1．1.1 角的概念的推广
预习课本P3～6，思考并完成以下问题
(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？
(2)角的旋转量的性质是什么？
(3)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？
(4)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？
1．任意角
(1)角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示：
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
(3)角的分类：
名称
定义
图示
正角
按照逆时针方向旋转而成的角
负角
按照顺时针方向旋转而成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
(4)角的旋转量的性质：
各角和的旋转量等于各角旋转量的和，即α－β可化为α＋(－β)．
2．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
[点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，包括角α本身构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)－30°是第四象限角．( )
(2)钝角是第二象限的角．( )
(3)终边相同的角一定相等．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．与45°角终边相同的角是( )
A．－45° B．225°
C．395° D．－315°
答案：D
3．下列说法正确的是( )
A．锐角是第一象限角 B．第二象限角是钝角
C．第一象限角是锐角 D．第四象限角是负角
答案：A
4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．
答案：－25° 395°
任意角的概念
[典例] 下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③小于90°的角为锐角；
④钝角比第三象限角小；
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确的结论为________(填序号)．
[解析] ①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；
④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；
⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．
[答案] ②
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
[活学活用]
若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A．120° B．－120°
C．－60° D．60°
解析：选B 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°.
终边相同角的表示
[典例] 写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角．
[解] 与75°角终边相同的角的集合为
S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．
当360°≤β<1 080°时，即360°≤k·360°＋75°<1 080°，
解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.
综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角．
1．终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°～360°范围内相应的角；
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
2．终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
[活学活用]
如图所示，求终边落在直线y＝x上的角的集合．
解：终边落在射线y＝x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}.
象限角的判断
[典例] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)由图①可知：－75°是第四象限角．
(2)由图②可知：855°是第二象限角．
(3)由图③可知：－510°是第三象限角．
象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
[活学活用]
若α是第四象限角，则180°－α一定在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵α与－α的终边关于x轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角．
而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到，
∴180°－α是第三象限角.
角，nα(n∈N＋)所在象限的确定
[典例] 已知α是第二象限角，求角所在的象限．
[解] 法一：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)．
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得
n·360°＋45°<这表明是第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得
n·360°＋225°<这表明是第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角．
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．
解：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角是第几象限角？
解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角的终边所在的区域，故角为第二或第四象限角．
倍角、分角所在象限的判定思路
(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．
(2)已知角α终边所在的象限，确定终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．
层级一 学业水平达标
1．－215°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
2．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
∴－330°与750°终边相同．
3．如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么角α( )
A．是第三象限角 B．是第四象限角
C．是第三或第四象限角 D．不属于任何象限角
解析：选D 因为点P在y轴的负半轴上，即角α的终边落在y轴的非正半轴上，因此角α不属于任何象限角．
4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{α|90°<α<180°}
B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}
解析：选D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．
5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°
解析：选B －885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.
6．在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；
②钝角一定大于锐角；
③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；
④2018°是第三象限角．
其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．
解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．
②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．
③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．
④2 018°＝5×360°＋218°与218°终边相同，是第三象限角，所以④正确．
答案：①③
7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.
解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.
又∵180°<α<360°，∴α＝270°.
答案：270°
8．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称且－360°＜α＜360°，则角α的值为________．
解析：如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°＜α＜360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°.
答案：－75°或285°
9．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角α的集合．
解：(1){α|k·360°＋135°＜α＜k·360°＋300°，k∈Z}．
(2){α|k·180°－60°<α10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：
(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．
解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.
层级二 应试能力达标
1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D ①－15°是第四象限角；
②180°<185°<270°是第三象限角；
③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；
④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，
所以四个结论都是正确的．
2．下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是( )
A．－37° B．143°
C．379° D．－143°
解析：选D 与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D.
3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上
解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，
∴α－β＝k·360°，k∈Z，
∴其终边在x轴的非负半轴上．
4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是( )
A．M∩N＝? B．M?N
C．N?M D．M＝N
解析：选C 对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N?M，故选C.
5．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．
解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得终边在阴影部分内的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}
6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．
解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．
答案：一或三
7．试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解：终边在直线y＝－x上的角的集合
S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OB上；
(2)终边落在直线OA上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在直线OA上的角的集合为
S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．
(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．
课件27张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(一)”
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课时跟踪检测（一） 角的概念的推广
层级一 学业水平达标
1．－215°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，
则－215°也是第二象限角．
2．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
∴－330°与750°终边相同．
3．如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么角α( )
A．是第三象限角 B．是第四象限角
C．是第三或第四象限角 D．不属于任何象限角
解析：选D 因为点P在y轴的负半轴上，即角α的终边落在y轴的非正半轴上，
因此角α不属于任何象限角．
4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{α|90°<α<180°}
B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}
解析：选D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°， k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．
5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°
解析：选B －885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.
6．在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；
②钝角一定大于锐角；
③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；
④2018°是第三象限角．
其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．
解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．
②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．
③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．
④2 018°＝5×360°＋218°与218°终边相同，是第三象限角，所以④正确．
答案：①③
7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.
解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.
又∵180°<α<360°，∴α＝270°.
答案：270°
8．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称且－360°＜α＜360°，则角α的值为________．
解析：如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°＜α＜360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°.
答案：－75°或285°
9．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角α的集合．
解：(1){α|k·360°＋135°＜α＜k·360°＋300°，k∈Z}．
(2){α|k·180°－60°<α10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：
(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．
解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，
∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.
(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.
层级二 应试能力达标
1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D ①－15°是第四象限角；
②180°<185°<270°是第三象限角；
③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；
④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，
所以四个结论都是正确的．
2．下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是( )
A．－37° B．143°
C．379° D．－143°
解析：选D 与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，
当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D.
3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上
解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，
∴α－β＝k·360°，k∈Z，
∴其终边在x轴的非负半轴上．
4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是( )
A．M∩N＝? B．M?N
C．N?M D．M＝N
解析：选C 对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，
即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；
对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，
即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．
∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N?M，故选C.
5．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．
解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得终边在阴影部分内的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}
6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．
解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，
按照k的奇偶性进行讨论．
当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．
故α是第一或第三象限角．
答案：一或三
7．试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解：终边在直线y＝－x上的角的集合
S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°， k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OB上；
(2)终边落在直线OA上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在直线OA上的角的集合为
S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．
(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．
