1．3.1 正弦函数的图象与性质
第一课时 正弦函数的图象与性质
预习课本P37～43，思考并完成以下问题
(1)如何把y＝sin x，x∈[0,2π]图象变换为y＝sin x，x∈R的图象？
(2)正弦函数图象五个关键点是什么？
(3)周期函数的定义是什么？
(4)正弦函数的性质是什么？
1．正弦函数的图象及作法
(1)“正弦线”作图．
①利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．
②要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．
(2)“五点法”.
函数
y＝sin x
图象
图象画法
五点法
关键五点
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
[点睛] “五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．
2．正弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
[点睛] 对周期函数的两点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)如果T是函数?(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是?(x)的周期．
(2)正弦函数的性质
函数
y＝sin x
图象
性质
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
奇函数
周期
2π
单调性
在每一个闭区间
(k∈Z)上是增函数；
在每一个闭区间
(k∈Z)上是减函数
最大值
与最小值
x＝＋2kπ时，ymax＝1(k∈Z)；
x＝－＋2kπ时，ymin＝－1(k∈Z)
[点睛] 正弦函数不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数在第一象限内是增函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)画正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制．( )
(2)若T是函数?(x)的周期，则kT，k∈N＋也是函数f(x)的周期．( )
(3)函数y＝3sin 2x是奇函数．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．函数y＝sinx的最小正周期为( )
A．2π B．π
C．4π D．6π
解析：选C ∵sin＝sin＝sinx，∴sinx的周期为4π，故选C.
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
答案：C
4．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表.
x
0
①
2π
－sin x
②
－1
0
③
0
①________；②________；③________.
答案：π 0 1
用“五点法”作简图
[典例] 作函数y＝3tan xcos x的图象．
[解] 由cos x≠0，得x≠kπ＋(k∈Z)，于是函数y＝3tan xcos x的定义域为.又y＝3tan xcos x＝3sin x，即y＝3sin x.按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
3sin x
0
3
0
－3
0
描点并将它们用平滑曲线连起来(如下图)：
先作出y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象，然后向左、右扩展，去掉横坐标为的点，得到y＝3tan xcos x的图象．
用五点法画函数y＝Asin x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
[活学活用]
用“五点法”画出函数y＝3－sin x(x∈[0,2π])的图象．
解：(1)列表：
x
0
π
π
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝3－sin x
3
2
3
4
3
(2)描点，连线，如图所示．
正弦函数的周期性、奇偶性
[典例] (1)函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
(2)函数f(x)＝|sin x|的最小正周期为________．
(3)定义在R上的函数?(x)既是偶函数又是周期函数，若?(x)的最小正周期是π，且当x∈时，?(x)＝sin x，求?的值．
[解析] (1)∵f(x)的定义域是R.
且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，
∴函数为奇函数．
(2)法一：∵?(x)＝|sin x|,
∴?(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝?(x)，
∴?(x)的周期为π.
法二：∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π.
[答案] (1)A (2)π
(3)解：∵?(x)的最小正周期是π，
∴?＝?＝?
∵?(x)是R上的偶函数，
∴?＝?＝sin＝.
∴?＝.
[一题多变]
1．[变条件]若本例(3)中“偶”变“奇”其他条件不变，求?的值．
解：?＝?＝－?
＝－sin＝－.
2．[变设问]若本例(3)条件不变，求?的值．
解：?＝?＝?
＝?＝sin ＝.
3．[变条件]若本例(3)条件为：函数?(x)为偶函数且?＝－?(x)，?＝1，求?的值．
解：∵?＝－?(x)，
∴?(x＋π)＝?(x)，即T＝π，
?＝?＝?＝?＝1.
求三角函数周期和判断奇偶性的方法
(1)求三角函数周期的方法
①定义法：即利用周期函数的定义求解．
②图象法：即通过观察函数图象求其周期．
(2)判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
正弦函数的单调性
[典例] 求函数y＝3sin的单调递减区间．
[解] ∵y＝3sin＝－3sin，
∴y＝3sin是增函数时，
y＝3sin是减函数．
∵函数y＝sin x在(k∈Z)上是增函数，
∴－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数y＝3sin的单调递减区间为(k∈Z)．
与正弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦函数的图象，熟记其单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
[活学活用]
1．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈的值域是( )
A．[1,3] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．[－1,1]
解析：选B ∵x∈，∴sin x∈[－1,1]，
∴－2sin x＋1∈[－1,3]．
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.根据正弦函数的单调性知sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
3．求函数y＝sin的单调区间．
解：由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z
得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调增区间为
(k∈Z)．
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调减区间为
(k∈Z)．
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A 由于x∈R，
且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
2．下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sin与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x
解析：选D A、B、C中f(x)＝－g(x)，D中f(x)＝g(x)．
3．函数y＝2－3sin x的最大值、最小值分别是( )
A．2，－3 B．0,2
C．5,2 D．5，－1
解析：选D ∵－1≤sin x≤1，∴－3≤－3sin x≤3，
∴－1≤2－3sin x≤5.
4．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
解析：选B y＝4sin(2x＋π)＝－4sin 2x，奇函数图象关于原点对称．
5．与图中曲线对应的函数是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x| D．y＝－|sin x|
解析：选C 注意到此函数图象所对应的函数值有正有负，因此排除A、D.当x∈(0，π)时，sin|x|＞0，与题图不符合，因此排除B.
6．函数?(x)是以2为周期的函数，且?(2)＝3，则?(6)＝________.
解析：∵函数?(x)是以2为周期的函数，且?(2)＝3，
∴?(6)＝?(2×2＋2)＝?(2)＝3.
答案：3
7．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与y＝的交点的个数是________．
解析：由y＝sin x的图象向上平移1个单位，得y＝1＋sin x的图象，故在[0,2π]上与y＝交点的个数是2个．
答案：2
8．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．
解析：因为sin(x＋π)＝－sin x，所以要求y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间，即求y＝sin x在上的单调递减区间，易知为.
答案：
9．利用“五点法”作出函数y＝sinx－x∈，的图象．
解：列表如下：
x
π
2π
x－
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
描点连线，如图所示．
10．求函数y＝－3sin的单调区间．
解：函数y＝－3sin的单调递增区间，
即函数y＝3sin的单调递减区间．
令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，
即函数y＝－3sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
同理，令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
即函数y＝－3sin的单调递减区间为(k∈Z)．
层级二 应试能力达标
1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B 由2x＝0，，π，，2π知五个点的横坐标是0，，，，π.
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B ∵x∈，∴－≤2x－≤，∴当2x－＝－时，f(x)＝sin有最小值－.
3．函数y＝2sin(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选C 周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
4．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是( )
A．(0，π) B.
C. D.
解析：选C 画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－的解集是.故选C.
5．函数值sin，sin，sin从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．
解析：∵＜＜＜＜π，又函数y＝sin x在上单调递减，∴sin＞sin＞sin.
答案：sin＞sin＞sin
6．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0,2π]时，sin x∈[－1,1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
答案：
7．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
解：(1)最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
∴当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1，
∴当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.
8．已知函数?(x)对于任意实数x满足条件?(x＋2)
＝－(?(x)≠0)．
(1)求证：函数?(x)是周期函数．
(2)若?(1)＝－5，求?(?(5))的值．
解：(1)证明：∵?(x＋2)＝－，
∴?(x＋4)＝－
＝－
＝?(x)，
∴?(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是?(x)的一个周期．
∴?(5)＝?(1)＝－5，
∴?(?(5))＝?(－5)＝?(－1)＝＝＝.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(八)”
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课时跟踪检测（八） 正弦函数的图象与性质
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A 由于x∈R，
且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
2．下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sin与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x
解析：选D A、B、C中f(x)＝－g(x)，D中f(x)＝g(x)．
3．函数y＝2－3sin x的最大值、最小值分别是( )
A．2，－3 B．0,2
C．5,2 D．5，－1
解析：选D ∵－1≤sin x≤1，∴－3≤－3sin x≤3，
∴－1≤2－3sin x≤5.
4．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
解析：选B y＝4sin(2x＋π)＝－4sin 2x，奇函数图象关于原点对称．
5．与图中曲线对应的函数是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x| D．y＝－|sin x|
解析：选C 注意到此函数图象所对应的函数值有正有负，因此排除A、D.当x∈(0，π)时，sin|x|＞0，与题图不符合，因此排除B.
6．函数?(x)是以2为周期的函数，且?(2)＝3，则?(6)＝________.
解析：∵函数?(x)是以2为周期的函数，且?(2)＝3，
∴?(6)＝?(2×2＋2)＝?(2)＝3.
答案：3
7．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与y＝的交点的个数是________．
解析：由y＝sin x的图象向上平移1个单位，得y＝1＋sin x的图象，故在[0,2π]上与 y＝交点的个数是2个．
答案：2
8．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．
解析：因为sin(x＋π)＝－sin x，所以要求y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间，即求y＝sin x在上的单调递减区间，易知为.
答案：
9．利用“五点法”作出函数y＝sinx－x∈，的图象．
解：列表如下：
x
π
2π
x－
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
描点连线，如图所示．
10．求函数y＝－3sin的单调区间．
解：函数y＝－3sin的单调递增区间，
即函数y＝3sin的单调递减区间．
令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，
即函数y＝－3sin的单调递增区间为(k∈Z)．
同理，令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
即函数y＝－3sin的单调递减区间为(k∈Z)．
层级二 应试能力达标
1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B 由2x＝0，，π，，2π知五个点的横坐标是0，，，，π.
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B ∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴当2x－＝－时，f(x)＝sin有最小值－.
3．函数y＝2sin(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
解析：选C 周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
4．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是( )
A．(0，π) B.
C. D.
解析：选C 画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x＝或.
可知不等式sin x<－的解集是.故选C.
5．函数值sin，sin，sin从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．
解析：∵＜＜＜＜π，又函数y＝sin x在上单调递减，
∴sin＞sin＞sin.
答案：sin＞sin＞sin
6．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0,2π]时，sin x∈[－1,1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
答案：
7．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
解：(1)最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
∴当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1，
∴当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.
8．已知函数?(x)对于任意实数x满足条件?(x＋2)＝－(?(x)≠0)．
(1)求证：函数?(x)是周期函数．
(2)若?(1)＝－5，求?(?(5))的值．
解：(1)证明：∵?(x＋2)＝－，
∴?(x＋4)＝－＝－＝?(x)，
∴?(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是?(x)的一个周期．
∴?(5)＝?(1)＝－5，
∴?(?(5))＝?(－5)＝?(－1)＝＝＝.
