预习课本P149～151，思考并完成以下问题
(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出积化和差与和差化积公式？
(2)两组公式有何特点？
1．三角函数的积化和差
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
[点睛] 积化和差公式的结构特点
(1)同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化为正弦函数的和差．
(2)角的顺序，“α＋β”在前，“α－β”在后．
2．三角函数的和差化积
sin x＋sin y＝2sincos，
sin x－sin y＝2cossin，
cos x＋cos y＝2coscos，
cos x－cos y＝－2sinsin.
[点睛] 和差化积公式的特点
(1)同名函数的和或差才可化积．
(2)余弦函数的和或差化为同名函数之积．
(3)正弦函数的和或差化为异名函数之积．
(4)等式左边为单角α和β，等式右边为与的形式．
(5)只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正．
1．下列等式错误的是( )
A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B
B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos Asin B
C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos Acos B
D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2cos Acos B
答案：D
2．sin 37.5°cos 7.5°等于( )
A. B.
C. D.
答案：C
3．cos 75°cos 15°＝________.
答案：
化简求值
[典例] 化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)．
[解] 原式＝2sin θ[2sin(60°－θ)·sin(60°＋θ)]
＝－2sin θ[cos 120°－cos(－2θ)]
＝－2sin θ·
＝sin θ＋2sin θ·cos 2θ
＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ)＝sin 3θ.
用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进行和差化积．
[活学活用]
求sin270°＋cos240°－sin 70°cos 40°的值．
解：原式＝＋－sin 70°cos 40°＝1＋(cos 40°＋cos 80°)－sin 70°cos 40°＝1＋cos 60°cos 20°－(sin 110°＋sin 30°)＝1＋cos 20°－cos 20°－＝.
三角恒等式证明
[典例] 在△ABC中，求证：sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝4sin Asin Bsin C.
[证明] 左边＝sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝2sin cos＋sin 2C
＝2sin(A＋B)cos(A－B)－2sin(A＋B)cos(A＋B)
＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)]
＝2sin C·(－2)sinsin
＝4sin Asin Bsin C＝右边．
所以原等式成立．
三角恒等式的证明
(1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值．
(2)证明三角恒等式总体要求是：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密．
(3)证明三角恒等式的基本思想是：化繁为简、左右归一、变更论证等．
[活学活用]
求证：cos2x＋cos2(x＋α)－2cos αcos xcos(x＋α)＝sin2α.
证明：左边＝＋－2cos αcos x·cos(x＋α)
＝1＋[cos 2x＋cos(2x＋2α)]－2cos αcos x cos(x＋α)
＝1＋coscos－cos α[cos(2x＋α)＋cos α]
＝1＋cos(2x＋α)cos α－cos αcos(2x＋α)－cos2α
＝1－cos2α＝sin2α＝右边，
∴原等式成立．
层级一 学业水平达标
1．cos 15° sin 105°＝( )
A.＋ B.－
C.＋1 D.－1
解析：选A cos 15°sin 105°＝[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝[sin 120°－sin(－90°)]＝×＋×1＝＋.
2．化简的结果为( )
A．tan α B．tan 2α
C. D.
解析：选B 原式＝
＝tan 2α.
3．函数f(x)＝2sinsin的最大值等于( )
A．2sin2 B．－2sin2
C．2cos2 D．－2cos2
解析：选A f(x)＝2sinsin
＝－[cos α－cos(x－α)]
＝cos(x－α)－cos α.
当cos(x－α)＝1时，
f(x)取得最大值1－cos α＝2sin2.
4．将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是( )
A．－sin(x＋y)sin(x－y) B．cos(x＋y)cos(x－y)
C．sin(x＋y)cos(x－y) D．－cos(x＋y)sin(x－y)
解析：选B cos2x－sin2y＝－
＝(cos 2x＋cos 2y)
＝cos(x＋y)cos(x－y)．
5．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )
A．－m B．m
C．－ D.
解析：选A ∵cos2α－cos2β＝m，
∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－(cos 2α－cos 2β)
＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)
＝cos2β－cos2α＝－m.
6．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________．
解析：cos 2α－cos 3α＝－2sinsin＝－2sinsin＝2sinsin.
答案：2sinsin
7．sin·cos化为和差的结果是________．
解析：原式＝
＝cos(α＋β)＋sin(α－β)．
答案：cos(α＋β)＋sin(α－β)
8.＝________.
解析：原式＝＝＝.
答案：
9．求下列各式的值：
(1)sin 54°－sin 18°；
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°.
解：(1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°
＝2·＝
＝＝＝.
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°
＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°)
＝2××cos 26°＋＋cos 26°
＝－cos 26°＋＋cos 26°＝－.
10．求证：＝2cos α.
证明：因为左边＝
＝
＝＝2cos α＝右边，
所以原等式成立．
层级二 应试能力达标
1．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 原式＝[sin 90°＋sin(－50°)]－[cos 60°－cos(－40°)]＝－sin 50°－＋cos 40°＝.
2．函数y＝cos2＋sin2－1是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：选C ∵y＝＋－1
＝
＝－sin 2xsin＝sin 2x，
∴此函数是最小正周期为π的奇函数．
3．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β＝.
4．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是( )
A. B.
C. D．[0,1]
解析：选C ∵A＋B＝，∴B＝－A，
∴cos2A＋cos2B＝＋
＝1＋(cos 2A＋cos 2B)
＝1＋coscos(A－B)
＝－cos＋1，
∵－1≤cos≤1，
∴≤－cos＋1≤.
5．函数y＝sinsin的最小正周期T＝________.
解析：f(x)＝sincos x
＝
＝sin＋，
∴T＝＝π.
答案：π
6．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
解析：cos 60°＋cos 80°＋cos 40°＋cos 160°＝＋cos 80°＋2cos 100°cos 60°＝＋cos 80°－cos 80°＝.
答案：
7．已知f(x)＝cos2(x＋θ)－2cos θcos xcos(x＋θ)＋cos2θ，求f(x)的最大值、最小值和最小正周期．
解：∵f(x)＝cos2(x＋θ)－2×[cos(x＋θ)＋cos(x－θ)]cos(x＋θ)＋cos2θ
＝cos2(x＋θ)－cos2(x＋θ)－cos(x－θ)·cos(x＋θ)＋cos2θ
＝cos2θ－(cos 2θ＋cos 2x)
＝－cos 2θ－cos 2x
＝－cos 2x＋，
∴f(x)的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π.
8．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：(1)A＋C＝2B；(2)＋＝－.求cos的值．
解：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵－＝－2，
∴＋＝－2，
∴cos A＋cos C＝－2cos Acos C.
由和差化积与积化和差公式，得
2coscos＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
∴cos＝－.
化简，得4cos2＋2cos－3＝0，
∴＝0.
∵2cos＋3≠0，
∴2cos－＝0，
∴cos＝.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝2cos2＋1的最小正周期是( )
A．4π B．2π
C．π D.
解析：选B ∵y＝2cos2＋1＝＋2
＝cos x＋2，
∴函数的最小正周期T＝2π.
2．若tan α＝3，则的值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选D ＝＝2tan α＝2×3＝6.
3．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则cos的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由题意，sin α＝，
所以cos＝coscos α＋sinsin α＝.
4．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B.
C．[－1,1] D.
解析：选B f(x)＝sin x－
＝sin x－cos x＋sin x
＝
＝sin，
∵x∈R，∴x－∈R，
∴f(x)∈.
5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D cos 2α＝sin＝sin ＝2sincos，代入原式，得6sin·cos＝sin.∵α∈，∴cos＝，∴sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.
6．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－，则cos 2α＝( )
A. B．－
C．－ D．
解析：选A 因为cos α＋sin α＝－，α∈(0，π)，
所以sin 2α＝－，cos α<0，且α∈，
所以2α∈，所以cos 2α＝＝.
7．化简：的值为( )
A. B.
C. D．2
解析：选B 依题意得
＝
＝＝＝＝.
8．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β是第三象限角，则cos的值等于( )
A．± B．±
C．－ D．－
解析：选A 由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，
故sin β＝－.
∵β在第三象限，∴cos β＝－.
∴cos＝± ＝±＝±.
9．化简：的值为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：选D
＝
＝
＝＝＝＝1.
10．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 在△ABC中，tan＝sin C＝sin(A＋B)＝2sincos，∴2cos2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝，即△ABC为直角三角形．
11．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos(α－β)的值为( )
A. B．
C. D．－
解析：选B 因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，所以|a|＝|b|＝1.又a与b的夹角为，所以a·b＝1×1×cos＝.又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，所以cos(α－β)＝.
12．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵P(1,4)，∴|OP|＝7，
∴sin α＝，cos α＝.
又sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∵0<β<，∴β＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．设向量a＝，b＝，其中θ∈，若a∥b，则θ＝________.
解析：若a∥b，则sin θcos θ＝，
即2sin θcos θ＝1，
∴sin 2θ＝1，又θ∈，∴θ＝.
答案：
14．若tan＝3＋2，则＝________.
解析：由tan＝＝3＋2，得tan α＝，∴＝＝tan α＝.
答案：
15.＝________.
解析：原式＝
＝＝
＝＝＝－4.
答案：－4
16．若sincos＝－，则cos 4x＝________.
解析：∵sin＝－cos＝
－cos，
∴cos2＝，∴＝，
∴cos＝－，即sin 2x＝－，
∴cos 4x＝1－2sin22x＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知＜α＜，且cos＝，求cos α，sin α的值．
解：因为＜α＜，
所以0＜α－＜.
因为cos＝，
所以sin＝ ＝.
所以sin α＝sin
＝sincos ＋cossin
＝，
cos α＝cos
＝coscos－sinsin＝.
18．(本小题满分12分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求的值；
(2)求tan的值．
解：(1)由0<α<，sin α＝，得cos α＝，
∴＝
＝＝20.
(2)∵tan α＝＝，
∴tan＝＝＝.
19．(本小题满分12分)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解：(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，
sin取f(x)的最大值为1，
所以f(x)的最大值为.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋2cos＋1.
(1)求f的值．
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)因为f(x)＝2cos 2x＋2cos＋1
＝4coscos＋1＝－2cos＋1
＝－2cos＋1＝2sin＋1，
所以f＝2sin＋1＝＋1.
(2)由(1)，知f(x)＝2sin＋1，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
21．(本小题满分12分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos；
(2)tan(α＋β)．
解：(1)∵<α<π，0<β<，
∴<α－<π，－<－β<.
∴sin＝ ＝，
cos＝ ＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
(2)∵<<，
∴sin＝ ＝.
∴tan＝＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
22．(本小题满分12分)已知向量＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m＝(2,1)，n＝(0，－)，且m⊥(－n)．
(1)求向量；
(2)若cos(β－π)＝，0<β<π，求cos(2α－β)的值．
解：(1)∵＝(cos α，sin α)，
∴－n＝(cos α，sin α＋)．
∵m⊥(－n)，
∴m·(－n)＝0，
∴2cos α＋sin α＋＝0.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sin α＝－，cos α＝－，
∴＝.
(2)∵cos(β－π)＝，
∴cos β＝－.
又0<β<π，
∴sin β＝＝.
又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β
＝×＋×
＝＝.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十八)”
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课时跟踪检测（二十八） 三角函数的积化和差与和差化积
层级一 学业水平达标
1．cos 15° sin 105°＝( )
A. ＋ B. －
C. ＋1 D. －1
解析：选A cos 15°sin 105°＝[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]
＝[sin 120°－sin(－90°)]＝×＋×1＝＋.
2．化简的结果为( )
A．tan α B．tan 2α
C. D.
解析：选B 原式＝＝tan 2α.
3．函数f(x)＝2sinsin的最大值等于( )
A．2sin2 B．－2sin2
C．2cos2 D．－2cos2
解析：选A f(x)＝2sinsin
＝－[cos α－cos(x－α)]
＝cos(x－α)－cos α.
当cos(x－α)＝1时，
f(x)取得最大值1－cos α＝2sin2.
4．将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是( )
A．－sin(x＋y)sin(x－y) B．cos(x＋y)cos(x－y)
C．sin(x＋y)cos(x－y) D．－cos(x＋y)sin(x－y)
解析：选B cos2x－sin2y＝－
＝(cos 2x＋cos 2y)＝cos(x＋y)cos(x－y)．
5．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )
A．－m B．m
C．－ D.
解析：选A ∵cos2α－cos2β＝m，
∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－(cos 2α－cos 2β)
＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)
＝cos2β－cos2α＝－m.
6．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________．
解析：cos 2α－cos 3α＝－2sinsin＝－2sinsin＝2sinsin.
答案：2sinsin
7．sin·cos化为和差的结果是________．
解析：原式＝＝cos(α＋β)＋sin(α－β)．
答案：cos(α＋β)＋sin(α－β)
8.＝________.
解析：原式＝＝＝.
答案：
9．求下列各式的值：
(1)sin 54°－sin 18°；
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°.
解：(1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°
＝2·＝
＝＝＝.
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°
＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°)
＝2××cos 26°＋＋cos 26°
＝－cos 26°＋＋cos 26°＝－.
10．求证：＝2cos α.
证明：因为左边＝
＝
＝＝2cos α＝右边，
所以原等式成立．
层级二 应试能力达标
1．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 原式＝[sin 90°＋sin(－50°)]－[cos 60°－cos(－40°)]
＝－sin 50°－＋cos 40°＝.
2．函数y＝cos2＋sin2－1是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：选C ∵y＝＋－1
＝
＝－sin 2xsin＝sin 2x，
∴此函数是最小正周期为π的奇函数．
3．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β＝.
4．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是( )
A. B.
C. D．[0,1]
解析：选C ∵A＋B＝，∴B＝－A，
∴cos2A＋cos2B＝＋
＝1＋(cos 2A＋cos 2B)
＝1＋coscos(A－B)
＝－cos＋1，
∵－1≤cos≤1，
∴≤－cos＋1≤.
5．函数y＝sinsin的最小正周期T＝________.
解析：f(x)＝sincos x
＝
＝sin＋，
∴T＝＝π.
答案：π
6．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
解析：cos 60°＋cos 80°＋cos 40°＋cos 160°＝＋cos 80°＋2cos 100°cos 60°＝＋cos 80°－cos 80°＝.
答案：
7．已知f(x)＝cos2(x＋θ)－2cos θcos xcos(x＋θ)＋cos2θ，求f(x)的最大值、最小值和最小正周期．
解：∵f(x)＝cos2(x＋θ)－2×[cos(x＋θ)＋cos(x－θ)]cos(x＋θ)＋cos2θ
＝cos2(x＋θ)－cos2(x＋θ)－cos(x－θ)·cos(x＋θ)＋cos2θ
＝cos2θ－(cos 2θ＋cos 2x)
＝－cos 2θ－cos 2x
＝－cos 2x＋，
∴f(x)的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π.
8．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：
(1)A＋C＝2B；(2)＋＝－.
求cos的值．
解：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵－＝－2，
∴＋＝－2，
∴cos A＋cos C＝－2cos Acos C.
由和差化积与积化和差公式，得
2coscos＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
∴cos＝－.
化简，得4cos2＋2cos－3＝0，
∴＝0.
∵2cos＋3≠0，
∴2cos－＝0，
∴cos＝.
