2019年数学人教B版必修4新设计同步（讲义+课件+课时跟踪检测）：阶段质量检测（三） 三角恒等变换

阶段质量检测（三） 三角恒等变换
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝2cos2＋1的最小正周期是(　　)
A．4π　　　　　　　　　　　 B．2π
C．π D.
解析：选B　∵y＝2cos2＋1＝＋2＝cos x＋2，
∴函数的最小正周期T＝2π.
2．若tan α＝3，则的值等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选D　＝＝2tan α＝2×3＝6.
3．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则cos的值是(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选A　由题意，sin α＝，
所以cos＝coscos α＋sinsin α＝.
4．函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)
A．[－2,2] B.
C．[－1,1] D.
解析：选B　f(x)＝sin x－＝sin x－cos x＋sin x
＝＝sin，
∵x∈R，∴x－∈R，∴f(x)∈.
5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D　cos 2α＝sin＝sin ＝2sincos，
代入原式，得6sin·cos＝sin.
∵α∈，∴cos＝，
∴sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.
6．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－，则cos 2α＝(　　)
A. B．－
C．－ D．
解析：选A　因为cos α＋sin α＝－，α∈(0，π)，
所以sin 2α＝－，cos α<0，且α∈，
所以2α∈，所以cos 2α＝＝.
7．化简：的值为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选B　依题意得
＝
＝＝＝＝.
8．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β是第三象限角，则cos 的值等于(　　)
A．±　　　　　　　　　　 B．±
C．－ D．－
解析：选A　由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，
故sin β＝－.
∵β在第三象限，∴cos β＝－.
∴cos ＝± ＝±＝±.
9．化简：的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：选D　＝
＝＝＝＝＝1.
10．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C　在△ABC中，tan＝sin C＝sin(A＋B)＝2sincos，
∴2cos2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝，即△ABC为直角三角形．
11．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos(α－β)的值为(　　)
A. B．
C. D．－
解析：选B　因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，所以|a|＝|b|＝1.
又a与b的夹角为，所以a·b＝1×1×cos＝.
又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，
所以cos(α－β)＝.
12．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　∵P(1,4)，∴|OP|＝7，
∴sin α＝，cos α＝.
又sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∵0<β<，∴β＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．设向量a＝，b＝，其中θ∈，若a∥b，则θ＝________.
解析：若a∥b，则sin θcos θ＝，
即2sin θcos θ＝1，
∴sin 2θ＝1，又θ∈，∴θ＝.
答案：
14．若tan＝3＋2，则＝________.
解析：由tan＝＝3＋2，得tan α＝，
∴＝＝tan α＝.
答案：
15. ＝________.
解析：原式＝
＝＝
＝＝＝－4.
答案：－4
16．若sincos＝－，则cos 4x＝________.
解析：∵sin＝－cos＝－cos，
∴cos2＝，∴＝，
∴cos＝－，即sin 2x＝－，
∴cos 4x＝1－2sin22x＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知＜α＜，且cos＝，求cos α，sin α的值．
解：因为＜α＜，
所以0＜α－＜.
因为cos＝，
所以sin＝ ＝.
所以sin α＝sin
＝sincos ＋cossin
＝，
cos α＝cos
＝coscos－sinsin＝.
18．(本小题满分12分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求的值；
(2)求tan的值．
解：(1)由0<α<，sin α＝，得cos α＝，
∴＝＝＝20.
(2)∵tan α＝＝，
∴tan＝＝＝.
19．(本小题满分12分)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解：(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取f(x)的最大值为1，
所以f(x)的最大值为.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋2cos＋1.
(1)求f的值．
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)因为f(x)＝2cos 2x＋2cos＋1
＝4coscos＋1＝－2cos＋1
＝－2cos＋1＝2sin＋1，
所以f＝2sin＋1＝＋1.
(2)由(1)，知f(x)＝2sin＋1，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
21．(本小题满分12分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos；(2)tan(α＋β)．
解：(1)∵<α<π，0<β<，∴<α－<π，－<－β<.
∴sin＝ ＝，
cos＝ ＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
(2)∵<<，
∴sin＝ ＝.
∴tan＝＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
22．(本小题满分12分)已知向量＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m＝(2,1)， n＝(0，－)，且m⊥(－n)．
(1)求向量；
(2)若cos(β－π)＝，0<β<π，求cos(2α－β)的值．
解：(1)∵＝(cos α，sin α)，
∴－n＝(cos α，sin α＋)．
∵m⊥(－n)，∴m·(－n)＝0，
∴2cos α＋sin α＋＝0. ①
又sin2α＋cos2α＝1， ②
由①②得sin α＝－，cos α＝－，
∴＝.
(2)∵cos(β－π)＝，∴cos β＝－.
又0<β<π，∴sin β＝＝.
又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β
＝×＋×＝＝.