2．3.1 & 2.3.2 向量数量积的物理背景与定义 向量数量积的运算律
预习课本P107～111，思考并完成以下问题
(1)两向量的夹角是如何定义？
(2)向量在轴上的正射影定义是什么？
(3)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
(4)向量数量积的性质有哪些？
(5)向量数量积的运算律有哪些？
1．向量的夹角与正射影
(1)向量的夹角.
定义
已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉
范围
0≤〈a，b〉≤π
垂直
当〈a，b〉＝时，我们说a与b垂直，记作a⊥b
规定
零向量与任意向量垂直
[点睛] 当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.
(2)向量在轴上的正射影．
已知向量a和轴l，如图．
①正射影的概念：作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量 叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)．
②正射影的数量：该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量．＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.
[点睛] 向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其数值可正、可负、可为零；当θ为锐角时，该数量为正值；当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；当θ＝0°时，该数量为|b|；当θ＝180°时，该数量为－|b|.
2．平面向量数量积(内积)的定义及性质
(1)定义：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.
[点睛] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
(2)性质．
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos〈a，e〉．
②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b?a·b＝0.(a，b均不为零向量)
③a·a＝|a|2，即|a|＝.
④cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
⑤对任意两个向量a，b有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．
[点睛] 对于性质②，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．( )
(2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.( )
(3)若a，b反向，则a·b＝－|a||b|.( )
(4)若a·b＝0，则a⊥b.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为( )
A．60° B．30° C．120° D．150°
答案：B
3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为( )
A．60° B．120° C．135° D．150°
答案：B
4．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)若θ＝135°，则a·b＝________；
(2)若a∥b，则a·b＝________；
(3)若a⊥b，则a·b＝________.
答案：(1)－3 (2)6或－6 (3)0
向量数量积的运算
[典例] (1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b; ②(a＋b)·(a－2b)．
(2)如图，正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
[活学活用]
1．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝－6.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－3×42＝－60.
2．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1) ·
(2) 在方向上的正射影的数量．
解：因为||＝5，||＝4，||＝3，所以△ABC为直角三角形，且C＝90°.所以cos A＝＝，cos B＝＝.
(1) ·＝－·＝－5×4×＝－16.
(2)| |·cos〈，〉＝＝＝.
与向量的模有关的问题
[典例] (1)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
[解析] (1)令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos θ＝cos θ＝.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1，
从而|b|＝＝.
(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.
[答案] (1) (2)3
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
[活学活用]
已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|；
(3)|(a＋b)·(a－2b)|.
解：由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12，
∴|a＋b|＝2.
(2)∵|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(3)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2
＝16－(－4)－2×4＝12，
∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
两个向量的夹角和垂直
题点一：求两向量的夹角
1．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.
题点二：证明两向量垂直
2．已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．
证明：∵|a＋tb|＝＝＝，
∴当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值．
此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2＝a·b－a·b＝0.∴b⊥(a＋tb)．
题点三：利用夹角和垂直求参数
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为( )
A．－ B.
C．± D．1
解析：选B ∵3a＋2b与ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝.
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
层级一 学业水平达标
1．已知?ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选D 如图，与的夹角为∠ABC＝150°.
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B ∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝( )
A．37 B．13
C. D.
解析：选C |a＋b|＝＝
＝＝.
5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：选B ∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e＝－6＋7×cos 60°－2＝－.
答案：－
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos 60°＝，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝，
且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的正射影的数量为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的正射影的数量为|a|cos θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1.
∴cos θ＝－，
∴θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
层级二 应试能力达标
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为，则向量m＝a－4b的模为( )
A．2 B．2
C．6 D．12
解析：选B |m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×＋16＝12，所以|m|＝2.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：选D 法一：因为cos A＝，故·＝||·||cos A＝||2＝16，故选D.
法二：在 上的投影为||cos A＝||，故·＝||||cos A＝||2＝16，故选D.
3．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 易知四边形EFGH为平行四边形，连接HF，取HF的中点为O，
则·＝·＝(－)·(＋)
＝2－2＝1－2＝，
·＝·＝2－2＝1－2＝，
因此·＋·＝.
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作＝＝a，
＝b，则＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的正射影的数量等于________．
解析：·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的正射影的数量是|b|cos 45°＝×＝1.
答案： 1
7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，
即|a|2－|b|2＝.
又|a|＝1，
∴|b|＝.
∵a·b＝，
∴|a|·|b|cos θ＝，
∴cos θ＝，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，
∴|a－b|＝.
8．设向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简即得2t2＋15t＋7<0，
画出2t2＋15t＋7＝0的图象，如图．
若2t2＋15t＋7<0，
则t∈.
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
但此时夹角不是钝角，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，可得
?
∴所求实数t的取值范围是
∪.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十)”
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课时跟踪检测（二十） 向量数量积的物理背景与定义 向量数量积的运算律
层级一 学业水平达标
1．已知?ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选D 如图，与的夹角为∠ABC＝150°.
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
解析：选C 由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，
又0≤θ≤π，所以θ＝.
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B ∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝( )
A．37 B．13
C． D．
解析：选C |a＋b|＝＝
＝＝.
5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：选B ∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，
即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e＝－6＋7×cos 60°－2＝－.
答案：－
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos 60°＝，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝，
且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的正射影的数量为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的正射影的数量为|a|cos θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1.
∴cos θ＝－，
∴θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
层级二 应试能力达标
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为，则向量m＝a－4b的模为( )
A．2 B．2
C．6 D．12
解析：选B |m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×＋16＝12，
所以|m|＝2.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：选D 法一：因为cos A＝，故·＝||·||cos A＝||2＝16，故选D.
法二：在 上的投影为||cos A＝||，故·＝||||cos A＝||2＝16，故选D.
3．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，
由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，
设向量a－b与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－＝－，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 易知四边形EFGH为平行四边形，连接HF，取HF的中点为O，
则·＝·＝(－)·(＋)
＝2－2＝1－2＝，
·＝·＝2－2＝1－2＝，
因此·＋·＝.
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作＝＝a，
＝b，则＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________； b在a方向上的正射影的数量等于________．
解析：·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，
即3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝(舍负)，
b在a方向上的正射影的数量是|b|cos 45°＝×＝1.
答案： 1
7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝.
又|a|＝1，∴|b|＝.
∵a·b＝，∴|a|·|b|cos θ＝，
∴cos θ＝，∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，
∴|a－b|＝.
8．设向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简即得2t2＋15t＋7<0，
画出2t2＋15t＋7＝0的图象，如图．
若2t2＋15t＋7<0，
则t∈.
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
但此时夹角不是钝角，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
可得?
∴所求实数t的取值范围是∪.
