1．3.3 已知三角函数值求角
预习课本P57～60，思考并完成以下问题
已知三角函数值求角的概念是什么？
已知三角函数值求角的相关概念
(1)已知正弦值求角．
对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_y.
(2)已知余弦值求角．
对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记作x＝arccos_y(－1≤y≤1,0≤x≤π)．
(3)已知正切值求角．
如果正切函数y＝tan x(y∈R)，且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan x＝y，记为x＝arctan y，x∈.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)arcsin表示上的一个角．( )
(2)若cos α＝，α∈[π，2π]，则α＝arccos.( )
(3)若tan α＝1，则α＝或π.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则角α等于( )
A. B. C.或 D.
答案：C
3．设cos α＝－，α∈(0，π)，则α的值可表示为( )
A．arccos B．－arccos
C．π－arccos D．π＋arccos
解析：选C ∵π－arccos ∈(0，π)，
且cos＝－cos＝－，
∴α＝π－arccos.
4．arctan(－1)＝________.
答案：－
已知正弦值求角
[典例] 已知sin x＝，根据下列角的范围求角x(用arcsin y表示)．
(1)x∈；(2)x∈[0,2π]．
[解] (1)∵x∈且sin x＝，
∴x＝arcsin.
(2)∵x∈[0,2π]，sin x＝>0，∴x∈[0，π]．
当x∈?时，x＝arcsin.
当x∈时，∵0≤π－x≤，
即π－x∈?，且sin(π－x)＝sin x
＝，
∴π－x＝arcsin，即x＝π－arcsin.
∴当x∈[0,2π]时，x＝arcsin或x＝π－arcsin.
已知三角函数值求角的步骤
(1)定象限：由已知函数值的正负确定角所在的象限．
(2)找锐角：如果函数值为正，先求出对应的锐角α；若函数值为负值，则先求出与其绝对值相对应的锐角α.
(3)求符合条件的角：根据角所在的象限，利用诱导公式写出[0,2π]范围内的角(α，π－α，π＋α，2π－α )；如果要求出[0,2π]范围外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果．
[活学活用]
已知sin x＝，求满足下列条件的x的取值集合：
(1)x∈；(2)x∈；(3)x∈[0,2π]
解：(1)∵x∈，sin x＝，
∴x＝arcsin，在上只有sin＝.
∴x＝，即x的取值集合为.
(2)∵≤x≤，∴－≤x－π≤.
又∵sin(x－π)＝－sin x＝－，
∴x－π＝arcsin＝－arcsin，
∴x－π＝－，∴x＝，故x的取值集合为.
(3)∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角．
又∵sin ＝sin＝，
∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝或x＝，
∴x的取值集合为.
已知余弦值、正切值求角
[典例] (1)若tan x＝－3，且x∈，则x的值是( )
A．arctan(－3) B．arctan 3
C．π－arctan 3 D．π－arctan(－3)
(2)已知cos α＝－，α∈，则α＝________.
[解析] (1)因为x∈，
所以π－x∈.
又tan(π－x)＝3，所以π－x＝arctan 3.
所以x＝π－arctan 3.故选C.
(2)由余弦函数在[0，π]上是减函数和cos α＝－可知，
在[0，π]内符合条件的角有且只有一个arccos，
即arccos∈[0，π]．
又∵cos α＝－＜0，
∴arccos∈.
∴0＜π－arccos＜.
∴π＜π＋π－arccos＜，
即π＜2π－arccos＜.
∴α＝2π－arccos.
[答案] (1)C (2)2π－arccos
三角函数值与角之间的对应关系
(1)余弦函数值与角之间的对应关系.
cos x＝a(|a|≤1)
x∈[0，π]
x∈[0,2π]
x＝arccos a
x1＝arccos a
x2＝2π－arccos a
(2)正切函数值与角之间的对应关系.
tan x＝a
(a∈R)
x∈
x∈[0,2π)
x＝arctan a
a≥0
a＜0
x1＝arctan a
x2＝π＋arctan a
x1＝π＋arctan a x2＝2π＋arctan a
[活学活用]
1．已知cos x＝，解析：∵cos x＝，由cos＝cos＝知，x＝2π－＝，
∴符合条件的角为.
答案：π
2.＝________.
解析：∵arcsin＝，arccos＝，
arctan(－)＝－，∴原式＝＝＝1.
答案：1
3．已知tan x＝，x∈[0,2π]，求角x.
解：由tan x＝，x∈[0,2π]，知x在第一或第三象限，故所求的值有两个：x＝arctan或x＝π＋arctan.
层级一 学业水平达标
1．使arcsin(1－x)有意义的x的取值范围是( )
A．[1－π，1] B．[0,2]
C．(－∞，1] D．[－1,1]
解析：选B 由题知应有－1≤1－x≤1，∴0≤x≤2.
2．cos的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B ∵在上，arcsin ＝，
∴cos＝cos＝.
3．方程cos x＋＝0，x∈[0,2π]的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 在[0,2π]内，cos ＝cos ＝－cos ＝－.
4．若tan α＝，且α∈，则α＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵tan＝，又α∈，
∴α＝π＋＝.
5．已知sin x＝－，x∈，则x等于( )
A．arcsin B．π－arcsin
C．π＋arcsin D.－arcsin
解析：选C ∵x∈，∴x＝π＋arcsin .
6．若sin(x－π)＝－，且－2π＜x≤0，则角x＝________.
解析：∵sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x＝－，
∴sin x＝.∴x＝2kπ＋或2kπ＋π(k∈Z)．
又－2π答案：－π或－π
7．若α∈(0,2π)，tan α＝1，cos α＝－，则α＝________.
解析：由已知，得α是第三象限的角．又α∈(0,2π)，tan ＝1，cos ＝－，
∴α＝.
答案：
8．已知等腰三角形的顶角为arccos，则底角的正切值是________．
解析：∵arccos＝，
∴底角为＝.∴tan＝.
答案：
9．求方程tan x＝－，x∈(－π，π)的解集．
解：∵tan＝－tan＝－，
tan＝－tan ＝－，
－，π－＝都在(－π，π)内，
∴方程tan x＝－，x∈(－π，π)的解集为.
10．已知cos＝－，x∈[0,2π]，求x的集合．
解：令θ＝2x＋，∴cos θ＝－.
当0≤θ≤π时，θ＝，
当π≤θ≤2π时，θ＝.
∴当x∈R时，θ＝∈R，
∴2x＋`＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z) .
又x∈[0,2π]，∴x∈.
层级二 应试能力达标
1．若tan x＝0，则x等于( )
A．kπ，k∈Z B．kπ＋，k∈Z
C．2kπ＋，k∈Z D．2kπ－，k∈Z
解析：选A ∵tan x＝0，∴x＝kπ＋arctan 0＝kπ，k∈Z.
2．若cos(π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值等于( )
A.， B．±
C．± D．±
解析：选C 由cos(π－x)＝－cos x＝得，cos x＝－.又∵x∈(－π，π)，∴x在第二或第三象限，
∴x＝±.
3．已知sin x＝－，且x∈，则x可以表示为( )
A．arcsin B．－＋arcsin
C．－π＋arcsin D．－π＋arcsin
解析：选D ∵x∈且sin x＝－，
∴π＋x∈且sin(π＋x)＝.
∴π＋x＝arcsin，x＝－π＋arcsin.
4．若x∈，则使等式cos(πcos x)＝0成立的x的值是( )
A. B.或
C.或 D.或或
解析：选D 由已知得πcos x＝kπ±(k∈Z)，
∴cos x＝k±(k∈Z)，而|cos x|≤1，
故cos x＝±.又x∈，∴x＝或或.
5．方程2cos＝1在区间(0，π)内的解是________．
解析：∵2cos＝1，∴cos＝.
∵x∈(0，π), ∴x－∈，
∴x－＝，∴x＝.
答案：
6．集合A＝，B＝，则A∩B＝________.
解析：∵sin x＝，∴x＝2kπ＋或2kπ＋π，k∈Z.
又∵tan x＝－，∴x＝kπ－，k∈Z.
∴A∩B＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝cos ωx，g(x)＝sin(ω＞0)，且g(x)的最小正周期为π.若f(α)＝，α∈[－π，π]，求α的值．
解：因为g(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝cos 2x.
由f(α)＝，得cos 2α＝，
即cos 2α＝，所以2α＝2kπ±，k∈Z，
则α＝kπ±，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，
所以α∈.
8．若角A是△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝，求角A.
解：∵sin A＋cos A＝，①
∴(sin A＋cos A)2＝，
即sin Acos A＝－＜0.②
∴sin A，cos A异号．
又A是△ABC的内角，0＜A＜π，
∴sin A＞0，cos A＜0，
∴A为钝角．由①②知，
sin A，cos A是方程x2－x－＝0的两个根，
解得sin A＝，cos A＝－.
∴A＝arccos.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．y＝sin 是( )
A．周期为6π的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为6π的偶函数 D．周期为3π的偶函数
解析：选A y＝sin 为奇函数，T＝＝6π，故选A.
2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
A．3 B．6
C．18 D．36
解析：选C ∵l＝αr，∴6＝1×r.
∴r＝6.
∴S＝lr＝×6×6＝18.
3．若－＜α＜0，则点P(tan α，cos α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ∵－＜α＜0，∴tan α<0，cos α＞0，
∴点P(tan α，cos α)位于第二象限．
4．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B ∵角θ的终边过(4，－3)，
∴cos θ＝.
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－.
5．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
解析：选A 把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x＋1的图象，向左平移1个单位长度，得y＝cos(x＋1)＋1的图象，再向下平移1个单位长度得y＝cos(x＋1)的图象．则得到的函数为y＝cos(x＋1)，令x＝0，得y＝cos 1>0，排除C、D；又令x＝－1，得y＝cos＝0，排除B.故选A.
6．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是( )
A. B．－
C．－2 D．2
解析：选A 由＝5，得12cos α＝6sin α，
即tan α＝2，所以sin2α－sin αcos α＝＝＝.
7．函数y＝tan的值域为( )
A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
解析：选B ∵x∈且x≠0，
∴－x∈且－x≠，
即－x∈∪，
当－x∈时，y≥1；
当－x∈时，y≤－1，
∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
8．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C 将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x变为x，即可得y＝sin，然后将其图象向左平移个单位，即将x变为x＋.
∴y＝sin＝sin.
9.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )
A．A＝3，T＝2π B．B＝－1，ω＝2
C．T＝4π，φ＝－ D．A＝3，φ＝
解析：选C 由题图可知T＝2＝4π，
A＝(2＋4)＝3，B＝－1.
∵T＝4π，∴ω＝.
令×＋φ＝，得φ＝－.
10．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析：选D 根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；
当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；
函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
11.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 由图象可得T＝π－π，∴T＝π，则ω＝2.又图象过点，∴2sin＝2，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin，其单调递增区间为(k∈Z)，取k＝1，即得选项D.
12．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为( )
A．41米 B．43米
C．78米 D．118米
解析：选B 摩天轮转轴离地面高160－＝82(米)，ω＝＝，摩天轮上某个点P离地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数关系是h＝82－78cos t，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h＝82－78cost＝82－78×＝43(米)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．arctan＋arcsin＝________.
解析：∵arctan＝，arcsin＝－，
∴arctan＋arcsin＝0.
答案：0
14．已知sin(π－α)＝－，且α∈，则tan(2π－α)＝________.
解析：sin(π－α)＝sin α＝－，
∵α∈，
∴cos α＝＝，
tan(2π－α)＝－tan α＝－＝.
答案：
15．已知函数y＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝1和y＝2所得的线段长分别为m，n，则m，n的大小关系是________．
解析：∵两条直线所截得的线段长都为y＝tan ωx(ω＞0)的最小正周期，∴m＝n＝.
答案：m＝n
16．将函数f(x)＝2sin(ω＞0)的图象向左平移个单位得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为______．
解析：根据题意得g(x)＝2sin ωx，又y＝g(x)在上为增函数，∴≥，即ω≤2，所以ω的最大值为2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cos＝，
求＋
的值．
解：因为cos＝－sin θ，所以sin θ＝－.
原式＝＋
＝＋＝＝＝8.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
∴sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，
因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调增区间为
，k∈Z.
19．(本小题满分12分)函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值．
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，
所以2x＋∈，
于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin＋1(其中0＜ω＜1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)试求ω的值．
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．
解：(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ，k∈Z，
所以ω＝－3k＋，k∈Z.
因为0＜ω＜1，所以k＝0，ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋1，x∈[－π，π]．
列表如下，
x＋
－
－
0
π
x
－π
－
－
π
y
0
－1
1
3
1
0
则函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象如图所示．
21．(本小题满分12分)已知f(x)＝3sin－1.
(1)f(x)的图象是由y＝sin x的图象如何变换而来？
(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值．
解：(1)将函数y＝sin x图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y＝3sin x的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝3sin 2x的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝3sin的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)＝3sin－1的图象．
(2)最小正周期T＝π，由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设0＜x＜π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和．
解：(1)观察图象，得A＝2，T＝×＝π.
∴ω＝＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
∵函数f(x)的图象经过点，
∴2sin＝2，即sin＝1.
又|φ|<，∴φ＝，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)方程f(x)＝m的根的情况，等价于f(x)＝2sin的图象与g(x)＝m的图象的交点个数情况．
又0＜x＜π，∴在同一坐标系中画出f(x)＝2sin(0＜x＜π)和g(x)＝m(m∈R)的图象如图所示．
由图可知当－2∴实数m的取值范围为(－2,1)∪(1,2)．
当－2＜m＜1时，此时两交点关于直线x＝对称，两根和为；
当1＜m＜2时，此时两交点关于直线x＝对称，两根和为.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十二)”
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课时跟踪检测（十二） 已知三角函数值求角
层级一 学业水平达标
1．使arcsin(1－x)有意义的x的取值范围是( )
A．[1－π，1] B．[0,2]
C．(－∞，1] D．[－1,1]
解析：选B 由题知应有－1≤1－x≤1，∴0≤x≤2.
2．cos的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B ∵在上，arcsin ＝，
∴cos＝cos＝.
3．方程cos x＋＝0，x∈[0,2π]的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 在[0,2π]内，cos ＝cos ＝－cos ＝－.
4．若tan α＝，且α∈，则α＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵tan＝，又α∈，∴α＝π＋＝.
5．已知sin x＝－，x∈，则x等于( )
A．arcsin B．π－arcsin
C．π＋arcsin D. －arcsin
解析：选C ∵x∈，∴x＝π＋arcsin .
6．若sin(x－π)＝－，且－2π＜x≤0，则角x＝________.
解析：∵sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x＝－，
∴sin x＝.∴x＝2kπ＋或2kπ＋π(k∈Z)．
又－2π答案：－π或－π
7．若α∈(0,2π)，tan α＝1，cos α＝－，则α＝________.
解析：由已知，得α是第三象限的角．又α∈(0,2π)，tan ＝1，cos ＝－，
∴α＝.
答案：
8．已知等腰三角形的顶角为arccos，则底角的正切值是________．
解析：∵arccos＝，∴底角为＝.∴tan＝.
答案：
9．求方程tan x＝－，x∈(－π，π)的解集．
解：∵tan＝－tan＝－，tan＝－tan ＝－，
－，π－＝都在(－π，π)内，
∴方程tan x＝－，x∈(－π，π)的解集为.
10．已知cos＝－，x∈[0,2π]，求x的集合．
解：令θ＝2x＋，∴cos θ＝－.
当0≤θ≤π时，θ＝，
当π≤θ≤2π时，θ＝.
∴当x∈R时，θ＝∈R，
∴2x＋`＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z) .
又x∈[0,2π]，∴x∈.
层级二 应试能力达标
1．若tan x＝0，则x等于( )
A．kπ，k∈Z B．kπ＋，k∈Z
C．2kπ＋，k∈Z D．2kπ－，k∈Z
解析：选A ∵tan x＝0，∴x＝kπ＋arctan 0＝kπ，k∈Z.
2．若cos(π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值等于( )
A. ， B．±
C．± D．±
解析：选C 由cos(π－x)＝－cos x＝得，cos x＝－.
又∵x∈(－π，π)，∴x在第二或第三象限，
∴x＝±.
3．已知sin x＝－，且x∈，则x可以表示为( )
A．arcsin B．－＋arcsin
C．－π＋arcsin D．－π＋arcsin
解析：选D ∵x∈且sin x＝－，
∴π＋x∈且sin(π＋x)＝.
∴π＋x＝arcsin，x＝－π＋arcsin .
4．若x∈，则使等式cos(πcos x)＝0成立的x的值是( )
A. B. 或
C. 或 D. 或或
解析：选D 由已知得πcos x＝kπ±(k∈Z)，
∴cos x＝k±(k∈Z)，而|cos x|≤1，
故cos x＝±.又x∈，∴x＝或或.
5．方程2cos＝1在区间(0，π)内的解是________．
解析：∵2cos＝1，∴cos＝.
∵x∈(0，π), ∴x－∈，
∴x－＝，∴x＝.
答案：
6．集合A＝，B＝，则A∩B＝________.
解析：∵sin x＝，∴x＝2kπ＋或2kπ＋π，k∈Z.
又∵tan x＝－，∴x＝kπ－，k∈Z.
∴A∩B＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝cos ωx，g(x)＝sin(ω＞0)，且g(x)的最小正周期为π. 若f(α)＝，α∈[－π，π]，求α的值．
解：因为g(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝cos 2x.
由f(α)＝，得cos 2α＝，
即cos 2α＝，所以2α＝2kπ±，k∈Z，
则α＝kπ±，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，
所以α∈.
8．若角A是△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝，求角A.
解：∵sin A＋cos A＝， ①
∴(sin A＋cos A)2＝，
即sin Acos A＝－＜0. ②
∴sin A，cos A异号．
又A是△ABC的内角，0＜A＜π，
∴sin A＞0，cos A＜0，
∴A为钝角．由①②知，
sin A，cos A是方程x2－ x－＝0的两个根，
解得sin A＝，cos A＝－.
∴A＝arccos.
