1．3.1 正弦函数的图象与性质
第二课时 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)
预习课本P44～49，思考并完成以下问题
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？
(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？
(3)函数y＝Asin x，x∈R(A＞0且A≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？
(4)函数y＝sin ωx，x∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
[点睛] 当A＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin的初相不是φ＝－.
2．φ，ω，A对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
[点睛] (1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.( )
(2)函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.( )
(3)由函数y＝sin的图象得到y＝sin x的图象，必须向左平移．( )
(4)把函数y＝sin x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin 3x的图象．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
答案：B
3．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动1个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
D．向右平行移动π个单位长度
答案：A
4．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得________的图象．
答案：y＝sin 4x
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
[典例] 说明y＝－2sin＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的．
[解] [法一 先伸缩后平移]
y＝sin x的图象y＝－2sin x的图象y
＝－2sin 2x的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
[法二 先平移后伸缩]
y＝sin x的图象y＝－2sin x的图象y＝－2sinx－的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
[活学活用]
1．将函数y＝sin向左平移个单位，可得到函数图象是( )
A．y＝sin 2x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C y＝sin 的图象y＝sin＝sin的图象．
2．把函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为( )
A．y＝sin＋1 B．y＝sin＋1
C．y＝sin－1 D．y＝sin－1
解析：选B 将函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin 2x的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin 2x＋1的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2＋1＝sin2x－＋1的图象．故选B.
由图象确定函数的解析式
[典例] 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象的一部分，求此函数的解析式．
[解] [法一 逐一定参法]
由图象知A＝3，
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin.
[法二 待定系数法]
由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
[法三 图象变换法]
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin 2，即y＝3sin.
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
[活学活用]
如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
的图象的一部分，试求该函数的解析式．
解：由图可得：A＝，T＝
2|MN|＝π.从而ω＝＝2，
故y＝sin(2x＋φ)，
又∵2×＋φ＝2 kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋2 kπ，k∈Z.
∴y＝sin.
正弦型函数图象的对称性
[典例] 在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
[解析] 设4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)
∴函数y＝2sin图象的对称中心坐标为(k∈Z)．
取k＝1得满足条件．
[答案]
正弦型函数对称轴、对称中心的求法
对称轴
对称中心
y＝Asin(ωx＋φ)
令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
[活学活用]
将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y轴最近的一条对称轴方程为________．
解析：由4x＋＝kπ＋，得x＝－，
取k＝0时，x＝－满足题意．
答案：x＝－
三角函数在实际生活中的应用
[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解] 列表如下，
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，
所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
解三角函数应用问题的基本步骤
[活学活用]
通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈)的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
解：(1)由题意知解得
易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sin＋6＝8sin＋6<8sin＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．
层级一 学业水平达标
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.
2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度
解析：选B 将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.
3．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：选A T＝＝＝6，
∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
4．将函数y＝sin的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
解析：选A 函数y＝sin的图象向左平移π个单位长度，得到y＝sin＝－sin的图象，其对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，得x＝，故选A.
5．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 当x＝0时，y＝sin＝－<0，
故可排除B、D；当x＝时，sin＝sin 0＝0，排除C.
6．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________.
解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y＝sin x的图象向左平移φ个单位长度得到y＝sin (x＋φ)的图象，而sin＝sin＝sin ，即φ＝.
答案：
7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由题意设函数周期为T，
则＝－＝，∴T＝.
∴ω＝＝.
答案：
8．将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．
解析：y＝sin的图象y＝sin的图象．
答案：y＝sin
9．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求f(x)的解析式．
解：反过来想，y＝sin x y＝sin
y＝sin，即f(x)＝sin.
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相．
解：(1)由图象可知A＝2，＝－＝，
∴T＝，ω＝＝.
将N代入y＝2sin得，
2sin＝－2，
∴＋φ＝2kπ－，φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|＜π，∴φ＝－.
∴函数的解析式为y＝2sin.
(2)由(1)，知f(x)的最小正周期为＝8，频率为，振幅为2，初相为－.
层级二 应试能力达标
1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：选B 由题意知A＝3，ω＝＝.
2．要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选B 由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
3．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于点对称
解析：选A 依题意得T＝＝π，ω＝2，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝1，f＝sin＝sin＝，因此该函数的图象关于直线x＝对称，不关于点和点对称，也不关于直线x＝对称．故选A.
4．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图象的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 将原函数图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图象，再把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得y＝sin的图象．
5．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
解析：A＝3＞0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．
答案：伸长 3
6．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________.
解析：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝.
答案：
7．求函数y＝sin图象的对称轴、对称中心．
解：令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)．
即对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．
8.如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个周期内的图象．
(1)写出f(x)的解析式；
(2)若y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，写出g(x)的解析式；
(3)指出g(x)的周期、频率、振幅、初相．
解：(1)由图知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
∴ω＝＝＝，∴f(x)＝2sin.
将点(－1,0)代入，得0＝2sin.
∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)作出与f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象(图略)，可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，
∴g(x)＝2sin＝2sin.
(3)由(2)知，g(x)的周期T＝＝8，频率f＝＝，振幅A＝2，初相φ0＝－.
课件31张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(九)”
(单击进入电子文档)
课时跟踪检测（九） 正弦型函数y= Asin (ωx+φ）
层级一 学业水平达标
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.
2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度
解析：选B 将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.
3．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：选A T＝＝＝6，
∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
4．将函数y＝sin的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
解析：选A 函数y＝sin的图象向左平移π个单位长度，得到y＝sin＝－sin的图象，其对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，得x＝，故选A.
5．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 当x＝0时，y＝sin＝－<0，
故可排除B、D；当x＝时，sin＝sin 0＝0，排除C.
6．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________.
解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y＝sin x的图象向左平移φ个单位长度得到y＝sin (x＋φ)的图象，而sin＝sin＝sin ，即φ＝.
答案：
7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由题意设函数周期为T，
则＝－＝，∴T＝.
∴ω＝＝.
答案：
8．将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．
解析：y＝sin的图象y＝sin的图象．
答案：y＝sin
9．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求f(x)的解析式．
解：反过来想，y＝sin x y＝sin
y＝sin，即f(x)＝sin.
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相．
解：(1)由图象可知A＝2，＝－＝，
∴T＝，ω＝＝.
将N代入y＝2sin得，
2sin＝－2，
∴＋φ＝2kπ－，φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|＜π，∴φ＝－.
∴函数的解析式为y＝2sin.
(2)由(1)，知f(x)的最小正周期为＝8，频率为，振幅为2，初相为－.
层级二 应试能力达标
1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：选B 由题意知A＝3，ω＝＝.
2．要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选B 由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
3．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于点对称
解析：选A 依题意得T＝＝π，ω＝2，故f(x)＝sin，
所以f＝sin＝sin＝1，f＝sin＝sin＝，
因此该函数的图象关于直线x＝对称，不关于点和点对称，也不关于直线x＝对称．故选A.
4．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图象的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 将原函数图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图象，再把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得y＝sin的图象．
5．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
解析：A＝3＞0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．
答案：伸长 3
6．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________.
解析：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝.
答案：
7．求函数y＝sin图象的对称轴、对称中心．
解：令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)．
即对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．
8.如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个周期内的图象．
(1)写出f(x)的解析式；
(2)若y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，写出g(x)的解析式；
(3)指出g(x)的周期、频率、振幅、初相．
解：(1)由图知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
∴ω＝＝＝，∴f(x)＝2sin.
将点(－1,0)代入，得0＝2sin.
∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)作出与f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象(图略)，可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，
∴g(x)＝2sin＝2sin.
(3)由(2)知，g(x)的周期T＝＝8，频率f＝＝，振幅A＝2，初相φ0＝－.
