3．1.2 两角和与差的正弦
预习课本P136～138，思考并完成以下问题
(1)如何利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式？
(2)两角和与差的正弦公式是什么？
两角和与差的正弦公式
名称
公式
简记符号
两角和的正弦
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
Sα＋β
两角差的正弦
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
Sα－β
[点睛] 两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°的值等于( )
A. B．－
C．0 D．1
答案：D
3．已知sin α＝－，α是第四象限角，则sin＝________.
答案：
给角求值问题
[典例] 求值：(1)sin(－15°)；
(2)(tan 10°－).
[解] (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45°
＝×－×
＝.
(2)法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)
＝
＝·
＝－2.
法二：原式＝
＝·
＝
＝
＝－2.
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
[活学活用]
求值：(1)sin 105°；(2).
解：(1)sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60° sin 45°＝×＋×＝.
(2)
＝
＝
＝
＝sin 30°＝.
给值求值问题
[典例] (1)已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；
(2)求值：sin ＋cos ；
(3)已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
[解] (1)[直接法]
因为α为第一象限角，β为第二象限角，
sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝，sin β＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－.
(2)[常值代换法]
原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin ＝.
(3)[角的代换法]
∵＜β＜α＜，∴＜α＋β＜，0＜α－β＜.
又∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，∴sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.
给值求值的方法
(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝tan 45°，1＝sin 90°等.1，，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．
(3)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．
常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，
＝－，
α＋β＝(2α＋β)－α，
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2β＝(α＋β)－(α－β)等．
[活学活用]
在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D ∵A＝，∴cos A＝sin A＝，
又cos B＝，0＜B＜π，∴sin B＝，
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
辅助角公式的应用
[典例] 求y＝sin x－cos x的最小正周期、最值及单调递增区间．
[解] y＝2
＝2＝2sin.
∴此函数的最小正周期为2π，ymax＝2，ymin＝－2.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴y＝sin x－cos x的单调递增区间为
(k∈Z)．
辅助角公式及其运用
(1)公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
[活学活用]
求函数f(x)＝sin＋2sin的最大值和最小值．
解：f(x)＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin＝sin x－cos x
＝
＝sin，
∴f(x)的最大值为，
此时x＝＋2kπ(k∈Z)；f(x)的最小值为－，
此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．
层级一 学业水平达标
1．sin 20°cos 10°－cos 160° sin 10°＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝.
2.的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 原式＝
＝＝2sin 30°＝1.
3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝－.
4．已知sin＝，则cos α＋sin α的值为( )
A．－ B.
C．2 D．－1
解析：选B cos α＋sin α＝2＝2sin＝2×＝.
5．函数y＝sin＋sin的最小值为( )
A. B．－2
C．－ D.
解析：选C 因为y＝sin＋sin＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋sin 2xcos－cos 2xsin ＝sin 2x，所以所求函数的最小值为－.
6．计算sin－cos的值为________．
解析：sin－cos＝2＝2＝－2cos＝－2cos＝－.
答案：－
7．已知<β<，sin β＝，则sin＝________.
解析：∵<β<，sin β＝，
∴cos β＝，∴sin＝sin β·cos ＋cos β·sin ＝×＋×＝＋＝.
答案：
8．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
解析：因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ
＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，
所以f(x)的最大值为1.
答案：1
9．已知cos α＝(α为第一象限角)，求cos，sin的值．
解：∵cos α＝，且α为第一象限角，
∴sin α＝＝ ＝.
∴cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×＝.
同理可求sin＝.
10．化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
解：(1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos ·cos x－sin sin x
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x
＝sin x＋cos x
＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
层级二 应试能力达标
1．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝( )
A．±1 B．1
C．－1 D．0
解析：选D 原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0，故选D.
2．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．
由已知可得 sin(B＋C)＝2sin Ccos B
?sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin CcosB
?sin Bcos C－cos Bsin C＝0?sin(B－C)＝0.
∵0∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．
3．函数f(x)＝sin x＋sin图象的一条对称轴为( )
A．直线x＝ B．直线x＝π
C．直线x＝ D．直线x＝
解析：选D f(x)＝sin x＋sin·cos x－cos ·sin x＝sin x＋cos x＝sin，其图象的对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，得x＝.
4．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选A 由已知可得(3sin A＋4cos B)2＋(3cos A＋4sin B)2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
所以sin(A＋B)＝.
所以在△ABC中sin C＝，所以C＝或C＝.
又1－3cos A＝4sin B>0，所以cos A<.
又<，所以A>，所以C<，
所以C＝不符合题意，所以C＝.
5．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________.
解析：sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，
即sin β＝－，又β是第三象限角，∴cos β＝－，
∴sin＝sin βcos＋cos βsin＝×＋×＝.
答案：
6．已知cos θ＝，则sin的值为________；sin的值为________．
解析：因为cos θ＝，
所以sin θ＝＝，
所以sin＝sin θcos＋cos θsin
＝×＝；
sin＝sin θcos－cos θsin
＝×－×＝.
答案：
7．已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
解：∵α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－.
又∵α，β均为锐角，∴－<α－β<.故α－β＝－.
8．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵＜α＜，
∴＜＋α＜π，
∴sin＝ ＝.
∵0＜β＜，∴＜＋β＜π，
∴cos＝－
＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－＝.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十四)”
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课时跟踪检测（二十四） 两角和与差的正弦
层级一 学业水平达标
1．sin 20°cos 10°－cos 160° sin 10°＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝.
2.的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 原式＝
＝＝2sin 30°＝1.
3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝－.
4．已知sin＝，则cos α＋sin α的值为( )
A．－ B.
C．2 D．－1
解析：选B cos α＋sin α＝2＝2sin＝2×＝.
5．函数y＝sin＋sin的最小值为( )
A. B．－2
C．－ D.
解析：选C 因为y＝sin＋sin
＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋sin 2xcos－cos 2xsin
＝sin 2x，
所以所求函数的最小值为－.
6．计算sin－cos的值为________．
解析：sin－cos＝2＝2＝－2cos＝－2cos＝－.
答案：－
7．已知<β<，sin β＝，则sin＝________.
解析：∵<β<，sin β＝，
∴cos β＝，∴sin＝sin β·cos ＋cos β·sin ＝×＋×＝＋＝.
答案：
8．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
解析：因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ
＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，
所以f(x)的最大值为1.
答案：1
9．已知cos α＝(α为第一象限角)，求cos，sin的值．
解：∵cos α＝，且α为第一象限角，
∴sin α＝＝ ＝.
∴cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×＝.
同理可求sin＝.
10．化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
解：(1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos ·cos x－ sin sin x
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x
＝sin x＋cos x
＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
层级二 应试能力达标
1．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝( )
A．±1 B．1
C．－1 D．0
解析：选D 原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0，故选D.
2．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．
由已知可得 sin(B＋C)＝2sin Ccos B
?sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin CcosB
?sin Bcos C－cos Bsin C＝0?sin(B－C)＝0.
∵0∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．
3．函数f(x)＝sin x＋sin图象的一条对称轴为( )
A．直线x＝ B．直线x＝π
C．直线x＝ D．直线x＝
解析：选D f(x)＝sin x＋sin·cos x－cos ·sin x＝sin x＋cos x＝sin，其图象的对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，得x＝.
4．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为( )
A. B.
C. 或 D. 或
解析：选A 由已知可得(3sin A＋4cos B)2＋(3cos A＋4sin B)2＝62＋12，
即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
所以sin(A＋B)＝.
所以在△ABC中sin C＝，所以C＝或C＝.
又1－3cos A＝4sin B>0，所以cos A<.
又<，所以A>，所以C<，
所以C＝不符合题意，所以C＝.
5．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________.
解析：sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，
即sin β＝－，又β是第三象限角，∴cos β＝－，
∴sin＝sin βcos＋cos βsin＝×＋×＝.
答案：
6．已知cos θ＝，则sin的值为________；sin的值为________．
解析：因为cos θ＝，
所以sin θ＝＝，
所以sin＝sin θcos＋cos θsin＝×＝；
sin＝sin θcos－cos θsin＝×－×＝.
答案：
7．已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
解：∵α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－.
又∵α，β均为锐角，∴－<α－β<.故α－β＝－.
8．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵＜α＜，∴＜＋α＜π，
∴sin＝ ＝.
∵0＜β＜，∴＜＋β＜π，
∴cos＝－ ＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－＝.
