1．2.4 诱导公式
第一课时 诱导公式(一、二、三)
预习课本P26～30，思考并完成以下问题
(1)α与α＋k·2π(k∈Z)，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)终边有何关系？
(2)诱导公式一、二、三有哪些结构特征？
诱导公式
诱导公式(一)
角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系
cos(α＋k·2π)＝cos_α(k∈Z)，
sin(α＋k·2π)＝sin_α(k∈Z)，
tan(α＋k·2π)＝tan_α(k∈Z)
诱导公式(二)
角α与－α的三角函数间的关系
cos(－α)＝cos_α，
sin(－α)＝－sin_α，
tan(－α)＝－tan_α
诱导公式(三)
角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系
cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos_α，
sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin_α，
tan[α＋(2k＋1)π]＝tan_α，
其中k∈Z
[点睛] 利用诱导公式(二)和(三)，可得到角α与π－α的三角函数间的关系
sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]
＝－sin(－α)
＝sin α，
同样方法可得cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角．( )
(2)公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( )
(3)公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝不成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知cos(π＋θ)＝，则cos θ＝( )
A. B．－
C. D．－
答案：B
3．若sin(π＋α)＝，则sin α等于( )
A. B．－
C．3 D．－3
答案：B
4．已知tan α＝4，则tan(－α)＝________.
答案：－4
给角求值问题
[典例] 求下列三角函数值：
(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos.
[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin[180°＋(－60°)]＝sin(－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos＝cos＝cos＝cos＝.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[活学活用]
求下列各式的值：
(1)sin 315°sin(－1 260°)＋cos 570°sin(－840°)；
(2)sin ·cos ·tan .
解：(1)原式＝sin(360°－45°)sin(－4×360°＋180°)＋cos(360°＋210°)sin(－3×360°＋240°)＝sin(－45°)sin 180°＋cos(180°＋30°)sin(180°＋60°)＝－sin 45°×0－cos 30°·(－sin 60°)＝cos 30°sin 60°＝×＝.
(2)原式＝sin ·cos·tan
＝sin ·cos ·tan
＝sin·cos·tan
＝··tan
＝－×－×1＝.
化简求值问题
[典例] 化简：(1)；
(2).
[解] (1)＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝＝－1.
利用诱导公式化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[活学活用]
化简下列各式：
(1)；
(2)(n∈Z)．
解：(1)原式＝＝＝＝.
(2)法一：当n＝2k，k∈Z时，
原式＝＝＝.
当n＝2k＋1，k∈Z时，原式＝
＝＝＝－.
所以原式＝
法二：原式＝＝(－1)n.
给值(或式)求值问题
[典例] 已知cos＝，求cos的值．
[解] 因为cos＝cos
＝－cos＝－cos＝－.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求：
(1)cos的值；
(2)sin2的值．
解：(1)cos＝cos＝cos＝.
(2)sin2＝sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－2＝.
2．[变条件]若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，求cos的值．
解：因为α∈，
则α－∈.
cos＝－cos＝－cos
＝ ＝ ＝.
3．[变条件，变设问]tan＝，求tan.
解：tan＝tan
＝tan＝－tan＝－.
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
层级一 学业水平达标
1．sin 600°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
2．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B 由题知，sin α＝，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－.
3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C ∵r＝1，∴cos θ＝－，
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝.
4．已知tan＝，则tan＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B tan＝tan
＝tan＝－tan＝－.
5．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于( )
A. B.
C．－1 D．1
解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]
＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m，
∴原式＝＝＝
＝，故选A.
6．求值：(1)cos ＝______；(2)tan(－855°)＝______.
解析：(1)cos ＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
答案：(1)－ (2)1
7．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．
解析：sin(π－α)＝sin α＝log8＝－，
又α∈，
所以cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.
答案：
8．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
答案：
9．求下列各三角函数值：
(1)sin；(2)cos；(3)tan.
解：(1)sin＝sin＝sin
＝sin＝－sin＝－.
(2)cos＝cos＝cos＝cos＝.
(3)tan＝tan＝tan＝.
10．若cos α＝，α是第四象限角，
求的值．
解：由已知cos α＝，
α是第四象限角得sin α＝－，
故
＝＝.
层级二 应试能力达标
1．已知cos(π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )
A. B．－
C．± D.
解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝.
∵α是第一象限角，∴sin α>0，
∴sin α＝＝ ＝.
∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－.
2．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 017)＝3，则f(2 018)的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C ∵f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋4＝3，∴asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－1，∴f(2 018)＝asin(2 017π＋α＋π)＋bcos(2 017π＋β＋π)＋4＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β)＋4＝1＋4＝5.
3．若α，β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是( )
A．sin α＝sin β B．cos α＝cos β
C．tan α＝tan β D．sin α＝－sin β
解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y轴对称，
∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k∈Z，
∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k∈Z，
∴sin α＝sin β.
法二：设角α终边上一点P(x，y)，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，则sin α＝sin β＝.
4．下列三角函数式：①sin；②cos；③sin；④cos；
⑤sin.
其中n∈Z，则函数值与sin的值相同的是( )
A．①② B．①③④
C．②③⑤ D．①③⑤
解析：选C ①中sin＝sin≠sin；②中，cos＝cos＝sin；③中，sin＝sin；④中，cos＝cos＝－cos≠sin；⑤中，sin＝sin＝－sin＝sin.
5．化简：的值是________．
解析：原式＝
＝＝
＝＝＝－2.
答案：－2
6．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
解析：因为f＝sin
＝sin＝sin＝；
f＝f－1＝f－2
＝sin－2＝－－2＝－.
所以f＋f＝－2.
答案：－2
7．计算与化简
(1)；
(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
解：(1)原式＝＝＝tan θ.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)
＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝×＋×＝1.
8．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：由＝3＋2，
得(4＋2)tan θ＝2＋2，
所以tan θ＝＝，
故原式＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan θ＋2tan2θ
＝1＋＋2×2
＝2＋.
