)
＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：0
7．若sin＝，则cos2θ－sin2θ＝________.
解析：sin＝cos θ＝，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－.
答案：－
8．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.
解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos
＝－sin(π＋α)·
＝sin α·(－sin α)
＝－sin2α.
答案：－sin2α
9．已知sin(π＋α)＝－.
求：(1)cos；
(2)sin.
解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
(1)cos＝cos＝－sin α＝－.
(2)sin＝cos α，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin＝cos α＝.
②当α为第二象限角时，sin＝cos α＝－.
10．已知cos＝，
求值：＋.
解：原式＝＋
＝－sin α－sin α＝－2sin α.
又cos＝，所以－sin α＝.
所以原式＝－2sin α＝.
层级二 应试能力达标
1．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为( )
A．－m B．－m
C. m D. m
解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos＝－m，
即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m，从而sin α＝，
∴cos＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.
2．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x
C．f＝－cos x D．f(π－x)＝－f(x)
解析：选C f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sin x；
f(2π－x)＝sin(2π－x)＝sin(－x)＝－sin x；
f＝sin＝－sin＝－cos x；
f(π－x)＝sin(π－x)＝sin x＝f(x)，故选C.
3．化简的结果是( )
A．－1 B．1
C．tan α D．－tan α
解析：选C 原式＝＝＝tan α，故选C.
4．已知cos(60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，
又cos(60°＋α)＝>0，所以－90°<60°＋α<－30°，
即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，
所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝－ ＝－.
5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________.
解析：原式＝·
＝·
＝＝1.
答案：1
6．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，
∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋2＝.
答案：
7．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cos＝，
求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)因为cos＝－sin α，所以sin α＝－.
又α是第三象限的角，
所以cos α＝－ ＝－.
所以f(α)＝.
8．已知sin(3π－α)＝cos，cos(π－α)＝cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．
解：由已知，得sin α＝sin β， ①
cos α＝cos β， ②
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，所以sin2α＝.
又0<α<π，则sin α＝.将sin α＝代入①，得sin β＝.
又0<β<π，故cos β＝±.
