2019年数学人教B版必修4新设计同步（讲义+课件+课时跟踪检测）：模块综合检测

模块综合检测
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．tan 的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 　B．－
C. D．－
解析：选D　tan ＝tan＝tan ＝－.
2．下列函数中最大值是，周期是6π的三角函数的解析式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝2sin D．y＝sin
解析：选A　由题意得，A＝，＝6π，ω＝，故选A.
3.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．
解析：选B　由＝(＋)，结合＝m，＝n，
得＝m＋n.又O，M，N三点共线，
所以m＋n＝1，所以m＋n＝2.故选B.
4．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　∵点(sin α，sin 2α)在第四象限，
∴∴
即∴α在第二象限．
5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于(　　)
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析：选B　∵a＝(1,2)，b＝(－2，m)，
∴1×m－2×(－2)＝0，
∴m＝－4.
∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
6．若α∈，且sin α＝，则sin－cos(π－α)的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B　sin－cos(π－α)
＝sin α＋cos α＋cos α
＝sin α＋cos α.
∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－.
∴sin α＋cos α＝×－×
＝－.
7．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，则λ的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B　依题意得＝＋＝－，＝＋，因此·＝·＝2－2＋·，于是有×62＋×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3.
8．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A　∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.
9．函数?(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)的部分图象如图所示，则?(1)＋?(2)＋?(3)＋…＋?(11)的值等于(　　)
A．2 B．2＋
C．2＋2 D．－2－2
解析：选C　由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，
则A＝2，φ＝0，＝8，从而?(x)＝2sin x.
∴?(1)＋?(2)＋?(3)＋…＋?(11)＝?(1)＋?(2)＋?(3)＝2sin ＋2sin ＋2sin ＝2＋2.
10．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)＝(　　)
A．0 B．－
C. D．－
解析：选B　由3a＋4b＋5c＝0，得向量3a,4b,5c能组成三角形，
又|a|＝|b|＝|c|＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，
故三角形为直角三角形，且a⊥b，
所以a·(b＋c)＝a·c＝－.
11．如图，在四边形ABCD中，||＋| |＋| |＝4，||·||＋||·||＝4，·＝·＝0，则(＋)·的值为(　　)
A．4　　　　　　　　 　B．2
C．4 D．2
解析：选A　∵＝＋＋，·＝·＝0，
∴(＋)·
＝(＋)·(＋＋)
＝2＋·＋·＋·＋·＋2
＝2＋2·＋2.
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，∴∥，
∴·＝||||，
∴原式＝(||＋||)2.
设||＋||＝x，
则||＝4－x，||·x＝4，
∴x2－4x＋4＝0，∴x＝2，
∴原式＝4，故选A.
12．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1－x2|的最小值为π，则(　　)
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
解析：选A　∵函数y＝2sin(ωx＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，
∴θ＝，
∴y＝2cos ωx，排除C、D；y＝2cos ωx∈[－2,2]，结合题意可知T＝π，
∴＝π，ω＝2，排除B，选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析：设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，＝a＋b，
代入条件得λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
答案：
14．在平面直角坐标系 xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
解析：∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0.
又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，
∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0.∴t＝5.
答案：5
15．已知?(x)＝sin ，若cos α＝，则?＝________.
解析：因为cos α＝，所以sin α＝；
?＝sin＝sin
＝(sin α＋cos α)＝.
答案：
16.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)，
则＝＋λ＝λ＋(1－λ) .
又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)，
则＝－－(λ>1，μ>1)，
所以m＝－，n＝－，
则m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为θ.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a－b与a垂直，求θ.
解：(1)∵a∥b，∴θ＝0°或180°，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝±.
(2)∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
即|a|2－a·b＝1－cos θ＝0，
∴cos θ＝.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
18．(本小题满分12分)已知tan α＝，求
的值．
解：原式＝
＝
＝
＝＝，
又∵tan α＝，∴原式＝＝－3.
19．(本小题满分12分)已知a＝(cos 2 α，sin α)，b＝(1,2sin α－1)，α∈，π，a·b＝，求.
解：∵a·b＝cos 2α＋sin α(2sin α－1)
＝cos 2α＋2sin2α－sin α
＝1－sin α＝，∴sin α＝.
∵α∈，∴cos α＝－，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝－，
∴
＝
＝
＝－10.
20．(本小题满分12分)已知函数?(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin xcos x.
(1)当x∈时，求?(x)的值域；
(2)用五点法在下图中作出y＝?(x)在闭区间上的简图．
解：?(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin xcos x
＝2cos x－sin2x＋sin xcos x＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin.
(1)∵x∈，∴≤2x＋≤，∴－≤sin≤1，
∴当x∈时，?(x)的值域为[－，2]．
(2)由T＝，得T＝π，列表：
x
－




2x＋
0

π

2π
2sin
0
2
0
－2
0
图象如图所示．
21．(本小题满分12分)已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cos α＝，求cos β的值．
解：(1)由|AB|＝，
得 ＝，
∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，
∴cos(α－β)＝.
(2)∵cos α＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角，
∴sin α＝，sin(α－β)＝±.
当sin(α－β)＝时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝.
当sin(α－β)＝－时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.
∵β为锐角，∴cos β＝.
22．(本小题满分12分)已知函数?(x)＝Asin(ωx＋φ)ω＞0,0＜φ＜的部分图象如图所示．
(1)求?(x)的解析式；
(2)将函数y＝?(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，求函数y＝?－?的最值．
解：(1)由图得T＝－＝＝，
∴T＝2π，∴ω＝＝1.
又?＝0，得Asin＝0，
∴＋φ＝2kπ，k∈Z，φ＝2kπ－，k∈Z.
∵0＜φ＜，∴当k＝1时，φ＝.
又由?(0)＝2，得Asin ＝2，∴A＝4，
∴?(x)＝4sin.
(2)将?(x)＝4sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到 y＝4sin，再将图象向右平移个单位得到g(x)＝
4sin＝4sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)y＝?－?
＝4sin－×4sin
＝4sin－4sin
＝4－4cos x
＝2sin x＋2cos x－4cos x
＝2sin x－2cos x＝4sin.
∵x∈，x－∈，
∴sin∈，
∴函数的最小值为－4，最大值为2.