1．3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
第二课时 正切函数的图象与性质
预习课本P54～56，思考并完成以下问题
(1)正切函数有哪些性质？
(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？
正切函数y＝tan x的图象与性质
y＝tan x
图象
定义域
值域
R
周期
最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间(k∈Z)内递增
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数在整个定义域上是增函数．( )
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )
(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
3．函数f(x)＝tan的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案：C
4．函数y＝sin x＋tan x，x∈的值域为________．
答案：
正切函数的定义域
[典例] 求下列函数的定义域：
(1)y＝tan；(2)y＝.
[解] (1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，
x≠kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为
.
(2)由－tan x≥0得，
tan x≤.
结合y＝tan x的图象可知，
在上，
满足tan x≤的角x应满足－所以函数y＝的定义域为
.
求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
[活学活用]
求函数y＝的定义域．
解：要使函数有意义，则有1＋tan x≠0，
∴tan x≠－1，
∴x≠kπ－且x≠kπ＋，k∈Z.
因此，函数y＝的定义域为
.
与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
[典例] (1)求f(x)＝tan的周期；
(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．
[解] (1)∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
∴它是奇函数．
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性、对称性问题
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)对称性的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．
(3)易忽视正切曲线只有对称中心．
[活学活用]
1．函数y＝tan的最小正周期是( )
A．4 B．4π C．2π D．2
解析：选D T＝＝π·＝2.
2．已知函数f(x)＝tan x＋，若f(α)＝5，则f(－α)＝________.
解析：f(x)的定义域为∪(k∈Z)．可知f(x)的定义域关于原点对称．又f(－x)＝tan(－x)＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．∴f(－α)＝－f(α)＝－5.
答案：－5
正切函数的单调性及应用
题点一：求单调区间
1．求函数y＝tan的单调区间．
解：y＝tan＝－tan，
由kπ－<x－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z.
题点二：比较大小
2．比较tan与tan的大小．
解：tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝tan＝－tan，
∵0<<<，且y＝tan x在内递增，
∴tan ＜tan，∴－tan>－tan，
∴tan>tan.
题点三：求值域或最值
3．已知f(x)＝tan2x－2tan x，求f(x)的值域．
解：令u＝tan x，因为|x|≤，所以u∈[－， ]，
所以函数化为y＝u2－2u.
对称轴为u＝1∈[－， ]．
所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1.
当u＝－时，ymax＝3＋2.
所以f(x)的值域为[－1,3＋2 ]．
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
[注意] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间(k∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间(k∈Z)上是增函数，但不能说函数y＝tan x在定义域内是增函数．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
层级一 学业水平达标
1．函数y＝－2＋tan的定义域是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选A 由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－π＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.
2．f(x)＝tan的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选B 法一：函数y＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝，直接套用公式，可得T＝＝.
法二：由诱导公式可得tan＝tan＝tan，所以f＝f(x)，所以周期为T＝.
3．若函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围为( )
A．(0,1] B．[－1,0)
C．(－∞，1] D．(－∞，－1]
解析：选B 由题意知其周期T≥π，即≥π.∴|ω|≤1，又函数为减函数，∴ω<0.故－1≤ω＜0.
4．函数y＝|tan 2x|是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
解析：选D f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝.
5．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：选D 当x＝时，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直线x＝与函数的图象不相交．
6．函数y＝的定义域是___________________________________________．
解析：由1－tan x≥0即tan x≤1结合图象可解得．
答案：(k∈Z)
7．函数y＝tan的单调递增区间是______________________________________．
解析：令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k∈Z，
解得－答案：，k∈Z
8．函数y＝3tan(π＋x)，－解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tan x，因为正切函数在上是增函数，所以－3答案：(－3， ]
9．比较下列各组中两个正切函数值的大小．
(1)tan 167°与tan 173°；
(2)tan与tan.
解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°，
又∵y＝tan x在上是增函数，
∴tan 167°＜tan 173°.
(2)∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan，
又∵0＜＜＜，函数y＝tan x，x∈是增函数，
∴tan＜tan，
即tan＜tan.
10．已知f(x)＝tan，
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜的φ值．
解：(1)法一：∵y＝tan x的周期是π.
∴y＝tan的周期是.
法二：由诱导公式知：tan
＝tan＝tan，
即f＝f(x)．∴f(x)的周期是.
(2)∵f(x＋φ)＝tan是奇函数，
∴图象关于原点中心对称，
∴＋2φ＝(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)．
令＜(k∈Z)，
解得－＜k＜，k∈Z.∴k＝－1,0,1，或2.
从而得φ＝－，－，或
层级二 应试能力达标
1．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 要使函数有意义，只要logtan x≥0，即0＜tan x≤1.由正切函数的图象知，kπ＜x≤kπ＋，k∈Z.
2．函数y＝tan(cos x)的值域是( )
A. B.
C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不对
解析：选C ∵－1≤cos x≤1，且函数y＝tan x在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x≤tan 1.
即－tan 1≤tan x≤tan 1.
3．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
解析：选A 令y＝tan＝0，则有x－＝kπ，x＝2kπ＋，k∈Z.再令k＝0，得x＝，可知函数图象与x轴一交点的横坐标为.故可排除C、D.令x－＝－，得x＝－，或令x－＝，得x＝.故排除B，选A.
4．已知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．－ C．－1 D.
解析：选A 由题意，可知T＝，所以ω＝＝4，即f(x)＝tan 4x，所以f＝tan π＝0.
5．若tan x＞tan且x在第三象限，则x的取值范围是________．
解析：tan x＞tan＝tan，又x为第三象限角，
∴kπ＋＜x＜kπ＋(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．已知函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
解析：函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则有ω<0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.
答案：[－1,0)
7．已知x∈，求函数y＝＋2tan x＋1的最值及相应的x的值．
解：y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1
＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1.
∵x∈，∴tan x∈[－，1]．
当tan x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，y取得最大值5.
8．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
解：由x－≠＋kπ，k∈Z，
得x≠＋2kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为
.
T＝＝2π，
所以函数y＝tan的周期为2π.
由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，得
－＋2kπ所以函数y＝tan的单调递增区间为
(k∈Z)．
