2．2.1 平面向量基本定理
预习课本P96～98，思考并完成以下问题
(1)平面向量基本定理的内容是什么？
(2)如何定义平面向量基底？
(3)直线的向量参数方程式是什么？
1．平面向量基本定理
(1)定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
(2)基底
把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．
[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．
2．直线的向量参数方程式
已知A，B是直线l上的任意两点，O是l外一点(如图所示)，则对于直线l上任意一点P，存在唯一实数t，使＝(1－t) ＋t ；反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应．向量等式＝(1－t) ＋t 叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．当t＝时，＝(＋)，此时P点为线段AB的中点，这是线段AB中点的向量表达式．
[点睛] 直线的向量参数方程式中，其，的系数和为1.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量都可以作为基底．( )
(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( )
(3)零向量不可以作为基底中的向量．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为( )
A．e1＋e2 B．－2e1＋e2
C．2e1－e2 D．2e1＋e2
答案：B
3．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．e1，e2 B．e1＋e2,3e1＋3e2
C．e1,5e2 D．e1，e1＋e2
答案：B
4．设e1，e2为两个不共线的向量，若点O是?ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝________.
解析：3e2－2e1＝(6e2－4e1)
＝(－)＝(－)
＝＝.
答案： (答案不唯一)
用基底表示向量
[典例] 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.
[解] 法一：由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b，
法二：设＝x，＝y，则＝＝y，
又则
所以x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
[活学活用]
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以a，b为基底表示，，.
解：∵AD∥BC，且AD＝BC，
∴＝＝b.
∵E为AD的中点，
∴＝＝＝b.
∵＝，
∴＝b，
∴＝＋＋
＝－b－a＋b＝b－a，
＝＋＝－b＋b－a＝b－a，
＝＋＝－(＋)
＝－(＋)＝－
＝a－b.
直线的向量参数方程式的应用
[典例] 已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有＝3λ＋(1－3λ) (λ∈R，点O为直线AB外的一点)，则点C的轨迹是什么图形？简单说明理由．
[解] 法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R，结合直线的向量参数方程式可知点C的轨迹是直线AB.
法二：将已知向量等式两边同时减去，得
－＝(3λ－1) ＋(1－3λ)
＝(1－3λ)( －)
＝(1－3λ) ，
即＝(1－3λ) ，λ∈R，
∴A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB.
直线的向量参数方程式的两方面应用
(1)若A，B，C三点共线，则有＝x＋y，且x＋y＝1；
(2)若＝x＋y，且x＋y＝1，则有A，B，C三点共线．
[活学活用]
在△ABC中，D为AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
解析：法一：∵＝2，
∴＝＝(－)．
∵在△ACD中，＝＋＝＋(－)＝＋，
∴λ＝.
法二：∵＝2，∴A，B，D三点共线，
又∵C在直线AB外，则＋λ＝1，∴λ＝.
答案：
平面向量基本定理的应用
[典例] 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
[解] 设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ
＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得
解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示，
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则＝，
＝＋＝＋＝b＋(―－)
＝b＋a－b＝b＋a.
2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.
解：
如图，设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ
＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得
解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
层级一 学业水平达标
1．已知平行四边形ABCD中，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t＋(t－1)，则t＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．任意实数
解析：选B ，，共始点，且P，A，C三点共线，所以t＋t－1＝1，故t＝1，故选B.
2．设点O是?ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
①与；②与；③与；④―与.
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在?ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底．
3．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示＝( )
A.(a－b) B.(a＋b)
C.(b－a) D.b＋a
解析：选B 如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝，即－＝－，从而＝(＋)＝(a＋b)．
4．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A.(e1＋e2) B.(e1－e2)
C.(2e2－e1) D.(e2－e1)
解析：选A 因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.
5．(全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为______．
解析：∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴解得∴x－y＝3.
答案：3
7．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝______.
解析：由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或.
答案：－2或
8．已知O为△ABC内一点，且＋＝2，且λ＝，若B，O，D三点共线，则实数λ的值为________．
解析：设点E为边BC的中点，则(＋)＝，由题意，得＝，所以＝＝(＋)＝＋，因此若B，O，D三点共线，则＋＝1，即λ＝3.
答案：3
9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解：＝－
＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
10.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ (λ>0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，试求实数λ，μ的值．
解：依题意得＝b－a，＝a＋b，
且＝＝(a－b)＝a－b，
＝＋＝＝(a＋b)，
∴＝＋＝b＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b＋＝
a＋b，
即＝(a＋b)＝a＋b，
由平面向量基本定理，得
解得
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为( )
A.(a＋b) B.a＋b
C.a＋b D.(a＋b)
解析：选C ∵＝2，∴＝.
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
2．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则( )
A．＝－＋ B．＝－
C．＝－ D．＝－＋
解析：选D 依题意，得＝－＝－＝×(＋)－＝－＋.故选D.
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( )
A．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，则λ1＝λ2＝0
B．平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R
D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析：选B A中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B符合平面向量基本定理；C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D中，λ1，λ2有且只有一对．
4．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ (λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A 由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ) －λ.又2＝x＋y，
∴消去λ得x＋y＝2.
5．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由解得
故e1＋e2＝＋
＝a＋b.
答案： －
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
解析：因为＝＋＝＋EB＝＋＋，所以＝＋，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.
答案：
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比．
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：
(1)如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，
令＝λ ?＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ?λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y?＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线??
课件27张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十七)”
(单击进入电子文档)
课时跟踪检测（十七） 平面向量基本定理
层级一 学业水平达标
1．已知平行四边形ABCD中，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t＋(t－1)，则t＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．任意实数
解析：选B ，，共始点，且P，A，C三点共线，
所以t＋t－1＝1，故t＝1，故选B.
2．设点O是?ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
①与；②与；③与；④―与.
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在?ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底．
3．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示＝( )
A．(a－b) B．(a＋b)
C．(b－a) D．b＋a
解析：选B 如图，AD是△ABC的中线，
则D为线段BC的中点，从而＝，
即－＝－，
从而＝(＋)＝(a＋b)．
4．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A．(e1＋e2) B．(e1－e2)
C．(2e2－e1) D．(e2－e1)
解析：选A 因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，
所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.
5．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝ －＋.
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为______．
解析：∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴解得∴x－y＝3.
答案：3
7．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数 k＝______.
解析：由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或 .
答案：－2或
8．已知O为△ABC内一点，且＋＝2，且λ＝，若B，O，D三点共线，则实数λ的值为________．
解析：设点E为边BC的中点，则(＋)＝，
由题意，得＝，
所以＝＝(＋)＝＋，
因此若B，O，D三点共线，则＋＝1，即λ＝3.
答案：3
9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
10.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ (λ>0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，试求实数λ，μ的值．
解：依题意得＝b－a，＝a＋b，
且＝＝(a－b)＝a－b，
＝＋＝＝(a＋b)，
∴＝＋＝b＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b＋＝a＋b，
即＝(a＋b)＝a＋b，
由平面向量基本定理，得解得
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为( )
A.(a＋b) B.a＋b
C.a＋b D.(a＋b)
解析：选C ∵＝2，∴＝.
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
2．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则( )
A．＝－＋ B．＝－
C．＝－ D．＝－＋
解析：选D 依题意，得＝－＝－＝×(＋)－＝－＋.故选D.
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( )
A．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，则λ1＝λ2＝0
B．平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R
D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析：选B A中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；
B符合平面向量基本定理；
C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；
D中，λ1，λ2有且只有一对．
4．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ (λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A 由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ) －λ.又2＝x＋y，
∴消去λ得x＋y＝2.
5．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝______a＋_______b.
解析：由解得
故e1＋e2＝＋＝a＋b.
答案： －
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
解析：因为＝＋＝＋EB＝＋＋，
所以＝＋，
所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.
答案：
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比．
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，
令＝λ ?＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ?λ＝，
所以＝，即面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y?＝x＋，＝＋y，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线??
