3．1.3 两角和与差的正切
预习课本P140～141，思考并完成以下问题
(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？
(2)公式T的应用条件是什么？
两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的正切
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差
的正切
tan(α－β)＝
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
[点睛] (1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．
(2)在应用两角和与差的正切公式时，只要tan α，tan β，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简tan，因为tan的值不存在，所以不能利用公式T(α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即tan＝＝.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )
答案：(1)√ (2)×
2．已知tan α＝－，则tan等于( )
A．－ B．－7 C. D．7
答案：D
3．若tan＝3，则tan α的值为( )
A．－2 B．－
C. D．2
答案：B
4.＝________.
答案：
给角求值问题
[典例] 求值：(1)tan(－15°)；
(2)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
[解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°)
＝
＝＝＝＝2－，
tan(－15°)＝－tan 15°＝－2.
(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－.
(3)∵tan 60＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
[活学活用]
1.的值为________．
解析：原式＝
＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝2－.
答案：2－
2.＝________.
解析：观察可知18°＋42°＝60°，可运用两角和的正切公式求值．
∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°
＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°
＝－tan 60°tan 18°tan 42°，
∴原式＝－1.
答案：－1
给值求值问题
[典例] 已知cos α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan β及tan(2α－β)．
[解] ∵cos α＝>0，α∈(0，π)，
∴sin α>0.
∴sin α＝＝ ＝，
∴tan α＝＝＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝2.
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
[活学活用]
1．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选A ∵tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，
∴tan(α＋β)＝＝＝－3.
2．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
解析：由条件知＝＝3，则tan α＝2.
因为 tan(α－β)＝2，
所以 tan(β－α)＝－2，
故 tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝
＝＝.
答案：
给值求角问题
[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－，其中0<α<，<β<π.
(1)求tan(α－β)；
(2)求α＋β的值．
[解] (1)因为tan α＝2，tan β＝－，
所以tan(α－β)＝＝＝7.
(2)因为tan(α＋β)＝＝＝1，
又因为0<α<，<β<π，
所以<α＋β<，所以α＋β＝.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求tan(2α－β)的值．
解：因为tan(α－β)＝7，tan α＝2，
所以tan(2α－β)＝＝
＝－.
2．[变条件，变设问]若本例条件变为：tan α＝，tan β＝且α，β∈，求2α＋β的值．
解：因为tan α＝，tan β＝且α，β∈，
∴tan(α＋β)＝＝＝>0，
∴α＋β∈，2α＋β∈(0，π)，
∴tan(2α＋β)＝
＝＝1，∴2α＋β＝.
给值求角问题的解题策略
(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；
(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
层级一 学业水平达标
1．的值为( )
A. B.
C．tan 6° D.
解析：选A ∵＝tan(27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝＝.
2．tan 15°＋tan 105°等于( )
A．－2 B．2＋
C．4 D.
解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan(60°－45°)＋tan(45°＋60°)＝＋＝－2，故选A.
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵tan(α＋β)＝，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝＝.
4．在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
解析：选A 由tan Atan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A，B均为锐角．
又tan(A＋B)＝<0，即tan C＝－tan(A＋B)>0，∴C为锐角，故△ABC为锐角三角形．
5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )
A．1 B．2
C．1＋ D．1＋
解析：选B ∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝＝1，
∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解．
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
答案：3
7.＝________.
解析：原式＝＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
答案：
8．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈，则α＋β＝________.
解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，
所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，
所以tan(α＋β)＝＝－1.
又α，β∈，所以π＜α＋β＜2π，故α＋β＝.
答案：
9．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值．
解：因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，
所以tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－1，
tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝＝＝－，
所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β
＝－1－＝－.
10．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求角α＋β的大小．
解：由已知得
∴tan α，tan β均为负，
∴－<α<0，－<β<0.
∴－π<α＋β<0，
又tan(α＋β)＝＝＝.
∴α＋β＝－.层级二 应试能力达标
1．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为( )
A．－ B．－
C．－ D.
解析：选B tan(β－2α)＝－tan(2α－β)
＝－tan[α＋(α－β)]
＝－
＝－＝－.
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由已知，得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)，
即＝－，∴tan(A＋B)＝－，
∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，
∴C＝.
3．已知tan α＝，则的值是( )
A．2 B.
C．－1 D．－3
解析：选B 法一：因为tan α＝，所以tan
＝＝＝3，
所以＝＝.故选B.
法二：＝
＝tan＝tan α＝.故选B.
4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为( )
A．222 B．223
C．224 D．225
解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，
∵tan 45°＝tan(1°＋44°)＝＝1，
∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，
同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝…＝2，
∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.
5．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)
解析：由已知得
∴tan(A＋B)＝＝＝，
在△ABC中，tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－<0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．
答案：钝角
6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为______________________________．
解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2?tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2?tan α＋tan β＝tan αtan β－1?＝－1，
即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－，k∈Z.
当k＝1，α＋β取得最小正值.
答案：
7．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．
解：(1)因为tan(π＋α)＝－，所以tan α＝－，
因为tan(α＋β)＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝.
(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝，
所以tan β＝＝.
8．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求的值．
解：(1)由题意，得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝，
因此tan α＝2，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－.
(2)＝×
＝×tan[(α＋β)－α]＝×tan β
＝×＝.
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课时跟踪检测（二十五） 两角和与差的正切
层级一 学业水平达标
1．的值为( )
A. B.
C．tan 6° D.
解析：选A ∵＝tan(27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝＝.
2．tan 15°＋tan 105°等于( )
A．－2 B．2＋
C．4 D.
解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan(60°－45°)＋tan(45°＋60°)＝＋＝－2，故选A.
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵tan(α＋β)＝，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝＝.
4．在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
解析：选A 由tan Atan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A，B均为锐角．
又tan(A＋B)＝<0，即tan C＝－tan(A＋B)>0，
∴C为锐角，故△ABC为锐角三角形．
5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )
A．1 B．2
C．1＋ D．1＋
解析：选B ∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝＝1，
∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°
＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解．
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
答案：3
7.＝________.
解析：原式＝＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
答案：
8．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈，则α＋β＝________.
解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，
所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，
所以tan(α＋β)＝＝－1.
又α，β∈，所以π＜α＋β＜2π，故α＋β＝.
答案：
9．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值．
解：因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，，
所以tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－1，
tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝＝＝－，
所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β
＝－1－＝－.
10．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－ <β<，求角α＋β的大小．
解：由已知得
∴tan α，tan β均为负，
∴－<α<0，－<β<0.
∴－π<α＋β<0，
又tan(α＋β)＝＝＝.
∴α＋β＝－.
层级二 应试能力达标
1．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为( )
A．－ B．－
C．－ D.
解析：选B tan(β－2α)＝－tan(2α－β)
＝－tan[α＋(α－β)]
＝－
＝－＝－.
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由已知，得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)，
即＝－，∴tan(A＋B)＝－，
∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，
∴C＝.
3．已知tan α＝，则的值是( )
A．2 B.
C．－1 D．－3
解析：选B 法一：因为tan α＝，所以tan
＝＝＝3，
所以＝＝.故选B.
法二：＝
＝tan＝tan α＝.故选B.
4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为( )
A．222 B．223
C．224 D．225
解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，
∵tan 45°＝tan(1°＋44°)＝＝1，
∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，
同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝…＝2，
∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.
5．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)
解析：由已知得
∴tan(A＋B)＝＝＝，
在△ABC中，tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－<0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．
答案：钝角
6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为_______．
解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2?tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2
?tan α＋tan β＝tan αtan β－1?＝－1，
即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－，k∈Z.
当k＝1，α＋β取得最小正值.
答案：
7．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．
解：(1)因为tan(π＋α)＝－，所以tan α＝－，
因为tan(α＋β)＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝.
(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝，
所以tan β＝＝.
8．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求的值．
解：(1)由题意，得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝，
因此tan α＝2，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－.
(2)＝×
＝×tan[(α＋β)－α]＝×tan β
＝×＝.
