3．1.1 两角和与差的余弦
预习课本P133～134，思考并完成以下问题
(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)，cos(α＋β)?
(2)两角和与差的余弦公式是如何推导的？
两角和与差的余弦公式
名称
公式
简记符号
两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
Cα＋β
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
Cα－β
[点睛] 公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立．( )
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
3．设α∈，若sin α＝，则cos等于( )
A. B.
C．－ D．－
答案：B
4．化简＝________.
答案：
给角求值问题
[典例] 求下列各式的值．
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
(2)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°；
(3)cos 15°＋sin 15°.
[解] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
(2)原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°)＝－sin 17°sin 43°＋sin 73°sin 47°＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°＝cos 60°＝.
(3)∵＝cos 60°，＝sin 60°，
∴cos 15°＋sin 15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
利用公式C(α＋β)，C(α－β)求值的方法技巧
在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．
[活学活用]
计算下列各式的值：
(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°；
(2)coscos θ＋sinsin θ.
解：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°＝cos 75°
＝cos(45°＋30°)
＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝×－×＝.
(2)coscos θ＋sinsin θ
＝cos＝cos＝.
给值求值问题
[典例] (1)已知α∈，β是第三象限角，sin α＝，cos β＝－.求cos(α＋β)的值．
(2)已知cos α＝，cos(α＋β)＝，且α，β均为锐角，求cos β的值．
[解] (1)∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝－＝－ ＝－.
∵β是第三象限角，cos β＝－，
∴sin β＝－＝－ ＝－，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
(2)∵α，β均为锐角，
∴0<α＋β<π，∴sin(α＋β)>0.
由cos α＝，cos(α＋β)＝，
得sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝.
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[活学活用]
1．已知cos θ＝－，θ∈，则cos的值为________．
解析：∵cos θ＝－，θ∈，
∴sin θ＝－
＝－
＝－，
∴cos＝coscos θ－sinsin θ
＝×－×＝－.
答案：－
2．已知sin＝－，且<α<，求cos α的值．
解：∵<α<，∴<α＋<2π，
∴cos>0，∴cos＝ ＝ ＝，
∴cos α＝cos＝coscos＋sinsin ＝×－×＝－.
给值求角问题
[典例] (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.
(2)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________.
[解析] (1)∵α，β均为锐角，
∴cos α＝，cos β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α>sin β，∴0<β<α<，∴0<α－β<.
故α－β＝.
(2)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝.
∵0<β<，∴β＝.
[答案] (1) (2)
[一题多变]
1．[变条件]若本例中(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝________.
解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α∴－<α－β<0，
故α－β＝－.
答案：－
2．[变条件]若本例(2)变为：已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解：由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝ ＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
所以β＝.
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
层级一 学业水平达标
1．cos cos＋sinsin的值为( )
A. B．
C. D．1
解析：选C 原式＝cos＝cos＝.故选C.
2.sin 15°－cos 15°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15°
＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°)
＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－.
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝＝.∵β为第三象限角，且sin β＝－，∴cos β＝－＝－，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.故选A.
4．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，那么|a－b|等于( )
A. B.
C. D．1
解析：选D |a－b|
＝
＝
＝＝1.
5．已知sin α＝，α∈，则cos等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B 由题意可知cos α＝，
cos＝cos＝cos＝cos α cos＋sin α·sin ＝×＋×＝.
6．化简：cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝________.
解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝.
答案：
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝________.
解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， ①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝， ②
由①②得cos αcos β＝，sin αsin β＝－，
∴tan αtan β＝＝＝－.
答案：－
8．已知sin α＝，α∈，则cos的值为________．
解析：∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－ ＝－，
∴cos＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.
答案：
9．已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
解：因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π.
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝.
又因为cos α＝，所以sin α＝.
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
10．若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值．
解：∵x∈，sin x＝，∴cos x＝－.
∴2cos＋2cos x
＝2＋2cos x
＝2＋2cos x
＝sin x＋cos x
＝－＝.
层级二 应试能力达标
1．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B．
C. D．1
解析：选A 由已知得(sin α－sin β)2＝2，①
(cos α－cos β)2＝2，②
①＋②得2－2cos(α－β)＝1－＋＋，
∴cos(α－β)＝.故选A.
2．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为( )
A. B.
C．－ D.
解析：选C ∵α为钝角，且sin＝，
∴cos＝－，
∴cos＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝－.
3．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，∴sin α＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
4．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )
A. B.
C. D.或
解析：选C 因为α，β为钝角，sin α＝，
所以cos α＝－
＝－ ＝－.
由cos β＝－，得
sin β＝＝ ＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×
＝.
又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
5．已知cos α＝，cos(α－β)＝－，<α<2π，<α－β<π ，则cos β＝________.
解析：由条件知sin α＝－，sin(α－β)＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－－＝－1.
答案：－1
6．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，①
－cos γ＝cos α＋cos β，②
①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，
化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－，
即cos(α－β)＝－.
答案：－
7．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.
8．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，
∴0<α－β<.
所以sin α＝ ＝，
cos(α－β)＝ ＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
∴tan＝＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
22．(本小题满分12分)已知向量＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m＝(2,1)，n＝(0，－)，且m⊥(－n)．
(1)求向量；
(2)若cos(β－π)＝，0<β<π，求cos(2α－β)的值．
解：(1)∵＝(cos α，sin α)，
∴－n＝(cos α，sin α＋)．
∵m⊥(－n)，
∴m·(－n)＝0，
∴2cos α＋sin α＋＝0.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sin α＝－，cos α＝－，
∴＝.
(2)∵cos(β－π)＝，
∴cos β＝－.
又0<β<π，
∴sin β＝＝.
又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β
＝×＋×
＝＝.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十三)”
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课时跟踪检测（二十三） 两角和与差的余弦
层级一 学业水平达标
1．cos cos＋sinsin的值为( )
A. B．
C. D．1
解析：选C 原式＝cos＝cos＝.故选C.
2.sin 15°－cos 15°的值是( )
A． B．－
C． D．－
解析：选B 原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15°
＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°)
＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－.
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－
C． D.
解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝＝.
∵β为第三象限角，且sin β＝－，∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.故选A.
4．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，那么|a－b|等于( )
A. B.
C. D．1
解析：选D |a－b|＝
＝
＝＝1.
5．已知sin α＝，α∈，则cos等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B 由题意可知cos α＝，
则cos＝cos＝cos＝cos α cos＋sin α·sin
＝×＋×＝.
6．化简：cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝________.
解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝.
答案：
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝________.
解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝， ①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝， ②
由①②得cos αcos β＝，sin αsin β＝－，
∴tan αtan β＝＝＝－.
答案：－
8．已知sin α＝，α∈，则cos的值为________．
解析：∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－ ＝－，
∴cos＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.
答案：
9．已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
解：因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π.
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝.
又因为cos α＝，所以sin α＝.
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
10．若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值．
解：∵x∈，sin x＝，∴cos x＝－.
∴2cos＋2cos x
＝2＋2cos x
＝2＋2cos x
＝sin x＋cos x
＝－＝.
层级二 应试能力达标
1．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B．
C. D．1
解析：选A 由已知得(sin α－sin β)2＝2， ①
(cos α－cos β)2＝2， ②
①＋②得2－2cos(α－β)＝1－＋＋，
∴cos(α－β)＝.故选A.
2．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为( )
A. B.
C．－ D.
解析：选C ∵α为钝角，且sin＝，
∴cos＝－，
∴cos＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝－.
3．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
4．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )
A. B.
C. D. 或
解析：选C 因为α，β为钝角，sin α＝，
所以cos α＝－＝－ ＝－.
由cos β＝－，得
sin β＝＝ ＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×
＝.
又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
5．已知cos α＝，cos(α－β)＝－，<α<2π，<α－β<π ，则cos β＝________.
解析：由条件知sin α＝－，sin(α－β)＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－－＝－1.
答案：－1
6．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β， ①
－cos γ＝cos α＋cos β， ②
①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，
化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－，
即cos(α－β)＝－.
答案：－
7．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.
8．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，
所以0<α－β<.
所以sin α＝ ＝，
cos(α－β)＝ ＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
