回扣验收特训（二） 三角函数的图象与性质
1．(2017·山东高考)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A. B．
C．π D．2π
解析：选C ∵y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
∴最小正周期T＝＝π.
2．函数?(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
解析：选A ?(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以振幅为1，周期为T＝＝＝π，所以选A.
3．函数?(x)＝sin在区间上的最小值是( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B 当x∈时，－≤2x－≤，
所以当2x－＝－时，函数?(x)＝sin的最小值为y＝sin＝－.
4．已知函数?(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是( )
A．函数?(x)的最小正周期为2π
B．函数?(x)在区间上是增函数
C．函数?(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数?(x)为奇函数
解析：选D 因为?(x)＝sin＝－cos x，所以T＝2π，故A选项正确；
因为y＝cos x在上是减函数，所以y＝－cos x在上是增函数，故B选项
正确；
因为?(0)＝sin＝－1，所以?(x)的图象关于直线x＝0对称，故C选项正确；
?(x)＝－cos x是偶函数，故D选项错误．
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
6．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，
知?＝0，即3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋－(k∈Z)，|φ|的最小值为.
7．函数y＝tan＋1的图象的对称中心为________．
解析：令2x＋＝，k∈Z得2x＝－＋，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z，结合函数解析式可知该函数图象的对称中心为，k∈Z.
答案：，k∈Z
8．函数y＝的定义域为_____________________．
解析：要使函数式有意义，必须有sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0,2π]内y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，结合正、余弦函数的周期是2π，可得所求定义域为
.
答案：
9．已知函数?(x)＝sin(x－π)，g(x)＝cos(x＋π)，有以下命题：
①函数y＝?(x)g(x)的最小正周期为π；
②函数y＝?(x)g(x)的最大值为2；
③将函数y＝?(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象；
④将函数y＝?(x)的图象向左平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象．
其中正确命题的序号是________．
解析：因为?(x)＝sin(x－π)＝－sin x，
g(x)＝cos(x＋π)＝－cos x，
所以y＝?(x)g(x)＝(－sin x)(－cos x)＝sin 2x，
所以函数y＝?(x)g(x)的最小正周期为＝π，最大值为，故①对，②错；
将函数y＝?(x)的图象向右平移个单位后得到y＝－sin＝cos x的图象，故③错；
将函数y＝?(x)的图象向左平移个单位后得到y＝－sin＝－cos x的图象，故④对．
答案：①④
10．已知函数f(x)＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－
＝2sin－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.
11．(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)由题意，f(x)＝－cos 2x－sin 2x
＝－2＝－2sin，
故f＝－2sin＝－2sin ＝2.
(2)由(1)知f(x)＝－2sin.
则f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
12．已知函数?(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(0＜φ＜π)，其图象过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝?(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)∵?(x)的图象过点，
∴sinsin φ＋cos2cos φ－cos φ＝，
即sin φ＋cos φ＝，∴sin＝1.
∵0＜φ＜π，∴φ＝.
(2)?(x)＝sin 2xsin ＋cos2xcos－cos
＝sin 2x＋－＝sin.
由题意知g(x)＝sin.
∵0≤x≤，
∴≤4x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴g(x)max＝，g(x)min＝－.
复习课(二) 三角函数的图象与性质
三角函数的定义域和值域
1．题型主要以选择题、填空题为主，有时以解答题一问考查函数的值域或最值．
2．(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x≤1.
(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即
.
[典例] (2017·山东高考)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
因为f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z.
又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.
[类题通法]
求三角函数式的值域与最值的两种形式
(1)将所给三角函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，然后结合角x的范围求解．
(2)形如y＝asin2x＋bcos x＋c或y＝acos2x＋bsin x＋c的函数，可以先转化成同名函数，然后结合二次函数的性质求解，在转化过程中要注意sin x或cos x的有界性．
1．函数y＝的定义域为_________________________________．
解析：3tan x＋≥0，即tan x≥－.
∴kπ－≤x＜kπ＋，k∈Z，
∴函数 y＝的定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
2．已知|x|≤，则函数?(x)＝cos2 x＋sin x的最小值为________．
解析：y＝?(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.
令t＝sin x，∵|x|≤，
∴－≤sin x≤，即t∈.
又∵y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝－，即x＝－时，y取最小值，
即最小值?＝－2＋＝.
答案：
三角函数的图象及变换
(1)题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定A，ω，φ的值等．考查识图、用图能力以及利用三角公式进行恒等变换的能力．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
①“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．
②图象变换
y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
[典例] 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
[解] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
因此g(x)＝5sin＝5sin.
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，
即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，
其中离原点O最近的对称中心为.
[类题通法]
(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.
(2)由图象上的关键点确定φ时，若选取的是图象与x轴的交点，则要弄清这个点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可．
1．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
解析：选A ＝－＝，所以T＝π，所以＝π，ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)，将图象最高点的坐标代入f(x)＝2sin(2x＋φ)得sin＝1，又－<φ<，∴φ＝－，故选A.
2．由函数y＝5sin的图象得到函数y＝5sin 2x的图象的平移变换为( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选C 函数y＝5sin＝5sin向右平移个单位长度，即得y＝5sin 2x，故选C.
3．已知函数?(x)＝sin＋1.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相；
(2)画出函数y＝?(x)在上的图象．
解：(1)振幅为，最小正周期T＝＝π，初相为－.
(2)图象如图所示．
三角函数的性质
(1)题型既有选择题、填空题，又有解答题，常与三角恒等变换交汇命题，考查三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、最值等问题．
(2)三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
[典例] 已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
[解] (1)f(x)＝sinsin x－cos2x
＝cos xsin x－(1＋cos 2x)
＝sin 2x－cos 2x－
＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而
当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
[类题通法]
1．三角函数的两条性质
(1)周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(2)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式．
2．求三角函数的单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间．
1．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选D y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
2．下列有关y＝tan 的有关性质中，正确的是________(填序号)．
①在上单调递增；
②为奇函数；
③以π为最小正周期；
④定义域为.
解析：①令0＜x＜，得0＜＜，∴y＝tan在上单调递增；②tan＝－tan，故为奇函数；③T＝＝2π，故③不正确；④令≠＋kπ，k∈Z，得x≠π＋2kπ，k∈Z，∴定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，∴④不正确．故应填①②.
答案：①②
3．已知函数?(x)＝coscos－sin xcos x＋.
(1)求函数?(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数?(x)在[0，π]上的单调递减区间．
解：(1)因为
?(x)＝coscos－sin 2x＋
＝cos x－sin xcos x＋sin x－sin 2x＋
＝cos2 x－sin2 x－sin 2x＋
＝－－sin 2x＋
＝(cos 2x－sin 2x)＝cos，
所以函数?(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
函数?(x)的单调递减区间为，k∈Z.
又因为x∈[0，π]，则?(x)在[0，π]上的单调递减区间为，.
1．(2017·山东高考)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A. B．
C．π D．2π
解析：选C ∵y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
∴最小正周期T＝＝π.
2．函数?(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
解析：选A ?(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以振幅为1，周期为T＝＝＝π，所以选A.
3．函数?(x)＝sin在区间上的最小值是( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B 当x∈时，－≤2x－≤，所以当2x－＝－时，函数?(x)＝sin的最小值为y＝sin＝－.
4．已知函数?(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是( )
A．函数?(x)的最小正周期为2π
B．函数?(x)在区间上是增函数
C．函数?(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数?(x)为奇函数
解析：选D 因为?(x)＝sin＝－cos x，所以T＝2π，故A选项正确；因为y＝cos x在上是减函数，所以y＝－cos x在上是增函数，故B选项正确；因为?(0)＝sin＝－1，所以?(x)的图象关于直线x＝0对称，故C选项正确；?(x)＝－cos x是偶函数，故D选项错误．
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
6．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，知?＝0，即3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋－(k∈Z)，|φ|的最小值为.
7．函数y＝tan＋1的图象的对称中心为________．
解析：令2x＋＝，k∈Z得2x＝－＋，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z，结合函数解析式可知该函数图象的对称中心为，k∈Z.
答案：，k∈Z
8．函数y＝的定义域为__________________________________________．
解析：要使函数式有意义，必须有sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0,2π]内y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，结合正、余弦函数的周期是2π，可得所求定义域为
.
答案：
9．已知函数?(x)＝sin(x－π)，g(x)＝cos(x＋π)，有以下命题：
①函数y＝?(x)g(x)的最小正周期为π；
②函数y＝?(x)g(x)的最大值为2；
③将函数y＝?(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象；
④将函数y＝?(x)的图象向左平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象．
其中正确命题的序号是________．
解析：因为?(x)＝sin(x－π)＝－sin x，
g(x)＝cos(x＋π)＝－cos x，
所以y＝?(x)g(x)＝(－sin x)(－cos x)＝sin 2x，
所以函数y＝?(x)g(x)的最小正周期为＝π，最大值为，故①对，②错；将函数y＝?(x)的图象向右平移个单位后得到y＝－sin＝cos x的图象，故③错；
将函数y＝?(x)的图象向左平移个单位后得到y＝－sin＝－cos x的图象，故④对．
答案：①④
10．已知函数f(x)＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－
＝2sin－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.
11．(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)由题意，f(x)＝－cos 2x－sin 2x
＝－2＝－2sin，
故f＝－2sin＝－2sin ＝2.
(2)由(1)知f(x)＝－2sin.
则f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
12．已知函数?(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(0＜φ＜π)，其图象过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝?(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)∵?(x)的图象过点，
∴sinsin φ＋cos2cos φ－cos φ＝，
即sin φ＋cos φ＝，∴sin＝1.
∵0＜φ＜π，∴φ＝.
(2)?(x)＝sin 2xsin ＋cos2xcos－cos
＝sin 2x＋－＝sin.
由题意知g(x)＝sin.
∵0≤x≤，
∴≤4x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴g(x)max＝，g(x)min＝－.
课件29张PPT。
“回扣验收特训”见“回扣验收特训（二）”
(单击进入电子文档)
