3．2.1 倍角公式
预习课本P143～144，思考并完成以下问题
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？
(2)联系已学公式，考虑cos2α，sin2α有哪几种变形方法？
二倍角公式
[点睛] (1)二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．
(2)对于S2α和C2α，α∈R，但是在使用T2α时，要保证分母1－tan2α≠0且tan α有意义，即α≠kπ＋且α≠kπ－且α≠kπ＋(k∈Z)．当α＝kπ＋及α＝kπ－(k∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝kπ＋(k∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.
(3)倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin 3αcos 3α＝sin 6α.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)对任意角α，总有tan 2α＝.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
3．计算cos215°－sin215°结果等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
4．已知α为第三象限角，cos α＝－，则tan 2α＝________.
答案：－
给角求值问题
[典例] 求下列各式的值：
(1)sincos；(2)1－2sin2750°；
(3)；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
[解] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°
＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝
＝
＝.
此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单．而(4)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．
[活学活用]
求下列各式的值．
(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；(4).
解：(1)∵sin ＝sin＝cos ，
∴sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos＝sin＝.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
(3)2cos2－1＝cos＝－.
(4)＝＝tan 60°＝.
化简问题
[典例] 化简：(1)－；
(2).
[解] (1)原式＝＝＝tan 2θ.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝
＝1.
(1)化简三角函数式的常用方法：
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次．
(2)化简三角函数式的常用技巧：
①特殊角的三角函数与特殊值的互化；
②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；
③对于二次根式，注意倍角公式的逆用；
④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；
⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．
[活学活用]
化简：(1)－tan θtan 2θ；
(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.
解：(1)－tan θtan 2θ＝－
＝
＝＝＝1.
(2)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
给值求值
[典例] 已知cos＝，≤α<，求cos的值．
[解] ∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－
＝－ ＝－.
∴cos 2α＝sin＝2sincos
＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×2＝.
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×＝－.
[一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，求的值．
解：原式＝＝(cos α－sin α)＝2cos＝.
2．[变条件，变设问]若本例条件变为：若x∈，sin＝，求sin的值．
解：由sin＝，
得sin xcos －cos xsin ＝，
两边平方，得sin2x＋－sin 2x＝，
∴·＋－sin 2x＝，
即sin 2x·＋cos 2x·＝，
∴sin＝.
解决给值求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
层级一 学业水平达标
1．若sin＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C 因为sin＝，
所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×2＝.
2．下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215° D．sin215°＋cos215°
解析：选B cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
3．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为( )
A．－ B.
C．－ D．－2
解析：选A 由题意可得，sin α＝－＝－，∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝－，故选A.
4．化简·等于( )
A．2cos α B．2sin α
C. D．cos α
解析：选A 原式＝·＝2cos α.
5．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( )
A．75° B．45°
C．60° D．30°
解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝，
所以α＝30°.故选D.
6．已知tan x＝2，则tan 2＝________.
解析：∵tan x＝2，
∴tan 2x＝＝－.
tan 2＝tan＝
＝＝－＝.
答案：
7．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝____________，cos 2θ＝____________.
解析：∵sin ＋cos ＝，
∴2＝，
即1＋2sincos＝，
∴sin θ＝，
∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.
答案：
8．求值：－＝________.
解析：原式＝
＝＝＝4.
答案：4
9．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．
解：原式＝＝.
∵α为第二象限角，且sin α＝，
∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－，
∴原式＝＝－.
10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝，求α＋2β的值．
解：∵β为锐角，且cos β＝，∴sin β＝.
∴tan β＝，tan 2β＝＝＝.
∴0<2β<，0<α＋2β<π，
又tan(α＋2β)＝＝＝－1，
∴α＋2β＝.
层级二 应试能力达标
1．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵sin 2α＝，
∴cos2
＝＝＝＝.
2．若＝，则cos的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选A 因为＝，
所以＝，
所以cos α－sin α＝，平方得1－2cos αsin α＝，
所以sin 2α＝，所以cos＝sin 2α＝.
3．化简：＝( )
A. B．－
C．－1 D．1
解析：选B 原式＝＝－＝－＝－.
4．已知sin＝，则cos的值是( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选D ∵sin＝，
∴cos＝cos
＝1－2sin2＝，
∴cos＝cos＝cos
＝－cos＝－.
5．等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，
sin B＝＝ ＝.
所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B＝2sin Bcos B
＝2××＝.
答案：
6．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝，则β＝________.
解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin2α)＝sin αcos α，即2sin2α＝sin αcos α.
∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝.
法一：由tan(β－α)＝＝＝，
得tan β＝1.
∵β为锐角，∴β＝.
法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝.
答案：
7．已知向量m＝，n＝(sin α，1)，m与n为共线向量，且α∈.
(1)求sin α＋cos α的值．
(2)求的值．
解：(1)因为m与n为共线向量，
所以×1－(－1)×sin α＝0，
即sin α＋cos α＝.
(2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝，
所以sin 2α＝－，
因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，
所以(sin α－cos α)2＝2－2＝.
又因为α∈，
所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－.
因此，＝.
8．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝2cos＝－2sin α＝，所以sin α＝－.
又α∈，故cos α＝＝ ＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos 2αcos＋2sin 2αsin＝2××＋2××＝.
课件23张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十六)”
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课时跟踪检测（二十六） 倍角公式
层级一 学业水平达标
1．若sin＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C 因为sin＝，
所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×2＝.
2．下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215° D．sin215°＋cos215°
解析：选B cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
3．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为( )
A．－ B.
C．－ D．－2
解析：选A 由题意可得，sin α＝－＝－，
∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝－，故选A.
4．化简·等于( )
A．2cos α B．2sin α
C. D．cos α
解析：选A 原式＝·＝2cos α.
5．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( )
A．75° B．45°
C．60° D．30°
解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin2α，
故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，
即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.
因为α为锐角，所以sin α＝，
所以α＝30°.故选D.
6．已知tan x＝2，则tan 2＝________.
解析：∵tan x＝2，
∴tan 2x＝＝－.
tan 2＝tan＝
＝＝－＝.
答案：
7．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝______，cos 2θ＝______.
解析：∵sin ＋cos ＝，
∴2＝，
即1＋2sincos＝，
∴sin θ＝，
∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.
答案：
8．求值：－＝________.
解析：原式＝＝＝＝4.
答案：4
9．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．
解：原式＝＝.
∵α为第二象限角，且sin α＝，
∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－，
∴原式＝＝－.
10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝，求α＋2β的值．
解：∵β为锐角，且cos β＝，∴sin β＝.
∴tan β＝，tan 2β＝＝＝.
∴0<2β<，0<α＋2β<π，
又tan(α＋2β)＝＝＝－1，
∴α＋2β＝.
层级二 应试能力达标
1．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵sin 2α＝，
∴cos2＝＝＝＝.
2．若＝，则cos的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选A 因为＝，
所以＝，
所以cos α－sin α＝，平方得1－2cos αsin α＝，
所以sin 2α＝，所以cos＝sin 2α＝.
3．化简：＝( )
A. B．－
C．－1 D．1
解析：选B 原式＝＝－＝－＝－.
4．已知sin＝，则cos的值是( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选D ∵sin＝，
∴cos＝cos
＝1－2sin2＝，
∴cos＝cos＝cos
＝－cos＝－.
5．等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，
sin B＝＝ ＝.
所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B＝2sin Bcos B
＝2××＝.
答案：
6．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝，则β＝________.
解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin2α)＝sin αcos α，即2sin2α＝sin αcos α.
∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝.
法一：由tan(β－α)＝＝＝，
得tan β＝1.
∵β为锐角，∴β＝.
法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝.
答案：
7．已知向量m＝，n＝(sin α，1)，m与n为共线向量，且α∈.
(1)求sin α＋cos α的值．
(2)求的值．
解：(1)因为m与n为共线向量，
所以×1－(－1)×sin α＝0，
即sin α＋cos α＝.
(2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝，
所以sin 2α＝－，
因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，
所以(sin α－cos α)2＝2－2＝.
又因为α∈，
所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－.
因此，＝.
8．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝2cos＝－2sin α＝，所以sin α＝－.
又α∈，故cos α＝＝ ＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos 2αcos＋2sin 2αsin＝2××＋2××＝.
