回扣验收特训（三） 平面向量
1．设P，Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＋＝( )
A．a＋b B．a－b
C．2(a＋b) D.(a＋b)
解析：选A 如图，
＝＋，＝＋，
∵＝－，
∴＋＝＋＝a＋b.
2．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( )
A．0 B．1
C．2 D.
解析：选D 因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋22＝5，所以|a－b|＝，故选D.
3．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为( )
A．(3，－6) B．(－3,6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
解析：选A 由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，
而|b|＝3，
则＝3，
所以λ＝－3，b＝(3，－6)．
4．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵a⊥(a－b)，
∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，∴a·b＝a2，
∵|a|＝1，|b|＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝，
∴向量a与向量b的夹角为，故选B.
5．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 由(＋)·＝||2，
得·(＋－)＝0，
即·(＋＋)＝0，
∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.
6．已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a，b，c两两所成的角相等，则|a＋b＋c|等于( )
A．6或 B．6或
C. D．6
解析：选A ∵a，b，c两两所成的角相等，
∴这个角为0°或120°.
当夹角为0°时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝1＋2＋3＝6，排除C；
当夹角为120°时，a·b＝|a||b|cos 120°＝1×2×＝－1，
b·c＝|b||c|·cos 120°＝2×3×＝－3，
c·a＝|c||a|cos 120°＝3×1×＝－，
∴|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝12＋22＋32＋2＝3，
∴|a＋b＋c|＝.
∴|a＋b＋c|＝6或.
7．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，
∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.
答案：－6
8．已知平面向量a与b的夹角等于，如果|a|＝2，|b|＝3，那么|2a－3b|＝________.
解析：|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×cos＋9×32＝133，
∴|2a－3b|＝.
答案：
9．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是________．
解析：由于|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，
则|a|2－4a·b≥0.
设向量a与b的夹角为θ，
则cos θ＝≤＝，∴θ∈.
答案：
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4a2－4a·b－3b2＝61，
即64－4a·b－27＝61.
∴a·b＝－6.
∴cos θ＝＝＝－，
∴θ＝120°.
(2)|a＋b|＝＝＝.
11．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，a与b满足|ka＋b|＝|a－kb|，其中k>0.
(1)用k表示a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a，b的夹角．
解：(1)将|ka＋b|＝|a－kb|两边平方，
得|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)，
∴8ka·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，
a·b＝.
∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
∴a2＝1，b2＝1，∴a·b＝＝.
(2)∵k2＋1≥2k(当且仅当k＝1时等号成立)，即≥＝，
∴a·b的最小值为.
设a，b的夹角为γ，则a·b＝|a||b|cos γ.
又|a|＝|b|＝1，∴＝1×1×cos γ，
∴γ＝60°，即当a·b取最小值时，a与b的夹角为60°.
12．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们两两之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求实数k的取值范围．
解：(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|·cos 120°＝0，
∴(a－b)⊥c.
(2)∵|ka＋b＋c|>1，∴(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
∴k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°>1.
∴k2－2k>0，解得k<0或k>2.
∴实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
复习课(三) 平面向量
平面向量的概念及线性运算
(1)题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题．
(2)向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用．
[典例] 在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋yA，则x＝________；y＝________.
[解析] ∵＝2，
∴＝.
∵＝，∴＝(＋)，
∴＝－＝(＋)－
＝－.
又＝x＋y，
∴x＝，y＝－.
[答案] －
[类题通法]
向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
1．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13 B．－13
C．9 D．－9
解析：选D ＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵∥，
∴－8(y＋6)－24＝0.
∴y＝－9.
2.如图，点A，B，C是圆O上不重合的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P.若＝m＋2m，＝λ，则λ＝( )
A. B．
C. D．
解析：选D 由题意，设＝n.
因为＝－＝λ(－)，
故n－＝λ(－)，
n(m＋2m)－＝λ(－)，
即(mn＋λ－1) ＋(2mn－λ) ＝0.
而与不共线，故有解得λ＝.选D.
3.如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析：由已知，可得OA⊥OC，以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则有C(1,0)，A(0,1)，B(cos 30°，－sin 30°)，
即B.
于是＝(1,0)，＝(0,1)，＝，
由＝λ＋μ，
得(1,0)＝λ(0,1)＋μ＝，
∴解得
∴λ＋μ＝.
答案：
平面向量的数量积
(1)题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题．
(2)解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a·b＝|a||b|cos θ，二是利用坐标运算，即a·b＝x1x2＋y1y2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法．
[典例] (1)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－ B．－
C. D.
(2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，| |＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
[解析] (1)c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k), 又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.
(2)如图所示，由题设知：
＝＋＝＋，
NM＝－＝－，
∴·NM＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
[答案] (1)A (2)C
[类题通法]
(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；
(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．
1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
解析：选C ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，
∴c2＝(a＋b)2，即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，
∴19＝4＋9＋12cos〈a，b〉，
∴cos〈a，b〉＝.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝60°.
2．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )
A.－1 B．1
C. D．2
解析：选B 由题意，知a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0，知(a＋b)·c≥c2＝1.因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|的最大值为1.
3．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影是________．
解析：∵|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，∴b在a方向上的投影是|b|cos 60°＝1.
答案：1
4．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
解析：设||＝x，x＞0，则·＝x.又·＝(＋)·＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.
答案：
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目以解答题为主．主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算，所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质．
(2)解决此类问题，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题．
[典例] 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
[解] (1)若m⊥n，则m·n＝0.
由向量数量积的坐标公式得sin x－cos x＝0，
∴tan x＝1.
(2)∵m与n的夹角为，
∴m·n＝|m|·|n|cos ，
即sin x－cos x＝，
∴sin＝.
又∵x∈，
∴x－∈，
∴x－＝，即x＝.
[类题通法]
在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．
1．设a＝(sin x,1)，b＝，且a∥b，则锐角x为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为a∥b，所以sin xcos x－＝0，
所以sin 2x＝1，又x为锐角，所以0<2x<π，
所以2x＝，x＝，故选B.
2．(2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
则tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
1．设P，Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＋＝( )
A．a＋b B．a－b
C．2(a＋b) D.(a＋b)
解析：选A 如图，
＝＋，＝＋，
∵＝－，
∴＋＝＋＝a＋b.
2．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( )
A．0 B．1
C．2 D.
解析：选D 因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋22＝5，所以|a－b|＝，故选D.
3．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为( )
A．(3，－6) B．(－3,6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
解析：选A 由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，
而|b|＝3，
则＝3，
所以λ＝－3，b＝(3，－6)．
4．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵a⊥(a－b)，
∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，∴a·b＝a2，
∵|a|＝1，|b|＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝，
∴向量a与向量b的夹角为，故选B.
5．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.
6．已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a，b，c两两所成的角相等，则|a＋b＋c|等于( )
A．6或 B．6或
C. D．6
解析：选A ∵a，b，c两两所成的角相等，
∴这个角为0°或120°.
当夹角为0°时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝1＋2＋3＝6，排除C；当夹角为120°时，a·b＝|a||b|cos 120°＝1×2×＝－1，b·c＝|b||c|·cos 120°＝2×3×＝－3，c·a＝|c||a|cos 120°＝3×1×＝－，
∴|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝12＋22＋32＋2＝3，
∴|a＋b＋c|＝.
∴|a＋b＋c|＝6或.
7．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，
∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.
答案：－6
8．已知平面向量a与b的夹角等于，如果|a|＝2，|b|＝3，那么|2a－3b|＝________.
解析：|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×cos＋9×32＝133，
∴|2a－3b|＝.
答案：
9．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是________．
解析：由于|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0.设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝≤＝，∴θ∈.
答案：
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4a2－4a·b－3b2＝61，
即64－4a·b－27＝61.
∴a·b＝－6.
∴cos θ＝＝＝－，
∴θ＝120°.
(2)|a＋b|＝＝＝.
11．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，a与b满足|ka＋b|＝|a－kb|，其中k>0.
(1)用k表示a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a，b的夹角．
解：(1)将|ka＋b|＝|a－kb|两边平方，得|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)，
∴8ka·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，
a·b＝.
∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
∴a2＝1，b2＝1，∴a·b＝＝.
(2)∵k2＋1≥2k(当且仅当k＝1时等号成立)，即≥＝，∴a·b的最小值为.
设a，b的夹角为γ，则a·b＝|a||b|cos γ.
又|a|＝|b|＝1，∴＝1×1×cos γ，
∴γ＝60°，即当a·b取最小值时，a与b的夹角为60°.
12．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们两两之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求实数k的取值范围．
解：(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|·cos 120°＝0，
∴(a－b)⊥c.
(2)∵|ka＋b＋c|>1，∴(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
∴k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°>1.
∴k2－2k>0，解得k<0或k>2.
∴实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．tan 的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D tan ＝tan＝tan ＝－.
2．下列函数中最大值是，周期是6π的三角函数的解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝2sin D．y＝sin
解析：选A 由题意得，A＝，＝6π，ω＝，故选A.
3.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．
解析：选B 由＝(＋)，结合＝m，＝n，得AO―→＝m＋n.又O，M，N三点共线，所以m＋n＝1，所以m＋n＝2.故选B.
4．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ∵点(sin α，sin 2α)在第四象限，
∴∴
即∴α在第二象限．
5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析：选B ∵a＝(1,2)，b＝(－2，m)，
∴1×m－2×(－2)＝0，
∴m＝－4.
∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
6．若α∈，且sin α＝，则sin－cos(π－α)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B sin－cos(π－α)
＝sin α＋cos α＋cos α
＝sin α＋cos α.
∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－.
∴sin α＋cos α＝×－×
＝－.
7．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，则λ的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 依题意得＝＋＝－，＝＋，因此·＝·＝2－2＋·，于是有×62＋×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3.
8．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A ∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.
9．函数?(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)的部分图象如图所示，则?(1)＋?(2)＋?(3)＋…＋?(11)的值等于( )
A．2 B．2＋
C．2＋2 D．－2－2
解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A＝2，φ＝0，＝8，从而?(x)＝2sin x.
∴?(1)＋?(2)＋?(3)＋…＋?(11)＝?(1)＋?(2)＋?(3)＝2sin ＋2sin ＋2sin ＝2＋2.
10．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)＝( )
A．0 B．－
C. D．－
解析：选B 由3a＋4b＋5c＝0，得向量3a,4b,5c能组成三角形，又|a|＝|b|＝|c|＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a⊥b，所以a·(b＋c)＝a·c＝－.
11．如图，在四边形ABCD中，||＋| |＋| |＝4，||·||＋||·||＝4，·＝·＝0，则(＋)·的值为( )
A．4 B．2
C．4 D．2
解析：选A ∵＝＋＋，·＝·＝0，
∴(＋)·
＝(＋)·(＋＋)
＝2＋·＋·＋·＋·＋2
＝2＋2·＋2.
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，∴∥，
∴·＝||||，
∴原式＝(||＋||)2.
设||＋||＝x，
则||＝4－x，||·x＝4，
∴x2－4x＋4＝0，∴x＝2，
∴原式＝4，故选A.
12．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1－x2|的最小值为π，则( )
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
解析：选A ∵函数y＝2sin(ωx＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，
∴θ＝，
∴y＝2cos ωx，排除C、D；y＝2cos ωx∈[－2,2]，结合题意可知T＝π，
∴＝π，ω＝2，排除B，选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析：设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，＝a＋b，
代入条件得λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
答案：
14．在平面直角坐标系 xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
解析：∵∠ABO＝90°，
∴⊥，
∴·＝0.
又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，
∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0.
∴t＝5.
答案：5
15．已知?(x)＝sin ，若cos α＝，则?＝________.
解析：因为cos α＝，所以sin α＝；
?＝sin＝sin
＝(sin α＋cos α)＝.
答案：
16.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ) .又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)，则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为θ.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a－b与a垂直，求θ.
解：(1)∵a∥b，∴θ＝0°或180°，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝±.
(2)∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
即|a|2－a·b＝1－cos θ＝0，
∴cos θ＝.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
18．(本小题满分12分)已知tan α＝，求
的值．
解：原式＝
＝
＝
＝＝，
又∵tan α＝，∴原式＝＝－3.
19．(本小题满分12分)已知a＝(cos 2 α，sin α)，b＝(1,2sin α－1)，α∈，π，a·b＝，求.
解：∵a·b＝cos 2α＋sin α(2sin α－1)
＝cos 2α＋2sin2α－sin α
＝1－sin α＝，∴sin α＝.
∵α∈，∴cos α＝－，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝－，
∴
＝
＝
＝－10.
20．(本小题满分12分)已知函数?(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin xcos x.
(1)当x∈时，求?(x)的值域；
(2)用五点法在下图中作出y＝?(x)在闭区间上的简图．
解：?(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin xcos x
＝2cos x－sin2x＋sin xcos x＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin.
(1)∵x∈，
∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴当x∈时，
?(x)的值域为[－，2]．
(2)由T＝，得T＝π，列表：
x
－
2x＋
0
π
2π
2sin
0
2
0
－2
0
图象如图所示．
21．(本小题满分12分)已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cos α＝，求cos β的值．
解：(1)由|AB|＝，
得 ＝，
∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，
∴cos(α－β)＝.
(2)∵cos α＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角，
∴sin α＝，sin(α－β)＝±.
当sin(α－β)＝时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝.
当sin(α－β)＝－时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝
cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.
∵β为锐角，∴cos β＝.
22．(本小题满分12分)已知函数?(x)＝Asin(ωx＋φ)ω＞0,0＜φ＜的部分图象如图所示．
(1)求?(x)的解析式；
(2)将函数y＝?(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，求函数y＝?－?的最值．
解：(1)由图得T＝－＝＝，
∴T＝2π，∴ω＝＝1.
又?＝0，得Asin＝0，
∴＋φ＝2kπ，k∈Z，φ＝2kπ－，k∈Z.
∵0＜φ＜，∴当k＝1时，φ＝.
又由?(0)＝2，得Asin ＝2，∴A＝4，
∴?(x)＝4sin.
(2)将?(x)＝4sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到y＝4sin，再将图象向右平移个单位得到g(x)＝
4sin＝4sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)y＝?－?
＝4sin－×4sin
＝4sin－4sin
＝4－4cos x
＝2sin x＋2cos x－4cos x
＝2sin x－2cos x＝4sin.
∵x∈，x－∈，
∴sin∈，
∴函数的最小值为－4，最大值为2.
课件26张PPT。
“回扣验收特训”见“回扣验收特训（三）”
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