3．2.2 半角的正弦、余弦和正切
预习课本P145～146，思考并完成以下问题
(1)半角的正弦、余弦、正切公式是什么？
(2)半角公式的符号是由哪些因素决定的？
半角公式
[点睛] (1)有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求的正弦、余弦、正切的值．
(2)对于S和C，α∈R，但是使用T时，要保证α≠(2k＋1)π(k∈Z)．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半角公式对任意角都适用．( )
(2)tan ＝，只需满足α≠2kπ＋π(k∈Z)．( )
答案：(1)× (2)√
2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos的值为( )
A. B．－
C．± D.
答案：A
3．已知cos α＝，α∈，则sin等于( )
A．－ B.
C. D．－
答案：B
4．已知cos α＝－，且180°<α<270°，则tan ＝________.
答案：－2
求值问题
[典例] 已知sin α＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
[解] ∵π<α<，sin α＝－，
∴cos α＝－，且<<，
∴sin＝ ＝，
cos＝－ ＝－，
tan＝＝－2.
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[活学活用]
已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．
解：由题意得2＝，
即1－sin α＝，
得sin α＝.
∵450°<α<540°，
∴cos α＝－，
∴tan＝＝＝2.
三角函数式的化简
[典例] 化简：
(π<α<2π)．
[解] 原式＝
＝
＝.
又∵π<α<2π，
∴<<π，
∴cos<0，
∴原式＝＝cos α.
[一题多变]
1．[变条件]若本例中式子变为：
(－π<α<0)，求化简后的式子．
解：原式＝
＝
＝
＝.
因为－π<α<0，
所以－<<0，
所以sin<0，
所以原式＝＝cos α.
2．[变条件]若本例中的式子变为：
＋，π<α<，求化简后的式子．
解：原式＝＋
，
∵π<α<，
∴<<.
∴cos<0，sin>0.
∴原式＝＋
＝－＋
＝－cos.
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
三角恒等变换的综合应用
题点一：与三角函数性质综合应用
1．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．
解析：由题意知，f(x)＝sin 2x＋(1－cos 2x)＋1
＝sin＋，
所以最小正周期T＝π.
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调递减区间为(k∈Z)．
答案：π (k∈Z)
题点二：与平面向量综合应用
2．已知向量a＝(1＋sin 2x，sin x－cos x)，b＝(1，sin x＋cos x)，函数f(x)＝a·b.求f(x)的最大值及相应的x值．
解：因为a＝(1＋sin 2x，sin x－cos x)，
b＝(1，sin x＋cos x)，
所以f(x)＝1＋sin 2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1.
因此，当2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值＋1.
题点三：三角变换在实际生活中的应用
3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100 米，宽BC＝50 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取1.732，取1.414)．
解：(1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，
∠CHE＝x，
∴HE＝.
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90 °，∠DFH＝x，
∴HF＝.
又∠EHF＝90°，
∴EF＝，
∴三条路的全长(即△HEF的周长)
L＝.
当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x＝；
当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x＝.
故此函数的定义域为.
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．
由(1)得L＝，x∈，
设sin x＋cos x＝t，
则sin xcos x＝，
∴L＝＝.
由t＝sin x＋cos x＝sin，x∈，
得≤t≤，
从而＋1≤≤＋1，
当x＝，
即CE＝50时，Lmin＝100(＋1)，
当CE＝DF＝50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元．
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
(1)运用和、差、倍角公式化简；
(2)统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式；
(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．
层级一 学业水平达标
1．已知cos θ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B 因为－180°<θ<－90°，所以－90°<<－45°.又cos θ＝－，所以cos＝ ＝ ＝，故选B.
2．已知α∈，cos α＝，则tan＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：选D 因为α∈，且cos α＝，所以∈，tan＝－ ＝－ ＝－，故选D.
3．若α∈，则 － 等于( )
A．cos α－sin α B．cos α＋sin α
C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α
解析：选B ∵α∈，∴sin α<0，cos α>0，则－＝－ ＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.
4．已知sin α＋cos α＝，则2cos2－1＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C ∵sin α＋cos α＝，
平方可得1＋sin 2α＝，可得sin 2α＝－.
2cos2－1＝cos＝sin 2α＝－.
5．函数y＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别为( )
A．π，1 B．π，
C．2π，1 D．2π，
解析：选A ∵y＝sin＋cos
＝＋
＝cos 2x，
∴该函数的最小正周期为π，最大值为1.
6．若sin＋2cos＝0，则tan θ＝________.
解析：由sin＋2cos＝0，得tan＝－2，
则tan θ＝＝.
答案：
7．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.
解析：∵3sin x－cos x
＝2＝2sin，
因φ∈(－π，π)，∴φ＝－.
答案：－
8．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，所以该函数的最小正周期为π.
答案：π
9．求证：＝sin 2α.
证明：∵左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
10．已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a>0，ω>0)的最大值为2.x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，|x1－x2|的最小值为.
(1)求a，ω的值；
(2)若f(α)＝，求sin的值．
解：(1)f(x)＝asin 2ωx＋cos 2ωx＝ sin(2ωx＋φ)，其中tan φ＝.
由题意知 ＝2，a>0，则a＝1.
f(x)的最小正周期为π，则＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由f(α)＝知2sin＝，即sin＝.
所以sin＝sin
＝－cos＝－1＋2sin2
＝－1＋2×2＝－.
层级二 应试能力达标
1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan＝( )
A. B.或不存在
C．2 D．2或不存在
解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，得4sin cos ＝2cos2，
当cos＝0时，则tan不存在；
当cos≠0时，则tan＝.
2．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有( )
A．a>b>c B．a
C．a解析：选C a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，∴a3．化简2＋2sin2得( )
A．2＋sin α B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
解析：选C 原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2.
4．已知cos·cos＝，θ∈，则sin θ＋cos θ的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C cos·cos
＝sincos＝sin
＝cos 2θ＝.
∴cos 2θ＝.
∵θ∈，∴2θ∈，
∴sin 2θ＝－，且sin θ＋cos θ<0.
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝.
∴sin θ＋cos θ＝－.
5．设α为第四象限角，且＝，则tan 2α＝________.
解析：＝
＝＝2cos 2α＋1＝，
所以cos 2α＝，
又α是第四象限角，所以sin 2α＝－，tan 2α＝－.
答案：－
6．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．
解析：∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B
＝(1＋cos 2A＋1＋cos 2B)
＝1＋(cos 2A＋cos 2B)
＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)
＝1＋coscos(A－B)
＝1－cos(A－B)，∴当cos(A－B)＝－1时，
原式取得最大值；
当cos(A－B)＝1时，原式取得最小值.
答案：
7．化简：(0<α<π)．
解：∵tan＝，∴(1＋cos α)tan＝sin α.
又∵cos＝－sin α，且1－cos α＝2sin2，
∴原式＝＝
＝－.
∵0<α<π，∴0<<，∴sin>0.
∴原式＝－2cos.
8．已知函数f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若＜α＜，且f(α)＝－，求sin 2α的值．
解：(1)因为f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x，
所以f(x)＝sin 2x－sin2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期是π.
(2)f(α)＝－，即sin＝－，
sin＝－.
因为＜α＜，
所以＜2α＋＜，
所以cos＝－，
所以sin 2α＝sin
＝sin－cos
＝×－×＝.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十七)”
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课时跟踪检测（二十七） 半角的正弦、余弦和正切
层级一 学业水平达标
1．已知cos θ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B 因为－180°<θ<－90°，所以－90°<<－45°.
又cos θ＝－，所以cos＝ ＝ ＝，故选B.
2．已知α∈，cos α＝，则tan＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：选D 因为α∈，且cos α＝，
所以∈，tan＝－ ＝－ ＝－，故选D.
3．若α∈，则 － 等于( )
A．cos α－sin α B．cos α＋sin α
C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α
解析：选B ∵α∈，∴sin α<0，cos α>0，
则－＝－ ＝|cos α|－|sin α|
＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.
4．已知sin α＋cos α＝，则2cos2－1＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C ∵sin α＋cos α＝，
平方可得1＋sin 2α＝，可得sin 2α＝－.
2cos2－1＝cos＝sin 2α＝－.
5．函数y＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别为( )
A．π，1 B．π，
C．2π，1 D．2π，
解析：选A ∵y＝sin＋cos
＝＋
＝cos 2x，
∴该函数的最小正周期为π，最大值为1.
6．若sin＋2cos＝0，则tan θ＝________.
解析：由sin＋2cos＝0，得tan＝－2，
则tan θ＝＝.
答案：
7．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.
解析：∵3sin x－cos x
＝2＝2sin，
因φ∈(－π，π)，∴φ＝－.
答案：－
8．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，所以该函数的最小正周期为π.
答案：π
9．求证：＝sin 2α.
证明：∵左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
10．已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a>0，ω>0)的最大值为2.x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，|x1－x2|的最小值为.
(1)求a，ω的值；
(2)若f(α)＝，求sin的值．
解：(1) f(x)＝asin 2ωx＋cos 2ωx＝ sin(2ωx＋φ)，其中tan φ＝.
由题意知 ＝2，a>0，则a＝1.
f(x)的最小正周期为π，则＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由f(α)＝知2sin＝，即sin＝.
所以sin＝sin
＝－cos＝－1＋2sin2
＝－1＋2×2＝－.
层级二 应试能力达标
1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan ＝( )
A. B. 或不存在
C．2 D．2或不存在
解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，得4sin cos ＝2cos2 ，
当cos ＝0时，则tan不存在；当cos≠0时，则tan＝.
2．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有( )
A．a>b>c B．aC．a解析：选C a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，∴a3．化简2＋2sin2得( )
A．2＋sin α B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
解析：选C 原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2.
4．已知cos·cos＝，θ∈，则sin θ＋cos θ的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C cos·cos
＝sincos＝sin
＝cos 2θ＝.
∴cos 2θ＝.
∵θ∈，∴2θ∈，
∴sin 2θ＝－，且sin θ＋cos θ<0.
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝.
∴sin θ＋cos θ＝－.
5．设α为第四象限角，且＝，则tan 2α＝________.
解析：＝＝＝2cos 2α＋1＝，
所以cos 2α＝，
又α是第四象限角，所以sin 2α＝－，tan 2α＝－.
答案：－
6．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．
解析：∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B
＝(1＋cos 2A＋1＋cos 2B)
＝1＋(cos 2A＋cos 2B)
＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)
＝1＋cos cos(A－B)
＝1－cos(A－B)，∴当cos(A－B)＝－1时，
原式取得最大值；
当cos(A－B)＝1时，原式取得最小值.
答案：
7．化简：(0<α<π)．
解：∵tan＝，∴(1＋cos α)tan＝sin α.
又∵cos＝－sin α，且1－cos α＝2sin2，
∴原式＝＝
＝－.
∵0<α<π，∴0<<，∴sin>0.
∴原式＝－2cos.
8．已知函数f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若＜α＜，且f(α)＝－，求sin 2α的值．
解：(1)因为f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x，
所以f(x)＝sin 2x－sin2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期是π.
(2)f(α)＝－，即sin＝－，
sin＝－.
因为＜α＜，
所以＜2α＋＜，
所以cos＝－，
所以sin 2α＝sin
＝sin－cos
＝×－×＝.
