回扣验收特训（一） 任意角的三角函数及三角恒等变换
1．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )
A．2 B．±2
C．－2 D．－2
解：选D 由题意知＝－，
∴x＝－2.故选D.
2．若－2π＜α＜－，则 的值是( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析：选D ＝
＝ ＝，
∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，
∴cos ＜0，∴＝－cos .
3．若α∈，且sin2(3π＋α)＋cos 2α＝，则tan α的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵sin2(3π＋α)＋cos 2α＝，∴sin2α＋(1－2sin2α)＝， 即cos2α＝.
又α∈，∴cos α＝，则α＝，∴tan α＝tan ＝，故选D.
4．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
解析：选D ∵sin α－cos α＝－，
∴1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－，
∴tan α＋＝＋＝＝－8.
5．若3sin α＋cos α＝0，则的值为( )
A. B.
C. D．－2
解析：选A ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－，
∴＝＝＝＝，故选A.
6．已知sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，则cos 2β的值为( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选C 由题意知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝，
所以cos 2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝.
7．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，b∈R)，则A＝________，b＝________.
解析：2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，
故A＝，b＝1.
答案： 1
8．若 ＜θ＜2π，sin θ＝－，则cos ＝________.
解析：∵＜θ＜2π，∴＜＜π.
又sin θ＝－，∴cos θ＝，
∴cos ＝－＝－ ＝－.
答案：－
9．已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－2，则＝________.
解析：∵tan 2θ＝＝－2，
∴tan θ＝－或tan θ＝.
∵＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，
∴tan θ＜0，∴tan θ＝－，
＝
＝＝＝＝3＋2.
答案：3＋2
10．求值：.
解：
＝
＝
＝＝.
11．已知cos α－sin α＝，且π＜α＜，求的值．
解：∵cos α－sin α＝，∴1－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝.
又∵α∈，
∴sin α＋cos α＝－＝－，
∴＝
＝＝＝－.
12．已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且a⊥b.
(1)求tan α的值；
(2)求cos的值．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，
由于cos α≠0, ∴6tan2α＋5tan α－4＝0，
解得tan α＝－或tan α＝.
∵α∈，∴tan α＜0，∴tan α＝－.
(2)∵α∈，∴∈.
由tan α＝－，求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．
∴sin ＝，cos ＝－，
∴cos＝coscos－sinsin
＝－×－×
＝－.
复习课(一) 任意角的三角函数及三角恒等变换
三角函数的定义
(1)题型多以选择题、填空题为主，一般难度较小．主要考查三角函数定义的应用，多与求三角函数值或角的大小有关．
(2)若角α的终边上任意一点P(x，y)(原点除外)，r＝|OP|＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
[典例] 已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则sin α＝________，tan α＝________.
[解析] ∵θ∈，∴cos θ＜0，∴r＝＝＝－5cos θ，故sin α＝＝－，tan α＝＝－.
[答案] － －
[类题通法]
利用三角函数定义求函数值的方法
当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．
求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．
1．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由三角函数的定义知：
tan α＝＝＝＝－.
又sin ＞0，cos ＜0.
所以α是第四象限角，因此α的最小正值为.
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B 在角θ的终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)．
则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2.
所以cos2 θ＝＝，
cos 2θ＝2cos2 θ－1＝－1＝－.
3．若θ是第四象限角，则点P(sin θ，tan θ)在第________象限．
解析：∵θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0，
∴点P(sin θ，tan θ )在第三象限．
答案：三
同角三角函数的基本关系及诱导公式
(1)题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查三角函数式的化简与求值，利用公式进行恒等变形以及基本运算能力．
(2)①牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．
②诱导公式可概括为k ·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
[典例] 已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
[解] 法一：由已知得＝－4，
∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，
解得tan θ＝2.
∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ )
＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ
＝
＝＝＝.
法二：由已知得＝－4，
解得tan θ＝2.
即＝2，∴sin θ＝2cos θ.
∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)
＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)
＝cos2θ＝＝＝.
[类题通法]
三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧
(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．
(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．
(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．
1．若sin(π＋α)＝，且α是第三象限角，则＝( )
A．1 B．7
C．－7 D．－1
解析：选B 由sin(π＋α)＝，得sin α＝－.
又α是第三象限角，所以cos α＝－，
所以＝
＝＝7.
2．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ ( )
A. B.
C. D.
解析：选B 1＋sin θcos θ＝
＝
＝，
又tan θ＝2，
所以1＋sin θcos θ＝＝.
3．计算：sin cos＝________.
解析：因为sin ＝sin＝－sin ＝－，
cos＝cos＝cos＝cos＝，
所以sin cos＝－×＝－.
答案：－
4．已知sin(180°＋α)＝－，0°＜α＜90°，
求的值．
解：由sin(180°＋α)＝－，0°<α<90°，
得sin α＝，cos α＝，
∴原式＝
＝＝＝2.
简单的三角恒等变换
(1)题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简以及利用三角恒等变换研究函数的性质等．
(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
②cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；
③tan(α±β)＝.
(3)二倍角的正弦、余弦、正切公式
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝.
[典例] 已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
[解] (1)tan＝
＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
[类题通法]
解决条件求值应学会的三点
(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．
1．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A. B．
C. D．
解析：选D 因为θ∈，所以2θ∈，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－＝－.又cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，所以sin θ＝.
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选A 将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin2 α－2sin αcos α＋cos2α＝，即sin 2α＝－.
3．已知0＜α＜，0＜β＜，且tan(α＋β)＝2tan α.
4tan＝1－tan2，则α＋β＝________.
解析：∵4tan＝1－tan2，
∴tan α＝＝＝，
∴tan(α＋β)＝2tan α＝2×＝1.
∵0＜α＜，0＜β＜，∴α＋β∈，∴α＋β＝.
答案：
4．在△ABC中，sin B＝cos A，若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角，求A，B，C.
解：因为sin C－sin Acos B＝sin[180°－(A＋B)]－sin Acos B＝sin(A＋B)－sin Acos B
＝sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝cos Asin B，
所以cos Asin B＝.
因sin B＝cos A，因此sin2B＝.
又B为钝角，所以sin B＝，
故B＝120°.
由cos A＝sin B＝，
知A＝30°.
从而C＝180°－(A＋B)＝30°.
综上所述，A＝30°，B＝120°，C＝30°.
1．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )
A．2 B．±2
C．－2 D．－2
解：选D 由题意知＝－，
∴x＝－2.故选D.
2．若－2π＜α＜－，则 的值是( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析：选D ＝
＝ ＝，
∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，
∴cos ＜0，∴＝－cos .
3．若α∈，且sin2(3π＋α)＋cos 2α＝，则tan α的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵sin2(3π＋α)＋cos 2α＝，∴sin2α＋(1－2sin2α)＝， 即cos2α＝. 又α∈，∴cos α＝，则α＝，∴tan α＝tan ＝，故选D.
4．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
解析：选D ∵sin α－cos α＝－，
∴1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－，
∴tan α＋＝＋＝＝－8.
5．若3sin α＋cos α＝0，则的值为( )
A. B.
C. D．－2
解析：选A ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－，
∴＝＝＝＝，故选A.
6．已知sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，则cos 2β的值为( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选C 由题意知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝，所以cos 2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝.
7．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，b∈R)，则A＝________，b＝________.
解析：2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝
sin＋1，故A＝，b＝1.
答案： 1
8．若＜θ＜2π，sin θ＝－，则cos＝________.
解析：∵＜θ＜2π，∴＜＜π.
又sin θ＝－，∴cos θ＝，
∴cos ＝－＝－ ＝－.
答案：－
9．已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－2，则
＝________.
解析：∵tan 2θ＝＝－2，
∴tan θ＝－或tan θ＝.
∵＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，
∴tan θ＜0，∴tan θ＝－，
＝
＝＝＝＝3＋2.
答案：3＋2
10．求值：.
解：
＝
＝
＝＝.
11．已知cos α－sin α＝，且π＜α＜，求的值．
解：∵cos α－sin α＝，∴1－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝.
又∵α∈，
∴sin α＋cos α＝－＝－，
∴＝
＝＝＝－.
12．已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
α∈，且a⊥b.
(1)求tan α的值；
(2)求cos的值．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，
由于cos α≠0, ∴6tan2α＋5tan α－4＝0，
解得tan α＝－或tan α＝.
∵α∈，∴tan α＜0，∴tan α＝－.
(2)∵α∈，∴∈.
由tan α＝－，求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．
∴sin ＝，cos ＝－，
∴cos＝coscos－sinsin
＝－×－×
＝－.
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