2019年数学人教B版必修4新设计同步（讲义+课件+课时跟踪检测）：阶段质量检测（一） 基本初等函数（Ⅱ）

阶段质量检测（一） 基本初等函数（Ⅱ）
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．y＝sin 是(　　)
A．周期为6π的奇函数　　　 B．周期为的奇函数
C．周期为6π的偶函数 D．周期为3π的偶函数
解析：选A　y＝sin 为奇函数，T＝＝6π，故选A.
2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是(　　)
A．3 B．6
C．18 D．36
解析：选C　∵l＝αr，∴6＝1×r.
∴r＝6.
∴S＝lr＝×6×6＝18.
3．若－＜α＜0，则点P(tan α，cos α)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　∵－＜α＜0，∴tan α<0，cos α＞0，
∴点P(tan α，cos α)位于第二象限．
4．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B　∵角θ的终边过(4，－3)，∴cos θ＝.
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－.
5．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　)
解析：选A　把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x＋1的图象，向左平移1个单位长度，得y＝cos(x＋1)＋1的图象，再向下平移1个单位长度得y＝cos(x＋1)的图象．则得到的函数为y＝cos(x＋1)，令x＝0，得y＝cos 1>0，排除C、D；又令x＝－1，得y＝cos＝0，排除B.故选A.
6．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是(　　)
A. B．－
C．－2 D．2
解析：选A　由＝5，得12cos α＝6sin α，
即tan α＝2，所以sin2α－sin αcos α＝＝＝.
7．函数y＝tan的值域为(　　)
A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
解析：选B　∵x∈且x≠0，
∴－x∈且－x≠，
即－x∈∪，
当－x∈时，y≥1；
当－x∈时，y≤－1，
∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
8．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式为(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C　将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x变为x，即可得y＝sin，然后将其图象向左平移个单位，即将x变为x＋.
∴y＝sin＝sin.
9.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是(　　)
A．A＝3，T＝2π B．B＝－1，ω＝2
C．T＝4π，φ＝－ D．A＝3，φ＝
解析：选C　由题图可知T＝2＝4π，
A＝(2＋4)＝3，B＝－1.
∵T＝4π，∴ω＝.
令×＋φ＝，得φ＝－.
10．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析：选D　根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，
所以函数的一个周期为－2π，A正确；
当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，
所以f(x＋π)＝0，所以C正确；
函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
11.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　由图象可得T＝π－π，∴T＝π，则ω＝2.
又图象过点，∴2sin＝2，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin，其单调递增区间为(k∈Z)，
取k＝1，即得选项D.
12．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为(　　)
A．41米 B．43米
C．78米 D．118米
解析：选B　摩天轮转轴离地面高160－＝82(米)，ω＝＝，摩天轮上某个点P离地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数关系是h＝82－78cos t，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h＝82－78cost＝82－78×＝43(米)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．arctan＋arcsin＝________.
解析：∵arctan＝，arcsin＝－，
∴arctan＋arcsin＝0.
答案：0
14．已知sin(π－α)＝－，且α∈，则tan(2π－α)＝________.
解析：sin(π－α)＝sin α＝－，
∵α∈，
∴cos α＝＝，
tan(2π－α)＝－tan α＝－＝.
答案：
15．已知函数y＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝1和y＝2所得的线段长分别为m，n，则m，n的大小关系是________．
解析：∵两条直线所截得的线段长都为y＝tan ωx(ω＞0)的最小正周期，∴m＝n＝.
答案：m＝n
16．将函数f(x)＝2sin(ω＞0)的图象向左平移个单位得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为______．
解析：根据题意得g(x)＝2sin ωx，
又y＝g(x)在上为增函数，所以≥，即ω≤2，
所以ω的最大值为2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cos＝，
求＋
的值．
解：因为cos＝－sin θ，所以sin θ＝－.
原式＝＋
＝＋＝＝＝8.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
∴sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调增区间为，k∈Z.
19．(本小题满分12分)函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值．
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，
所以2x＋∈，
于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin＋1(其中0＜ω＜1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)试求ω的值．
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．
解：(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ，k∈Z，
所以ω＝－3k＋，k∈Z.
因为0＜ω＜1，所以k＝0，ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋1，x∈[－π，π]．
列表如下，
x＋
－
－
0

π

x
－π
－
－


π
y
0
－1
1
3
1
0
则函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象如图所示．
21．(本小题满分12分)已知f(x)＝3sin－1.
(1)f(x)的图象是由y＝sin x的图象如何变换而来？
(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值．
解：(1)将函数y＝sin x图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y＝3sin x的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝3sin 2x的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝3sin的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)＝3sin－1的图象．
(2)最小正周期T＝π，由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设0＜x＜π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和．
解：(1)观察图象，得A＝2，T＝×＝π.
∴ω＝＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
∵函数f(x)的图象经过点，
∴2sin＝2，即sin＝1.
又|φ|<，∴φ＝，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)方程f(x)＝m的根的情况，等价于f(x)＝2sin的图象与g(x)＝m的图象的交点个数情况．
又0＜x＜π，∴在同一坐标系中画出f(x)＝2sin(0＜x＜π)和g(x)＝m(m∈R)的图象如图所示．
由图可知当－2方程f(x)＝m有两个不同的实数根，
∴实数m的取值范围为(－2,1)∪(1,2)．
当－2＜m＜1时，此时两交点关于直线x＝对称，两根和为；
当1＜m＜2时，此时两交点关于直线x＝对称，两根和为.