2．1.2 向量的加法
预习课本P80～83，思考并完成以下问题
(1)向量的加法如何定义？
(2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
(3)向量加法的运算律有哪两条？
1．向量的加法
(1)三角形法则
原理
已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量 叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
图示
[点睛] (1)和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．
(2)零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a.
(2)平行四边形法则
原理
已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则A，B，D三点不共线，以，为邻边作平行四边形，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则
图示
(3)多边形法则
原理
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则
图示
2.向量加法的运算律
运 算 律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量相加结果可能是一个数量．( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是( )
A．＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
答案：C
3．边长为1的正方形ABCD中，|＋|＝( )
A．2 B.
C．1 D．2
答案：B
4．＋＋＋＝______.
答案：0
向量加法及其几何意义
[典例] 求作下列向量的向量和．
[解] (1)如图①所示，
(2)如图②所示，首先作＝a，然后作＝b，则＝a＋b，
(3)如图③所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c.
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．
[活学活用]
如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.
解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
向量加法运算
[典例] 化简或计算：
(1) ＋＋；
(2) ＋＋＋＋.
[解] (1) ＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2) ＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＝＋＝0.
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
[活学活用]
如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．
则①＋＝________；
②＋＋＝________；
③＋＋＝________.
解析：①＋＝＋＝.
②＋＋＝＋＝＋＝
③＋＋＝＋＋＝.
答案：① ② ③
层级一 学业水平达标
1．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝＋a＝a B．＋＋＝0
C．＋＝0 D．＋＝＋＋
解析：选B 由向量加法可知＋＋＝＋＝2.
2.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B．
C． D．
解析：选D 因为ABCDEF是正六边形，故＋＋＝＋＋＝CE―→＋＝.
3．下列各式不一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a
C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.
4．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于( )
A．2 B．4
C．12 D．6
解析：选B 因为＋＝A，所以＋＋的长度为的模的2倍，故答案是4.
5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
解析：选A ∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
6．＋＋＋＝________.
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
7．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
8.如图，在平行四边形ABCD中，
(1) ＋＝________；
(2) ＋＋＝________；
(3) ＋＋＝________；
(4) ＋＋＝________.
解析：(1)由平行四边形法则可知为.
(2) ＋＋＝＋＝.
(3)A＋＋＝＋＝.
(4) ＋＋＝＋＋＝＋＝0.
答案：(1) (2) (3) (4)0
9.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋.
解：①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
10．如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝ (i＝1,2，…，7)，bj＝ (j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
解：因为＋＝0，
所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＝b6.
层级二 应试能力达标
1.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．,＋＝
D．＋＝
解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠.
2．下列命题错误的是( )
A．两个向量的和仍是一个向量
B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b|
C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|
D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点
解析：选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有＝，起点和终点都不相同．
3．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D 由于＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形，故选D.
4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：选C ＋＝.
5．O为三角形ABC内一点，若＋＋＝0，则O是三角形ABC的________心．
解析：∵＋＋＝0，
∴＋＝－＝，
此时与共起点，
∴以，为边构造一平行四边形，设AB的中点为D点，
则＋＝2，
即2＝，
∴O是三角形ABC的重心．
答案：重
6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8，∠BAC＝45°.
答案：8 km 北偏东45°
7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
证明：＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
8.如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为模为1的向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为模为1的向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
所以||即|a＋e|最大，最大值是3.
课件18张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十四)”
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课时跟踪检测（十四） 向量的加法
层级一 学业水平达标
1．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝＋a＝a B．＋＋＝0
C．＋＝0 D．＋＝＋＋
解析：选B 由向量加法可知＋＋＝＋＝2.
2.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B．
C． D．
解析：选D 因为ABCDEF是正六边形，
故＋＋＝＋＋＝＋＝.
3．下列各式不一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a
C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.
4．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于( )
A．2 B．4
C．12 D．6
解析：选B 因为＋＝A，所以＋＋的长度为的模的2倍，故答案是4.
5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
解析：选A ∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
6．＋＋＋＝________.
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
7．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
8.如图，在平行四边形ABCD中，
(1) ＋＝________；
(2) ＋＋＝________；
(3) ＋＋＝________；
(4) ＋＋＝________.
解析：(1)由平行四边形法则可知为.
(2) ＋＋＝＋＝.
(3)A＋＋＝＋＝.
(4) ＋＋＝＋＋＝＋＝0.
答案：(1) (2) (3) (4)0
9.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋.
解：①＋＋＝＋＋
＝＋＋＝＋
＝.
②＋＋＋＝＋＋＋
＝＋＋＝＋
＝0.
10．如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝ (i＝1,2，…，7)，bj＝ (j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
解：因为＋＝0，
所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＝b6.
层级二 应试能力达标
1.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．,＋＝
D．＋＝
解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠.
2．下列命题错误的是( )
A．两个向量的和仍是一个向量
B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b|
C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|
D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点
解析：选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有＝，起点和终点都不相同．
3．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D 由于＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形，故选D.
4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：选C ＋＝.
5．O为三角形ABC内一点，若＋＋＝0，则O是三角形ABC的________心．
解析：∵＋＋＝0，
∴＋＝－＝，
此时与共起点，
∴以，为边构造一平行四边形，设AB的中点为D点，
则＋＝2，
即2＝，
∴O是三角形ABC的重心．
答案：重
6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8，∠BAC＝45°.
答案：8 km 北偏东45°
7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
证明：＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
8.如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为模为1的向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，
则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为模为1的向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
所以||即|a＋e|最大，最大值是3.
