1．3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
第一课时 余弦函数的图象与性质
预习课本P51～53，思考并完成以下问题
(1)余弦曲线五个关键点是什么？
(2)余弦函数的性质是什么？
1．余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
2．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度便可，这是由于cos x＝sin.
(2)用“五点法”：画余弦函数y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
3．余弦函数的性质
定义域
R
值域
[－1,1]
最值
最大值为1，
最小值为－1
周期性
周期为2π
奇偶性
偶函数
单调性
在每一个闭区间[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上都是增函数；在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是减函数
[点睛] 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的最小正周期为T＝.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点．( )
(2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．( )
(3)函数y＝sin x，x∈的图象与函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )
(4)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的图象与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称
答案：A
3．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin x B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x
答案：D
4．函数y＝3＋2cos x的最大值为________．
答案：5
函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象
[典例] (1)要得到函数y＝3cos的图象，可以将函数y＝3cos的图象沿x轴( )
A．向左平移个单位 B．向左平移π个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移π个单位
(2)用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
[解析] (1)∵y＝3cos
＝3cos，
∴将函数y＝3cos图象上所有点向左平移个单位，便可得到函数y＝3cos的图象，故选C.
答案：C
(2)列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
0
1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
“五点法”画函数图象的三个步骤
作形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b，x∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x＝0，，π，，2π；②描点；③用光滑曲线连成图．这是一种基本作图方法，应该熟练掌握．
[活学活用]
1．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，f＝－， 则f＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 由题图知，T＝2＝，
∴f＝f＝f＝－.
2．画出函数y＝3－2cos x，x∈[0,2π]的简图．
解：按五个关键点列表，描点画出图象(如图).
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y＝3－2cos x
1
3
5
3
1
余弦函数的性质
[典例] (1)函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
(2)函数y＝3cos的单调递增区间为________．
[解析] (1)∵T＝＝≤2，∴k≥4π，
又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.
(2)y＝3cos＝3cos.
令－π＋2kπ≤x－≤2kπ(k∈Z)，
则－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以y＝3cos的单调递增区间是
(k∈Z)．
[答案] (1)D (2)(k∈Z)
1．求三角函数的周期，通常有三种方法
(1)定义法．
(2)公式法．对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝.
(3)观察法(图象法)．
2．有关函数奇偶性的结论
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
偶函数的图象关于y轴成轴对称图形．
(2)对于奇函数，当x＝0属于定义域时必有f(0)＝0.
对于偶函数，任意属于定义域的x都有f(|x|)＝f(x)．
[活学活用]
1．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
解析：选B f(x)＝sin－1＝－cos πx－1，从而函数为偶函数，且T＝＝2.
2．比较大小：cosπ________cosπ.
解析：cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos.
∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，
且0<<<π，
∴cos>cos，∴cos>cos.
答案：＞
正、余弦函数的最值
题点一：形如y＝asin x或y＝acos x型
1．若y＝acos x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
解析：当a>0时，得
当a<0时，得
答案：±2
题点二：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b型
2．求函数y＝3－4cos，x∈的最大、最小值及相应的x值．
解：因为x∈，
所以2x＋∈，
从而－≤cos≤1.
所以当cos＝1，即2x＋＝0，x＝－时，ymin＝3－4＝－1.
当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，ymax＝3－4×＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；当x＝时，
ymax＝5.
题点三：形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋
3．求y＝cos2x－sin x，x∈的最值．
解：y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－2＋.
因为－≤x≤，－≤sin x≤，
所以当x＝－，即sin x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；
当x＝，即sin x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．
层级一 学业水平达标
1．函数y＝3cos的最小正周期为( )
A.π B.π
C．2π D．5π
解析：选D T＝＝5π，因此选D.
2．函数y＝sin，x∈R在( )
A.上是增函数 B．[0，π]上是减函数
C．[－π，0]上是减函数 D．[－π，π]上是减函数
解析：选B y＝sin＝cos x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.
3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选C y＝cos(2x＋1)＝cos，所以y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得y＝cos(2x＋1)的图象．
4．函数＝1＋cos x的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x＝对称
解析：选B y＝1＋cos x＝1＋cos(－x)，
∴y＝1＋cos x是偶函数，即该函数的图象关于y轴对称．
5．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选C 由于y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos，为
得到该函数的图象，只需将y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．
6．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时，函数取得最大值．
解析：y＝3cos(π－x)＝－3cos x，当cos x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3.
答案：2kπ＋π，k∈Z
7．函数?(x)＝3cos(ω＞0)的最小正周期为，则?(π)＝________.
解析：由已知＝得ω＝3，
∴?(x)＝3cos，∴?(π)＝3cos
＝3cos＝－3cos＝－.
答案：－
8．函数y＝ 的定义域是______________________________________．
解析：要使函数有意义，只需2cos x－≥0，
即cos x≥.由余弦函数图象知(如图)，
所求定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
9．画出函数y＝1＋2cos 2x，x∈[0，π]的简图，并求使y≥0成立的x的取值范围．
解：按五个关键点列表：
2x
0
π
2π
x
0
π
cos 2x
1
0
－1
0
1
1＋2cos 2x
3
1
－1
1
3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
令y＝0，即1＋2cos 2x＝0，则cos 2x＝－.
∵x∈[0，π]，∴2x∈[0,2π]．
从而2x＝或，∴x＝或.
由图可知，使y≥0成立的x的取值范围是
∪.
10．判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期和单调区间．
(1)y＝3cos 2x；(2)y＝cos.
解：(1)3cos 2(－x)＝3cos(－2x)＝cos 2x，
∴函数y＝3cos 2x是偶函数．
最小正周期T＝π，单调递增区间为(k∈Z)，
递减区间为(k∈Z)．
(2)函数y＝cos的周期为T＝＝，
∵f(x)＝y＝cos＝sinx，
∴f(－x)＝sin＝－sinx＝－f(x)．
∴y＝cos为奇函数．
递增区间为(k∈Z)，
递减区间为(k∈Z)．
层级二 应试能力达标
1．把函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sin 2x B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝cos
解析：选B y＝cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图象；
再把y＝cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos 2＝cos的图象．
2．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A. B．3
C．6 D．9
解析：选C 将函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，得函数y＝cos＝cos的图象．
∵所得图象与原图象重合，
∴－＝2kπ，k∈Z.
∴ω＝－6k.
当k＝－1时，ωmin＝6.
3．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f(2 017)＝( )
A．－1 B．1
C. D．－
解析：选B 由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝.由点(1,1)在函数图象上可得f(1)＝cos＝1，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝.故f(x)＝cos，f(2 017)＝cos＝cos 506π＝cos(253×2π)＝1.
4．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．－
解析：选C ∵＋＝，
∴y＝2sin－cos
＝2cos－cos
＝cos，∴ymin＝－1.
5．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．
答案：(－π，0]
6．函数y＝的最大值为________．
解析：由y＝，得y(2－cos x)＝2＋cos x，即cos x＝(y≠－1)，因为－1≤cos x≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.
答案：3
7．求下列函数式的最值：
(1)y＝3＋2cos；
(2)y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈.
解：(1)∵－1≤cos≤1，
∴当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝－1时，ymin＝1.
(2)y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－.
∵x∈，∴cos x∈.
从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.
8．求函数y＝3－2cos的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x为何值时，y取最大值或最小值．
解：由于y＝cos x的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．
又由2x－＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)；
由2x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，
故y＝3－2cos的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
因为当θ＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cos θ取得最小值，
所以当2x－＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最小值1.
同理可得当x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最大值5.
课件26张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十)”
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课时跟踪检测（十） 余弦函数的图象与性质
层级一 学业水平达标
1．函数y＝3cos的最小正周期为( )
A. π B. π
C．2π D．5π
解析：选D T＝＝5π，因此选D.
2．函数y＝sin，x∈R在( )
A. 上是增函数 B．[0，π]上是减函数
C．[－π，0]上是减函数 D．[－π，π]上是减函数
解析：选B y＝sin＝cos x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.
3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选C y＝cos(2x＋1)＝cos，所以y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得y＝cos(2x＋1)的图象．
4．函数＝1＋cos x的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x＝对称
解析：选B y＝1＋cos x＝1＋cos(－x)，
∴y＝1＋cos x是偶函数，即该函数的图象关于y轴对称．
5．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选C 由于y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos，为得到该函数的图象，只需将y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．
6．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时，函数取得最大值．
解析：y＝3cos(π－x)＝－3cos x，
当cos x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3.
答案：2kπ＋π，k∈Z
7．函数?(x)＝3cos(ω＞0)的最小正周期为，则?(π)＝________.
解析：由已知＝得ω＝3，
∴?(x)＝3cos，∴?(π)＝3cos＝3cos＝－3cos＝－.
答案：－
8．函数y＝ 的定义域是_____________________________．
解析：要使函数有意义，只需2cos x－≥0，
即cos x≥.由余弦函数图象知(如图)，
所求定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
9．画出函数y＝1＋2cos 2x，x∈[0，π]的简图，并求使y≥0成立的x的取值范围．
解：按五个关键点列表：
2x
0
π
2π
x
0
π
cos 2x
1
0
－1
0
1
1＋2cos 2x
3
1
－1
1
3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
令y＝0，即1＋2cos 2x＝0，则cos 2x＝－.
∵x∈[0，π]，∴2x∈[0,2π]．
从而2x＝或，∴x＝或.
由图可知，使y≥0成立的x的取值范围是∪.
10．判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期和单调区间．
(1)y＝3cos 2x；(2)y＝cos.
解：(1)3cos 2(－x)＝3cos(－2x)＝cos 2x，
∴函数y＝3cos 2x是偶函数．
最小正周期T＝π，单调递增区间为(k∈Z)，
递减区间为(k∈Z)．
(2)函数y＝cos的周期为T＝＝，
∵f(x)＝y＝cos＝sinx，
∴f(－x)＝sin＝－sinx＝－f(x)．
∴y＝cos为奇函数．递增区间为(k∈Z)，递减区间为(k∈Z)．
层级二 应试能力达标
1．把函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sin 2x B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝cos
解析：选B y＝cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图象；再把y＝cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos 2＝cos的图象．
2．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A. B．3
C．6 D．9
解析：选C 将函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，得函数y＝cos＝cos的图象．
∵所得图象与原图象重合，
∴－＝2kπ，k∈Z.∴ω＝－6k.
当k＝－1时，ωmin＝6.
3．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则 f(2 017)＝( )
A．－1 B．1
C. D．－
解析：选B 由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝.由点(1,1)在函数图象上可得f(1)＝cos＝1，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝.故f(x)＝cos，f(2 017)＝cos＝cos 506π＝cos(253×2π)＝1.
4．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．－
解析：选C ∵＋＝，
∴y＝2sin－cos
＝2cos－cos
＝cos，∴ymin＝－1.
5．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．
答案：(－π，0]
6．函数y＝的最大值为________．
解析：由y＝，得y(2－cos x)＝2＋cos x，即cos x＝(y≠－1)，
因为－1≤cos x≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，
所以函数y＝的最大值为3.
答案：3
7．求下列函数式的最值：
(1)y＝3＋2cos；
(2)y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈.
解：(1)∵－1≤cos≤1，
∴当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝－1时，ymin＝1.
(2)y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－.
∵x∈，∴cos x∈.
从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.
8．求函数y＝3－2cos的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x为何值时，y取最大值或最小值．
解：由于y＝cos x的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．
又由2x－＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)；
由2x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，
故y＝3－2cos的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
因为当θ＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cos θ取得最小值，
所以当2x－＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最小值1.
同理可得当x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最大值5.
