2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
预习课本P99～102，思考并完成以下问题
(1)两个向量垂直如何定义？
(2)一个向量如何正交分解？
(3)向量的直角坐标定义是什么？
(4)如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？
1．两个向量的垂直与正交分解
如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．
如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．
2．向量的平面直角坐标的定义
(1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．
(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)，
其中a1叫做向量a在 x轴上的坐标分量，a2叫做a在 y轴上的坐标分量．
3．向量的坐标表示
若＝xe1＋ye2＝(x，y)，则的坐标(x，y)?点A的坐标(x，y)．
4．向量的直角坐标运算
(1)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(_λa1，λa2)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)；线段AB中点公式
[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．( )
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( )
(4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是( )
A．(5,3) B．(4,3) C．(8,3) D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2)
答案：A
4．若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量＝______.
答案：(－1，－4)
平面向量的坐标表示
[典例] 如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得
x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，∴B.
x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
∴D.
∴＝，＝.
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
[活学活用]
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，
y＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)．
(2) ＝(2，6)－(，－1)＝(，7).
平面向量的坐标运算
[典例] (1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
[解析] (1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案] (11,13) (－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[活学活用]
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
解析：选A ∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点坐标为______．
解析：法一：设P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)，
∴＝＝(－8,1)＝，
∴∴
法二：由＝知，
P为MN的中点，
由中点坐标公式得
P点坐标为.
答案：
向量坐标运算的综合应用
[典例] 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
[解] 因为＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－.
[一题多变]
1．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
则解得t＝2.
2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则＝，
所以
该方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．
向量中含参数问题的求解
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
层级一 学业水平达标
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
解析：选C 记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A，B，又λ＝，则λa等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵a＝＝－＝，
∴λa＝a＝.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
解析：选A b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(2,4) B．(3,5)
C．(1,1) D．(－1，－1)
解析：选C ＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为( )
A．(－14,16) B．(22，－11)
C．(6,1) D．(2,4)
解析：选D 设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得所以
6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，
则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，
y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，
即A(－3，3)，所以＝(－3，3)．
答案：(－3，3)
9．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，
则＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴?
即A点坐标为(8，－10)．
10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求点M，N的坐标．
解：法一：∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，
＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)．
∵＝3，＝2，
∴＝3(1,8)＝(3,24)，＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，
＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，
∴
解得
∴M(0,20)，N(9,2)．
法二：设O点为坐标原点，则由＝3，＝2，
可得－＝3(－)，－＝2(－)，
∴＝3－2，＝2－.
∴＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)，
＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)．
∴M(0,20)，N(9,2)．
层级二 应试能力达标
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
解析：选D ＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A. B.
C．(3,2) D．(1,3)
解析：选A 设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故解得即点D，故选A.
4．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
解析：选D ∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴解得
∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论有________个．
解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝λ＋ (λ∈R)，则λ＝ ________.
解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
答案：
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中点，
∴＝(＋)＝(－4－3，－3－5)
＝(－7，－8)＝.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．
∴＝－＝－＝－＝.
8．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐标．
(2)若＝m＋n (m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以解得
所以点P的坐标为(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，
所以m－n＝1.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十八)”
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