2．4.1 & 2.4.2 向量在几何中的应用 向量在物理上的应用
(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
(2)如何用向量方法解决物理问题？
(3)如何判断多边形的形状？
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在解析几何中的应用
设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)．若向量a平行于直线l，则k＝tan α＝；若直线的斜率为k＝，则向量a平行于直线l.
3．向量在物理中的应用
(1)力向量．
力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．
(2)速度向量．
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．
1．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5) B．(4，－1)
C．2 D．5
答案：D
2．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是( )
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
答案：C
3．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________．
答案：－11
4．经过点A(－1,2)，且平行于向量a＝(3,2)的直线方程是________．
答案：2x－3y＋8＝0
向量在平面几何中的应用
题点一：平面几何中的垂直问题
1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，
＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
题点二：平面几何中的平行(或共线)问题
2.如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上．
证明：设＝m，＝n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋
＝(m＋n)－m＝m＋n.
∴＝.
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
题点三：平面几何中的长度问题
3.如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝.
用向量方法解决平面几何问题的步骤
向量在解析几何中的应用
[典例] 已知A(－1,2)，直线l：4x－3y＋9＝0.求：
(1)过点A且与直线l平行的直线方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线方程．
[解] 直线l的斜率k＝，向量u＝与直线l平行．
(1)设P是过点A且与l平行的直线上的一动点，P的坐标是(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，
当且仅当u∥，即1×(y－2)－×(x＋1)＝0时，所求直线与直线l平行．
整理得4x－3y＋10＝0，
这就是所求的过点A且与直线l平行的直线方程．
(2)设Q(x，y)为一动点，则＝(x＋1，y－2)，设点Q在过点A且垂直于l的直线上，则u·＝0，即1×(x＋1)＋×(y－2)＝0，整理得3x＋4y－5＝0，
这就是所求的过点A且与直线l垂直的直线方程．
利用方向向量及法向量求直线方程的关键
(1)关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系．
(2)常用结论如下：
①所求直线与已知直线平行，则和已知直线的方向向量平行，和已知直线的法向量垂直．
②所求直线与已知直线垂直，则和已知直线的方向向量垂直，和已知直线的法向量平行．
[活学活用]
过点P(6，)的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，若＝，求直线l的方程．
解：设A(a,0)，B(0，b)，则＝(6－a，)，＝(－6，b－)，由＝，得
所以从而直线l的斜率为k＝－，
所以直线l的方程是y－＝－(x－6)，
即x＋3y－9＝0.
向量在物理中的应用
[典例] (1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
(2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．
[解] (1)如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.
∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
[一题多变]
1．[变设问]本例(2)条件不变，求F1，F2的合力F为质点所做的功．
解：W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．
2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：F1，F2分别对该质点做的功．
解：＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
F1做的功W1＝F1·s＝F1·＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)．
F2做的功W2＝F2·s＝F2·＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)．
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
层级一 学业水平达标
1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：选D 由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
3．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
解析：选A ∵＝，＝(3,4)，
∴＝，∴∥，即AB∥DC.
又||＝ ＝，||＝＝5，
∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形．
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ∵＝－＝－，
∴＝2＝－·＋，
即＝1.∴||＝2，即AC＝2.
5．已知△ABC满足＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
解析：选C 由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，
∴·＝0，∴⊥，
∴△ABC是直角三角形．
6．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则P点的轨迹方程为________．
解析：由题意知，·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，故P点的轨迹方程为x＋2y＝4.
答案：x＋2y＝4
7．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.
解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案：10
8．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析：由弦长|AB|＝，
可知∠ACB＝60°，
·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.
答案：－
9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明：如图，以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，
D，C(0,0)，E.
所以＝，
＝.
所以·＝－a·a＋·a＝0，
所以⊥，即AD⊥CE.
10．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．
解：(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，
设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.
又＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF的方程为x＋5y＋8＝0，
直线FD的方程为x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，
则⊥.
∴·＝0.又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
层级二 应试能力达标
1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：选B 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，
则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，
∴v2＝v－v1，v·v1＝0，
∴|v2|＝＝2(m/s)．
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝，则·的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C 因为＝，
所以点D是BC的中点，
则＝(＋)，＝＝(－)，
所以·＝(＋)·(－)＝(－)＝(22－32)＝－，选C.
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是( )
A. B．2
C．0 D．1
解析：选A ∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||＝，∴||＝1，||＝－1，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.
4.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设AB的中点是D.
∵＋＝2＝－，
∴＝－，
∴P为CD的五等分点，
∴△ABP的面积为△ABC的面积的.
5．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为________．
解析：(－)·(＋－2)
＝(－)·(－＋－)
＝(－)·(＋)
＝||2－||2＝0，
∴||＝||.
答案：等腰三角形
6.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝9.8 m/s2)．
解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，
则支持力对物体m所做的功为
W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；
重力对物体m所做的功为
W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
答案：0 98
7．在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
解：设v1为风速，v为有风时飞机的航行速度，v2为无风时飞机的航行速度，v2＝v－v1.
如图所示，∵v2＝v－v1，
∴v2，v，v1构成三角形．
设||＝|v|，||＝|v1|，||＝|v2|，
作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°.
由题意知||＝150，||＝75(－)，
∴||＝||＝||＝75，||＝75.
从而||＝150，∠CAD＝30°.
故|v2|＝150 km/h，方向为西偏北30°.
8.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若＝a，＝b.
(1)试以a，b为基底表示，；
(2)求证：A，G，C三点共线．
解：(1)＝－＝b－a，
＝－＝a－b.
(2)证明：因为D，G，F三点共线，
则＝λ，
即＝＋λ＝λa＋(1－λ)b.
因为B，G，E三点共线，则＝μ，
即＝＋μ＝(1－μ)a＋μb，
由平面向量基本定理知解得λ＝μ＝，
∴＝(a＋b)＝，
所以A，G，C三点共线．
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B ∵＋－＝＋＝.
2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于( )
A．5 B.
C. D．13
解析：选B 因为a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝，故选B.
3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，
∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
4．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线
解析：选B 由题意可知－＝λ(－)，即＝λ，∴A，M，B三点共线．又λ∈(1,2)，∴||>||，∴点B在线段AM上．
5．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B 由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2＋(3k－8)a·b－12b2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
6．设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为( )
A．(2,16) B．(－2，－16)
C．(4,16) D．(2,0)
解析：选A 设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3,1)，＝(1，－4)，
∴2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．
∴∴故选A.
7．某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A．90 ° B．30°
C．45° D．60°
解析：选D 如图，用表示水速，表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.
于是tan∠AOC＝＝＝＝，
∴∠AOC＝60°，故选D.
8．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 ( )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
解析：选A ∵＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋
＝＋＋＋＝－，
∴(＋＋)与平行且方向相反．
9．设a，b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则a＋b＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：选C 若|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，故C正确；选项A：当|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由矩形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得b＝λa，a，b可为同向的共线向量，此时显然 |a＋b|＝|a|－|b|不成立．
10．已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为( )
A. B．13
C．6 D.
解析：选D ∵＝λ＋，且⊥，∴· ＝(λ＋)·(－)＝2－λ2＋(λ－1)·＝0.∵·＝2×3×(－)＝－3，∴32－λ·22＋(λ－1)×(－3)＝0，解得λ＝.
11.如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，＝p，则p·(b－a)＝( )
A．－ B． C．－ D．
解析：选A 因为在等腰直角三角形AOB中，＝a，＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
由题意，可设＝－(b－a)＋λ·(b＋a)，λ∈R，
所以p·(b－a)＝－(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)＝－(b－a)2＋(|b|2－|a|2)＝－(|a|2＋|b|2－2a·b)＝－(1＋1－0)＝－.
12．已知在等腰三角形AOB中，若|OA|＝|OB|＝5，且|＋|≥||，则·的取值范围是( )
A．[－15,25) B．[－15,15]
C．[0,25) D．[0,15]
解析：选A |＋|≥||＝|－|，
所以|＋|2≥|－|2，
即(＋)2≥(－)2，
所以2＋2·＋2≥(2－2·＋2)，
所以52＋2·＋52≥(52－2·＋52)，
所以·≥－15.
又·≤||||＝5×5＝25，当且仅当＝时取等号，因此上述等号取不到，
所以·∈[－15,25)．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．
解析：(a＋b)(a－2b)＝|a2|－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夹角为.
答案：
14．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
解析：|5a－b|＝＝
＝
＝
＝7.
答案：7
15．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
解析：∵a＋b＝(m＋1,3)，∴|a＋b|2＝|a|2＋|b|2?(m＋1)2＋32＝m2＋6，解得m＝－2.
答案：－2
16.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，＝λ，＝(1－λ)，则·的取值范围是________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,1)，C(1,1)．设Q(m，n)，由＝λ得，(m，n－1)＝λ(1,0)，即m＝λ，n＝1.又B(2,0)，设P(s，t)，由＝(1－λ)得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，－1)，即s＝2－λ，t＝λ，所以·＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．故·∈[0,2]．
答案：[0,2]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．
解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a与b的夹角)．
∵0°<θ<120°，∴－∴|c|的取值范围为(，5)．
18．(本小题满分12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，
(1)用，表示.
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
解：(1)因为2 ＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
2－2＋－＝0，
所以＝2－.
(2)证明：如图，
＝＋＝－＋
＝(2－)．
故＝.即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形．
19．(本小题满分12分)平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量与共线，又＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，
∴＝(1－2y,7－y)．
同理＝－＝(5－2y,1－y)．
于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)，即y＝2时，
有＝(－3,5)，＝(1，－1)，
||＝，||＝，
·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝＝＝－.
20．(本小题满分12分)
如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F使BF＝BC.
(1)以a，b为基底表示向量与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
解：(1)连接AF，由已知得＝＋＝a＋b.
∵＝＋＝a＋b，
∴＝＋＝－b＋＝a－b.
(2)由已知得a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×
＝－6，
从而·＝·
＝|a|2＋a·b－|b|2
＝×32＋×(－6)－×42＝－.
21．(本小题满分12分)已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1.
(1)求向量n的坐标；
(2)设向量a＝(1,0)，向量b＝(cos x，sin x)，其中x∈R，若n·a＝0，试求|n＋b|的取值范围．
解：(1)设n＝(x，y)，
则
解得或
∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
(2)∵a＝(1,0)，n·a＝0，∴n＝(0，－1)，
n＋b＝(cos x，sin x－1)．
∴|n＋b|＝＝＝.
∵－1≤sin x≤1，∴0≤|n＋b|≤2.
故|n＋b|的取值范围为[0,2]．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈.
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.
解：(1)因为＝(n－8，t)，且⊥a，
所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.
又||＝||，
所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8.
所以＝(24,8)或(－8，－8)．
(2)因为＝(ksin θ－8，t)，与a共线，
所以t＝－2ksin θ＋16.
又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ
＝－2k2＋，
当k>4时，1>>0，
所以当sin θ＝时，tsin θ取得最大值；
由＝4，得k＝8，此时θ＝，故＝(4,8)，
所以·＝8×4＋8×0＝32.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十二)”
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课时跟踪检测（二十二） 向量在几何中的应用?向量在物理上的应用
层级一 学业水平达标
1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：选D 由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
3．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
解析：选A ∵＝，＝(3,4)，
∴＝，∴∥，即AB∥DC.
又||＝ ＝，||＝＝5，
∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形．
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ∵＝－＝－，
∴＝2＝－·＋，
即＝1.∴||＝2，即AC＝2.
5．已知△ABC满足＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
解析：选C 由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，
∴·＝0，∴⊥，
∴△ABC是直角三角形．
6．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则P点的轨迹方程为________．
解析：由题意知，·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，故P点的轨迹方程为x＋2y＝4.
答案：x＋2y＝4
7．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.
解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
则||＝||＝10，
即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案：10
8．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析：由弦长|AB|＝，
可知∠ACB＝60°，
·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.
答案：－
9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明：如图，以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.
所以＝，＝.
所以·＝－a · a＋ · a＝0，
所以⊥，即AD⊥CE.
10．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．
解：(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，
设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.
又＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF的方程为x＋5y＋8＝0，
直线FD的方程为x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，
则⊥.
∴·＝0.又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
层级二 应试能力达标
1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：选B 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，
则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，
∴v2＝v－v1，v·v1＝0，
∴|v2|＝＝2(m/s)．
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝，则·的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C 因为＝，
所以点D是BC的中点，
则＝(＋)，＝＝(－)，
所以·＝ (＋)· (－)＝(－)＝(22－32)＝－，选C.
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是( )
A． B．2
C．0 D．1
解析：选A ∵＝＋，·
＝·(＋)＝·＋·
＝·＝||＝，
∴||＝1，||＝－1，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·
＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.
4.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A． B．
C． D．
解析：选A 设AB的中点是D.
∵＋＝2＝－，
∴＝－，
∴P为CD的五等分点，
∴△ABP的面积为△ABC的面积的.
5．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为________．
解析：(－)·(＋－2)
＝(－)·(－＋－)
＝(－)·(＋)
＝||2－||2＝0，
∴||＝||.
答案：等腰三角形
6.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝9.8 m/s2)．
解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，
则支持力对物体m所做的功为
W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；
重力对物体m所做的功为
W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
答案：0 98
7．在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
解：设v1为风速，v为有风时飞机的航行速度，v2为无风时飞机的航行速度，v2＝v－v1.
如图所示，∵v2＝v－v1，
∴v2，v，v1构成三角形．
设||＝|v|，||＝|v1|，||＝|v2|，
作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°.
由题意知||＝150，||＝75(－)，
∴||＝||＝||＝75，||＝75.
从而||＝150，∠CAD＝30°.
故|v2|＝150 km/h，方向为西偏北30°.
8.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若＝a，＝b.
(1)试以a，b为基底表示，；
(2)求证：A，G，C三点共线．
解：(1)＝－＝b－a，
＝－＝a－b.
(2)证明：因为D，G，F三点共线，
则＝λ，
即＝＋λ＝λa＋(1－λ)b.
因为B，G，E三点共线，则＝μ，
即＝＋μ＝(1－μ)a＋μb，
由平面向量基本定理知解得λ＝μ＝，
所以＝(a＋b)＝，
所以A，G，C三点共线．
