2．1.1 向量的概念
预习课本P77～79，思考并完成以下问题
(1)向量是如何定义的？怎样表示向量？
(2)向量的相关概念有哪些？
1．向量的概念及表示
概念
具有大小和方向的量称为向量
表示
具有方向的线段，叫做有向线段，以A为始点，B为终点的有向线段记作 ，的长度记作||.用有向线段表示向量，读作向量
代数表示
印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头
[点睛] 有向线段与向量的区别和联系
区别
从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的
联系
有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段
2．与向量有关的概念
名称
定义
记法
向量的
长度(模)
若＝a，则的长度为向量的长度(模)
|a|
零向量
长度等于0的向量
0
相等向量
两个向量a和b同向且等长
a＝b
向量的基线
通过有向线段的直线
向量共线或平行
向量的基线互相平行或重合
a∥b
规定：零向量与任意向量都平行
0∥a
位置向量
任给一定点O和向量a，过点O作有向线段＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量叫做点A相对于点O的位置向量
[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量能比较大小．( )
(2)向量的模是一个正实数．( )
(3)向量与向量是相等向量．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．
其中可以看成是向量的个数( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
3．下列结论中正确的是( )
①由a＝b可知a∥b且|a|＝|b|；
②由a＝b不能得到a∥b且|a|＝|b|；
③a与b方向相同且|a|＝|b|等价于a＝b；
④由a与b方向相反或|a|＝|b|可知a＝b.
A．①③ B．②④
C．③④ D．①③④
答案：A
4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有______．
答案：，
向量的有关概念
[典例] 给出下列命题：
①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；
③在菱形ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中所有正确命题的序号为________．
[解析] 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故①不正确．
单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故②正确．
③④显然正确，故所有正确命题的序号为②③④.
[答案] ②③④
1．判断一个量是否为向量应从两个方面入手
(1)是否有大小；
(2)是否有方向．
2．理解零向量和单位向量
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
[活学活用]
有下列说法：
①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；
②若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；
③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；
④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．
向量的表示
[典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
(2)，使||＝4，点B在点A正东；
(3)，使| |＝6，点C在点B北偏东30°.
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．
必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
[活学活用]
一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量，，，.
解：如图所示．
共线向量或相等向量
[典例] 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
[解] (1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
[一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量相等的向量．
解：与向量相等的向量有，，.
2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．
解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
层级一 学业水平达标
1．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选C 向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
2．设O为△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量 B．平行向量
C．模相等的向量 D．起点相同的向量
解析：选C ∵O为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，即||＝||＝||.
3．向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为( )
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
解析：选B 根据共线向量定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，故选B.
4.如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C 根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．
5．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是( )
A．＝ B． ＝或＝－
C．＝1 D．||＝||
解析：选D 由于a与b的方向不知，故与无法判断是否相等，故A、B选项均错．又与均为模为1的向量．∴||＝||，故C错D对．
6．已知| |＝1，| |＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
解析：由勾股定理可知，BC＝＝，所以||＝.
答案：
7.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数是______．
解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为2，在其中一个正方形中，与平行且长度为2的向量有2个，所以共8个．
答案：8
8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
答案：①③④
9.如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解：(1)与向量相等的向量是.
(2)与的模相等的向量有：，，，，，，.
10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，.
(2)求B地相对于A地的位移．
解：(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝.
所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．
所以＝，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．
层级二 应试能力达标
1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：
A中，与方向不同，故＝错误；
B中，与方向不同，故＝错误；
C中，与方向相反，故＝错误；
D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故＝正确．
2．下列命题正确的是( )
A．若|a|＜|b|，则a＜b
B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|＝|b|，则a与b可能共线
D．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线
解析：选C 因为向量不能比较大小，因此A错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误．不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C正确，D错误．
3.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )
A．一组 B．二组
C．三组 D．四组
解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即＝.
4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模为模的倍
D．与不共线
解析：选D A项，由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确；B项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与的模相等的向量除外有9个，正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝DA，所以BD＝DA，故C项正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D项错误，选D.
5．四边形ABCD满足＝，且| |＝||，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．
解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，∴四边形ABCD是平行四边形．又||＝||知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为________；与向量共线的向量为__________；与向量的模相等的向量为______．(填图中所画出的向量)
解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，.
答案：， ，，，，
7．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量．
(2)写出图中所示向量与向量相等的向量．
(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量．
解：(1)与长度相等的向量是，
，，，，，，.
(2)与相等的向量是，
(3)与共线的向量是，，；
与共线的向量是，，.
8．如图，已知函数y＝x的图象l与直线m平行，A，B(x，y)是m上的点．求
(1)x，y为何值时，＝0；
(2)x，y为何值时，||＝1.
解：(1)要使＝0，当且仅当点A与点B重合，于是
(2)如图，由已知，l∥m且点A的坐标是，
所以B1点的坐标是.在Rt△AOB1中，有
||2＝||2＋||2＝2＋2＝1，
即||＝1.
同理可得，当B2的坐标是时，|AB2|＝1.
综上有，当或时，||＝1.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十三)”
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课时跟踪检测（十三） 向量的概念
]层级一 学业水平达标
1．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选C 向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
2．设O为△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量 B．平行向量
C．模相等的向量 D．起点相同的向量
解析：选C ∵O为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，即||＝||＝||.
3．向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为( )
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
解析：选B 根据共线向量定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，故选B.
4.如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C 根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．
5．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是( )
A．＝ B． ＝或＝－
C．＝1 D．||＝||
解析：选D 由于a与b的方向不知，故与无法判断是否相等，故A、B选项均错．又与均为模为1的向量．∴||＝||，故C错D对．
6．已知| |＝1，| |＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
解析：由勾股定理可知，BC＝＝，所以||＝.
答案：
7.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数是______．
解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为2，在其中一个正方形中，与平行且长度为2的向量有2个，所以共8个．
答案：8
8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
答案：①③④
9.如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解：(1)与向量相等的向量是.
(2)与的模相等的向量有：，，，，，，.
10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，.
(2)求B地相对于A地的位移．
解：(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝.
所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．
所以＝，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．
层级二 应试能力达标
1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：
A中，与方向不同，故＝错误；
B中，与方向不同，故＝错误；
C中，与方向相反，故＝错误；
D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故＝正确．
2．下列命题正确的是( )
A．若|a|＜|b|，则a＜b
B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|＝|b|，则a与b可能共线
D．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线
解析：选C 因为向量不能比较大小，因此A错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误．不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C正确，D错误．
3.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )
A．一组 B．二组
C．三组 D．四组
解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即＝.
4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模为模的倍
D．与不共线
解析：选D A项，由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确；
B项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与的模相等的向量除外有9个，正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝DA，所以BD＝DA，故C项正确； D项，因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D项错误，选D.
5．四边形ABCD满足＝，且| |＝||，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．
解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又||＝||知该平行四边形对角线相等，
故四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为________；与向量共线的向量为__________；与向量的模相等的向量为______．(填图中所画出的向量)
解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，
易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为；
与共线的向量为，；
与的模相等的向量为，，，，.
答案：， ，，，，
7．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量．
(2)写出图中所示向量与向量相等的向量．
(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量．
解：(1)与长度相等的向量是，
，，，，，，.
(2)与相等的向量是，
(3)与共线的向量是，，；
与共线的向量是，，.
8．如图，已知函数y＝x的图象l与直线m平行，A， B(x，y)是m上的点．求
(1)x，y为何值时，＝0；
(2)x，y为何值时，||＝1.
解：(1)要使＝0，当且仅当点A与点B重合，于是
(2)如图，由已知，l∥m且点A的坐标是，
所以B1点的坐标是.在Rt△AOB1中，有
||2＝||2＋||2＝2＋2＝1，
即||＝1.
同理可得，当B2的坐标是时，|AB2|＝1.
综上有，当或时，||＝1.
