2．1.3 & 2.1.4 向量的减法 数乘向量
预习课本P84～89，思考并完成以下问题
(1)a的相反向量是什么？
(2)向量的减法运算及其几何意义是什么？
(3)向量数乘的定义及其几何意义是什么？
(4)向量数乘运算满足哪三条运算律？
1．相反向量
与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
[点睛] 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
2．向量的减法
已知向量a，b(如图)，作＝a，＝b，则b＋＝a.向量 叫做向量a与b的差，并记作a－b，
即＝a－b＝－ .由定义可知：
(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量；
(2)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量 减去它的始点相对于点O的位置向量 ，或简记为“终点向量减始点向量”；
(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
[点睛] 在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
3．数乘向量
(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa.
(2)长度：|λa|＝|λ||a|.
(3)方向：λa(a≠0)的方向：当λ＞0时，与a同方向；当λ＜0时，与a反方向．特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.λa中的实数λ叫做向量a的系数．
(4)几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
(5)运算律：设λ，μ∈R，则①(λ＋μ)a＝λa＋μ a．②λ(μ a)＝(λμ)a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．
(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.
4．向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量．( )
(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )
(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．( )
(4)相反向量是共线向量．( )
(5)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
答案：A
3.(a＋2b)－(4a－3b)可化简为( )
A.a B．－a
C．－a＋3b D.a－3b
答案：C
4．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为______．
答案：，
向量的运算与化简
[典例] 化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)( －)－(－)；
(4)( ＋＋)－(－－)．
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)(－)－(－)
＝(＋)－(＋)＝－＝0.
(4)( ＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0.
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量数乘运算的方法
向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．
[活学活用]
化简下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2).
解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
向量的减法及其几何意义
[典例] 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解] 法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[活学活用]
在本例的条件下作出向量：
①a－b＋c；②a－b－c.
解：如图所示．
用已知向量表示未知向量
[典例] 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
[解] 由三角形中位线定理，知DE綊BC，故＝，即＝a.
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.
＝＋＋＝＋＋
＝－a－b＋a＝a－b.
用已知向量表示未知向量的方法
用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．
[活学活用]
如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又＝，＝，试用a，b表示，，.
解：∵＝＝＝(－)＝(a－b)，
∴＝＋
＝b＋a－b＝a＋b.
∵＝＝，
∴＝＋＝＋
＝＝(＋)＝(a＋b)．
∴＝－
＝(a＋b)－a－b
＝a－b.
层级一 学业水平达标
1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝( )
A．5e B．－5e
C．23e D．－23e
解析：选C 2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.
2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：选B |－|＝|＋|＝| |＝1.
3．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
解析：选C ＝－.根据三角形法则，
当，共线且同向时，||＝3；
当，共线且反向时，||＝13；
当，不共线时，3＜||＜13.
故||∈[3,13]．
4．已知一点O到?ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b－c D．a－b－c
解析：选B 如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.
5．下列各式能化简为的个数是( )
①(－)－
②－(＋)
③－(＋)－(＋)
④－－＋
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①中，(－)－＝＋＋＝＋＝；
②中，－(＋)＝－0＝；
③中，－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝；
④中，－－＋＝＋＋＝＋2.
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝______.
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.
答案：0 2
8.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b)表示．
解析：＝＋＝－＝－
＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．
答案：(b－a)
9．化简：
(1)－＋－；
(2) ＋＋－.
解：(1) －＋－
＝(＋)－(＋)
＝－＝0.
(2) ＋＋－＝(＋)＋(－)
＝＋＝0.
10．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.
解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.
层级二 应试能力达标
1．平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C
∵|m|＝|n|，＋＝－，－＝＋，
∴|－|＝|＋|，如图．
即?ABCD的对角线相等，
∴?ABCD是矩形，∴∠B＝90°，选C.
2．如图所示向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
解析：选A ∵＝－3，
∴＝－2＝2.
∴r＝＝＋＋＝＋＋＝＋(－)＝－＝－p＋q.
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝( )
A. B．2
C. D．2
解析：选B 如图，设菱形对角线交点为O，
∵＋＝＋＝，
∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
又∵AB＝2，
∴OB＝1.在Rt△AOB中，
||＝＝，
∴||＝2||＝2.
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：选D ∵＝－，∴＋＋＝－，即2＋＝0，即＝2，故＝，
∴P是AC边的一个三等分点．
5.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．
解析：＝＝＝－＝b－c.
答案：b－c
6．对于向量a，b，当且仅当_______________________________________________时，有|a－b|＝||a|－|b||.
解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.
答案：a与b同向
7.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：
(1) ；(2) ；(3) ＋＋.
解：(1) ＝－＝c－a.
(2) ＝＋＝－＋＝－a＋d.
(3) ＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
8.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c.(2)a－b＋c.
解：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，使||＝||.则a＋b＋c＝，且||＝2.所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝，
且| |＝2，所以|a－b＋c|＝2.
课件23张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十五)”
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课时跟踪检测（十五） 向量的减法 数乘向量
层级一 学业水平达标
1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝( )
A．5e B．－5e
C．23e D．－23e
解析：选C 2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.
2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：选B |－|＝|＋|＝| |＝1.
3．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
解析：选C ＝－.根据三角形法则，
当，共线且同向时，||＝3；
当，共线且反向时，||＝13；
当，不共线时，3＜||＜13.
故||∈[3,13]．
4．已知一点O到?ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b－c D．a－b－c
解析：选B 如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.
5．下列各式能化简为的个数是( )
①(－)－
②－(＋)
③－(＋)－(＋)
④－－＋
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①中，(－)－＝＋＋＝＋＝；
②中，－(＋)＝－0＝；
③中，－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝；
④中，－－＋＝＋＋＝＋2.
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝______.
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.
答案：0 2
8.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b)表示．
解析：＝＋＝－＝－
＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．
答案：(b－a)
9．化简：
(1)－＋－；
(2) ＋＋－.
解：(1) －＋－
＝(＋)－(＋)
＝－＝0.
(2) ＋＋－＝(＋)＋(－)
＝＋＝0.
10．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.
解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.
层级二 应试能力达标
1．平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C ∵|m|＝|n|，＋＝－，－＝＋，
∴|－|＝|＋|，如图．
即?ABCD的对角线相等，
∴?ABCD是矩形，∴∠B＝90°，选C.
2．如图所示向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
解析：选A ∵＝－3，
∴＝－2＝2.
∴r＝＝＋＋＝＋＋
＝＋(－)＝－
＝－p＋q.
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝( )
A. B．2
C. D．2
解析：选B 如图，设菱形对角线交点为O，
∵＋＝＋＝，
∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
又∵AB＝2，
∴OB＝1.在Rt△AOB中，
||＝＝，
∴||＝2||＝2.
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：选D ∵＝－，∴＋＋＝－，
即2＋＝0，即＝2，故＝，
∴P是AC边的一个三等分点．
5.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．
解析：＝＝＝－＝b－c.
答案：b－c
6．对于向量a，b，当且仅当___________时，有|a－b|＝||a|－|b||.
解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.
答案：a与b同向
7.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：
(1) ；(2) ；(3) ＋＋.
解：(1) ＝－＝c－a.
(2) ＝＋＝－＋＝－a＋d.
(3) ＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
8.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c.(2)a－b＋c.
解：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，
所以延长AC到E，使||＝||.则a＋b＋c＝，且||＝2.
所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝，
且| |＝2，所以|a－b＋c|＝2.
