2．1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
预习课本P90～93，思考并完成以下问题
(1)平行向量基本定理是怎样表述的？
(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？
(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？
1．平行向量基本定理
(1)平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.
(2)单位向量．
给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝.
[点睛] 对定理两个方面的说明
(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.
(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．
2．轴上向量的坐标及其运算
(1)轴上向量的坐标
名称
定义
轴
规定了方向和长度单位的直线叫做轴
轴的
基向量
取单位向量，且其方向与轴同方向，则该单位向量为轴的基向量
a在轴l
上的坐标
如果a＝xe, 则x叫做向量a在轴l上的坐标
(2)轴上向量的坐标运算
法则(或公式)
文字语言
符号语言
轴上两个向量相等的法则
轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等
设a＝x1e，b＝x2e，
则a＝b?x1＝x2
轴上求两个向量的和的法则
轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和
设a＝x1e，b＝x2e，
则a＋b＝(x1＋x2)e
轴上向量的坐标公式
轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标
AB＝x2－x1
|AB|＝|x2－x1|
[点睛] 是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示的坐标，它是一个实数．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．( )
(2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．( )
(3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立．
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则( )
A．AB＝－3 B．BC＝3
C．＝6 D．＝3
答案：B
3．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
答案：C
4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标xB＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．
答案：0
轴上向量的坐标运算
[典例] 已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.
(1)x2＝－5，BA＝－3；
(2)x2＝－1，|AB|＝2.
[解] (1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.
(2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.
轴上向量的坐标及长度计算的方法
(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．
(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．
[活学活用]
已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求，，的坐标和长度．
解：AB＝(－3)－(－8)＝5，||＝|5|＝5；
BC＝7－(－3)＝10，||＝|10|＝10；
CA＝(－8)－7＝－15，||＝|－15|＝15.
共线向量定理的应用
题点一：判断或证明点共线
1．已知两个非零向量a与b不共线，＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．
证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
题点二：利用向量共线确定参数
2．设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？
解：d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，
要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.
由得λ＝－2μ.
故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ.
题点三：几何图形形状的判定
3．如图所示，正三角形ABC的边长为15，＝＋，＝＋AC.
求证：四边形APQB为梯形．
证明：因为＝＋＋＝－－＋＋＋＝，所以∥.
又||＝15，所以||＝13，故||≠||，于是四边形APQB为梯形．
用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
层级一 学业水平达标
1．已知数轴上两点M，N，且|MN|＝4.若xM＝－3，则xN等于( )
A．1 B．2
C．－7 D．1或－7
解析：选D |MN|＝|xN－(－3)|＝4，
∴xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.
2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，则( )
A．＝ B．＝2
C．＝3 D．2＝
解析：选A ∵在△ABC中，D为边BC的中点，∴＋＝2，∴2(＋)＝0，即＋＝0，从而＝.
3．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在直线AB外
解析：选C ∵＝2－，∴－＝－，
∴＝，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选C.
4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意可得＝－＝＋－＝(－)＝，又＝t，∴t＝.
5．设e1，e2不共线，b＝e1＋λe2与a＝2e1－e2共线，则实数λ的值为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选B 设a＝kb(k∈R)，
则2e1－e2＝ke1＋kλe2.
∵e1，e2不共线，∴∴λ＝－.
6．在数轴x上，已知＝－3e(e为x轴上的单位向量)，且点B的坐标为3，则向量的坐标为________．
解析：由＝－3e，得点A的坐标为－3，
则AB＝3－(－3)＝6，即的坐标为6.
答案：6
7．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.故填①②③.
答案：①②③
8．已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，则点N的坐标为________．
解析：设点M，N的坐标分别为x1，x2，∵点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，∴解得故点N的坐标为11.
答案：11
9．已知数轴上A，B，C三点．
(1)若AB＝2，BC＝3，求向量AC―→的坐标；
(2)若AB＝BC，求证：B是AC的中点．
解：(1)AC＝AB＋BC＝5，即向量AC―→的坐标为5.
(2)∵AB＝BC，∴b－a＝c－b，
∴b＝，故B是AC的中点．
10．已知：在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．
证明：如图所示．
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.
∴与共线，且||＝2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
层级二 应试能力达标
1．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
解析：选B ＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，由于与有公共点B，因此A，B，D三点共线．
2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：选A 由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.
3．已知向量a，b不共线，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )
A．λ1＝λ2＝1 B．λ1＝λ2＝－1
C．λ1λ2＝1 D．λ1＋λ2＝1
解析：选C ∵A，B，C三点共线，∴＝k (k≠0)．
∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b.
又∵a，b不共线，
∴∴λ1λ2＝1.
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ的值为( )
A．2 B.
C．3 D．6
解析：选C 如图，取BC的中点为D，
则＋＝2.
又＋＋＝0，
∴2＝－，∴A、P、D三点共线且||＝2||，
∴＝ .
又∵＋＝2，∴＋＝3，即λ＝3.
5．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因为a与b不共线，所以
解得m＝－1或m＝3.
答案：－1或3
6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝______.
解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.
∴解得或
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，
∴λ＝－，k＝－4.
答案：－4
7．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.
(1)若AC＝5，求c的值；
(2)若|BD|＝6，求d的值；
(3)若＝－3，求证：3＝－4.
解：(1)∵AC＝5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1.
(2)∵|BD|＝6，∴|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
∴d＝4或d＝－8.
(3)证明：∵＝c＋4，＝d＋4，
又＝－3，∴c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16.
3＝3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48，
－4＝－4c－16＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48，
∴3＝－4.
8.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量 ，；
(2)若＝λ，求λ的值．
解：(1)由A是BC的中点，则有＝(＋)，
从而＝2－＝2a－b.
由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得＝，
从而＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由于C，E，D三点共线，则＝μ，
又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－b，
从而(2－λ)a－b＝μ，
又a，b不共线，则解得λ＝.
课件19张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十六)”
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课时跟踪检测（十六） 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
层级一 学业水平达标
1．已知数轴上两点M，N，且|MN|＝4.若xM＝－3，则xN等于( )
A．1 B．2
C．－7 D．1或－7
解析：选D |MN|＝|xN－(－3)|＝4，
∴xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.
2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，则( )
A．＝ B．＝2
C．＝3 D．2＝
解析：选A ∵在△ABC中，D为边BC的中点，
∴＋＝2，∴2(＋)＝0，
即＋＝0，从而＝.
3．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在直线AB外
解析：选C ∵＝2－，∴－＝－，
∴＝，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选C.
4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 由题意可得＝－＝＋－＝(－)＝ ，又＝t，∴t＝.
5．设e1，e2不共线，b＝e1＋λe2与a＝2e1－e2共线，则实数λ的值为( )
A． B．－
C．1 D．－1
解析：选B 设a＝kb(k∈R)，
则2e1－e2＝ke1＋kλe2.
∵e1，e2不共线，∴∴λ＝－.
6．在数轴x上，已知＝－3e(e为x轴上的单位向量)，且点B的坐标为3，则向量的坐标为________．
解析：由＝－3e，得点A的坐标为－3，
则AB＝3－(－3)＝6，即的坐标为6.
答案：6
7．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析：①中，a＝－b；
②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；
③中，a＝4e1－e2＝4＝4b；
④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.
故填①②③.
答案：①②③
8．已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，则点N的坐标为________．
解析：设点M，N的坐标分别为x1，x2，
∵点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，
∴解得故点N的坐标为11.
答案：11
9．已知数轴上A，B，C三点．
(1)若AB＝2，BC＝3，求向量的坐标；
(2)若AB＝BC，求证：B是AC的中点．
解：(1)AC＝AB＋BC＝5，即向量的坐标为5.
(2)∵AB＝BC，∴b－a＝c－b，
∴b＝，故B是AC的中点．
10．已知：在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．
证明：如图所示．
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.
∴与共线，且||＝2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
层级二 应试能力达标
1．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
解析：选B ＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，由于与有公共点B，因此A，B，D三点共线．
2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：选A 由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，
∴＝＋＝＋＝a＋b.
3．已知向量a，b不共线，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )
A．λ1＝λ2＝1 B．λ1＝λ2＝－1
C．λ1λ2＝1 D．λ1＋λ2＝1
解析：选C ∵A，B，C三点共线，∴＝k (k≠0)．
∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b.
又∵a，b不共线，
∴∴λ1λ2＝1.
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ的值为( )
A．2 B.
C．3 D．6
解析：选C 如图，取BC的中点为D，
则＋＝2.
又＋＋＝0，
∴2＝－，∴A、P、D三点共线且||＝2||，
∴＝ .
又∵＋＝2，∴＋＝3，即λ＝3.
5．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，
所以存在实数λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，
即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，
因为a与b不共线，所以
解得m＝－1或m＝3.
答案：－1或3
6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝______.
解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.
∴解得或
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，
∴λ＝－，k＝－4.
答案：－4
7．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.
(1)若AC＝5，求c的值；
(2)若|BD|＝6，求d的值；
(3)若＝－3，求证：3＝－4.
解：(1)∵AC＝5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1.
(2)∵|BD|＝6，∴|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
∴d＝4或d＝－8.
(3)证明：∵＝c＋4，＝d＋4，
又＝－3，∴c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16.
3＝3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48，
－4＝－4c－16＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48，
∴3＝－4.
8.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量 ，；
(2)若＝λ，求λ的值．
解：(1)由A是BC的中点，则有＝(＋)，
从而＝2－＝2a－b.
由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得＝，
从而＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由于C，E，D三点共线，则＝μ，
又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－b，
从而(2－λ)a－b＝μ，
又a，b不共线，则解得λ＝.
