2019年数学人教B版必修4新设计同步（讲义+课件+课时跟踪检测）：阶段质量检测（二） 平面向量
文档属性
| 名称 | 2019年数学人教B版必修4新设计同步（讲义+课件+课时跟踪检测）：阶段质量检测（二） 平面向量 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 158.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-28 08:36:44 | ||
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文档简介
阶段质量检测（二） 平面向量
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B ∵＋－＝＋＝.
2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于( )
A．5 B.
C. D．13
解析：选B 因为a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝，故选B.
3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，
∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
4．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线
解析：选B 由题意可知－＝λ(－)，即＝λ，
∴A，M，B三点共线．
又λ∈(1,2)，∴||>||，∴点B在线段AM上．
5．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B 由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2＋(3k－8)a·b－12b2＝0，
由于a⊥b，故a·b＝0，
又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
6．设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为( )
A．(2,16) B．(－2，－16)
C．(4,16) D．(2,0)
解析：选A 设D(x，y)，
由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3,1)，＝(1，－4)，
∴2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．
∴∴故选A.
7．某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A．90 ° B．30°
C．45° D．60°
解析：选D 如图，用表示水速，表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.
于是tan∠AOC＝＝＝＝，
∴∠AOC＝60°，故选D.
8．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 ( )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
解析：选A ∵＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋
＝＋＋＋＝－，
∴(＋＋)与平行且方向相反．
9．设a，b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则a＋b＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：选C 若|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，故C正确；
选项A：当|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；
选项B：若a⊥b，由矩形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；
选项D：若存在实数λ，使得b＝λa，a，b可为同向的共线向量，此时显然 |a＋b|＝|a|－|b|不成立．
10．已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为( )
A. B．13
C．6 D.
解析：选D ∵＝λ＋，且⊥，
∴· ＝(λ＋)·(－)＝2－λ2＋(λ－1)·＝0.
∵·＝2×3×(－)＝－3，
∴32－λ·22＋(λ－1)×(－3)＝0，解得λ＝.
11.如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，＝p，则p·(b－a)＝( )
A．－ B． C．－ D．
解析：选A 因为在等腰直角三角形AOB中，＝a，＝b，OA＝OB＝1，
所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
由题意，可设＝－(b－a)＋λ·(b＋a)，λ∈R，
所以p·(b－a)＝－(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)
＝－(b－a)2＋(|b|2－|a|2)＝－(|a|2＋|b|2－2a·b)
＝－(1＋1－0)＝－.
12．已知在等腰三角形AOB中，若|OA|＝|OB|＝5，且|＋|≥||，则·的取值范围是( )
A．[－15,25) B．[－15,15]
C．[0,25) D．[0,15]
解析：选A |＋|≥||＝|－|，
所以|＋|2≥|－|2，
即(＋)2≥(－)2，
所以2＋2·＋2≥(2－2·＋2)，
所以52＋2·＋52≥(52－2·＋52)，
所以·≥－15.
又·≤||||＝5×5＝25，当且仅当＝时取等号，因此上述等号取不到，
所以·∈[－15,25)．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．
解析：(a＋b)(a－2b)＝|a2|－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，
∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夹角为.
答案：
14．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
解析：|5a－b|＝＝
＝
＝
＝7.
答案：7
15．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
解析：∵a＋b＝(m＋1,3)，∴|a＋b|2＝|a|2＋|b|2?(m＋1)2＋32＝m2＋6，解得m＝－2.
答案：－2
16.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，＝λ，＝(1－λ)，则·的取值范围是________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,1)，C(1,1)．
设Q(m，n)，由＝λ得，(m，n－1)＝λ(1,0)，
即m＝λ，n＝1.
又B(2,0)，设P(s，t)，
由＝(1－λ)得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，－1)，
即s＝2－λ，t＝λ，所以·＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．
故·∈[0,2]．
答案：[0,2]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．
解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a与b的夹角)．
∵0°<θ<120°，∴－∴|c|的取值范围为(，5)．
18．(本小题满分12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，
(1)用，表示.
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
解：(1)因为2 ＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
2－2＋－＝0，
所以＝2－.
(2)证明：如图，
＝＋＝－＋
＝(2－)．
故＝.即DA∥OC，且DA≠OC，
故四边形OCAD为梯形．
19．(本小题满分12分)平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量与共线，又＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，
∴＝(1－2y,7－y)．
同理＝－＝(5－2y,1－y)．
于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)，即y＝2时，
有＝(－3,5)，＝(1，－1)，
||＝，||＝，
·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝＝＝－.
20．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F使BF＝BC.
(1)以a，b为基底表示向量与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
解：(1)连接AF，由已知得＝＋＝a＋b.
∵＝＋＝a＋b，
∴＝＋＝－b＋＝a－b.
(2)由已知得a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝－6，
从而·＝·
＝|a|2＋a·b－|b|2
＝×32＋×(－6)－×42＝－.
21．(本小题满分12分)已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且 m·n＝－1.
(1)求向量n的坐标；
(2)设向量a＝(1,0)，向量b＝(cos x，sin x)，其中x∈R，若n·a＝0，试求|n＋b|的 取值范围．
解：(1)设n＝(x，y)，
则
解得或
∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
(2)∵a＝(1,0)，n·a＝0，∴n＝(0，－1)，
n＋b＝(cos x，sin x－1)．
∴|n＋b|＝＝＝.
∵－1≤sin x≤1，∴0≤|n＋b|≤2.
故|n＋b|的取值范围为[0,2]．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈.
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.
解：(1)因为＝(n－8，t)，且⊥a，
所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.
又||＝||，
所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8.
所以＝(24,8)或(－8，－8)．
(2)因为＝(ksin θ－8，t)，与a共线，
所以t＝－2ksin θ＋16.
又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ
＝－2k2＋，
当k>4时，1>>0，
所以当sin θ＝时，tsin θ取得最大值；
由＝4，得k＝8，此时θ＝，故＝(4,8)，
所以·＝8×4＋8×0＝32.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B ∵＋－＝＋＝.
2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于( )
A．5 B.
C. D．13
解析：选B 因为a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝，故选B.
3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，
∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
4．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线
解析：选B 由题意可知－＝λ(－)，即＝λ，
∴A，M，B三点共线．
又λ∈(1,2)，∴||>||，∴点B在线段AM上．
5．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B 由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2＋(3k－8)a·b－12b2＝0，
由于a⊥b，故a·b＝0，
又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
6．设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为( )
A．(2,16) B．(－2，－16)
C．(4,16) D．(2,0)
解析：选A 设D(x，y)，
由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3,1)，＝(1，－4)，
∴2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．
∴∴故选A.
7．某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A．90 ° B．30°
C．45° D．60°
解析：选D 如图，用表示水速，表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.
于是tan∠AOC＝＝＝＝，
∴∠AOC＝60°，故选D.
8．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 ( )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
解析：选A ∵＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋
＝＋＋＋＝－，
∴(＋＋)与平行且方向相反．
9．设a，b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则a＋b＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：选C 若|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，故C正确；
选项A：当|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；
选项B：若a⊥b，由矩形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；
选项D：若存在实数λ，使得b＝λa，a，b可为同向的共线向量，此时显然 |a＋b|＝|a|－|b|不成立．
10．已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为( )
A. B．13
C．6 D.
解析：选D ∵＝λ＋，且⊥，
∴· ＝(λ＋)·(－)＝2－λ2＋(λ－1)·＝0.
∵·＝2×3×(－)＝－3，
∴32－λ·22＋(λ－1)×(－3)＝0，解得λ＝.
11.如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，＝p，则p·(b－a)＝( )
A．－ B． C．－ D．
解析：选A 因为在等腰直角三角形AOB中，＝a，＝b，OA＝OB＝1，
所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
由题意，可设＝－(b－a)＋λ·(b＋a)，λ∈R，
所以p·(b－a)＝－(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)
＝－(b－a)2＋(|b|2－|a|2)＝－(|a|2＋|b|2－2a·b)
＝－(1＋1－0)＝－.
12．已知在等腰三角形AOB中，若|OA|＝|OB|＝5，且|＋|≥||，则·的取值范围是( )
A．[－15,25) B．[－15,15]
C．[0,25) D．[0,15]
解析：选A |＋|≥||＝|－|，
所以|＋|2≥|－|2，
即(＋)2≥(－)2，
所以2＋2·＋2≥(2－2·＋2)，
所以52＋2·＋52≥(52－2·＋52)，
所以·≥－15.
又·≤||||＝5×5＝25，当且仅当＝时取等号，因此上述等号取不到，
所以·∈[－15,25)．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．
解析：(a＋b)(a－2b)＝|a2|－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，
∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夹角为.
答案：
14．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
解析：|5a－b|＝＝
＝
＝
＝7.
答案：7
15．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
解析：∵a＋b＝(m＋1,3)，∴|a＋b|2＝|a|2＋|b|2?(m＋1)2＋32＝m2＋6，解得m＝－2.
答案：－2
16.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，＝λ，＝(1－λ)，则·的取值范围是________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,1)，C(1,1)．
设Q(m，n)，由＝λ得，(m，n－1)＝λ(1,0)，
即m＝λ，n＝1.
又B(2,0)，设P(s，t)，
由＝(1－λ)得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，－1)，
即s＝2－λ，t＝λ，所以·＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．
故·∈[0,2]．
答案：[0,2]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．
解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a与b的夹角)．
∵0°<θ<120°，∴－
18．(本小题满分12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，
(1)用，表示.
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
解：(1)因为2 ＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
2－2＋－＝0，
所以＝2－.
(2)证明：如图，
＝＋＝－＋
＝(2－)．
故＝.即DA∥OC，且DA≠OC，
故四边形OCAD为梯形．
19．(本小题满分12分)平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量与共线，又＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，
∴＝(1－2y,7－y)．
同理＝－＝(5－2y,1－y)．
于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)，即y＝2时，
有＝(－3,5)，＝(1，－1)，
||＝，||＝，
·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝＝＝－.
20．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F使BF＝BC.
(1)以a，b为基底表示向量与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
解：(1)连接AF，由已知得＝＋＝a＋b.
∵＝＋＝a＋b，
∴＝＋＝－b＋＝a－b.
(2)由已知得a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝－6，
从而·＝·
＝|a|2＋a·b－|b|2
＝×32＋×(－6)－×42＝－.
21．(本小题满分12分)已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且 m·n＝－1.
(1)求向量n的坐标；
(2)设向量a＝(1,0)，向量b＝(cos x，sin x)，其中x∈R，若n·a＝0，试求|n＋b|的 取值范围．
解：(1)设n＝(x，y)，
则
解得或
∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
(2)∵a＝(1,0)，n·a＝0，∴n＝(0，－1)，
n＋b＝(cos x，sin x－1)．
∴|n＋b|＝＝＝.
∵－1≤sin x≤1，∴0≤|n＋b|≤2.
故|n＋b|的取值范围为[0,2]．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈.
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.
解：(1)因为＝(n－8，t)，且⊥a，
所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.
又||＝||，
所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8.
所以＝(24,8)或(－8，－8)．
(2)因为＝(ksin θ－8，t)，与a共线，
所以t＝－2ksin θ＋16.
又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ
＝－2k2＋，
当k>4时，1>>0，
所以当sin θ＝时，tsin θ取得最大值；
由＝4，得k＝8，此时θ＝，故＝(4,8)，
所以·＝8×4＋8×0＝32.