2019年数学人教B版必修4新设计同步(讲义+课件+课时跟踪检测):第一章 1.1 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

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名称 2019年数学人教B版必修4新设计同步(讲义+课件+课时跟踪检测):第一章 1.1 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标B版
科目 数学
更新时间 2019-04-28 08:51:15

文档简介


 
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
  预习课本P7~11,思考并完成以下问题
(1)1弧度的角是如何定义的?
 
 
(2)如何求角α的弧度数?
 
(3)如何进行弧度与角度的换算?
 
 
(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么?
 
  
1.度量角的两种制度
(1)角度制:
①定义:用度作单位来度量角的制度.
②1度的角:把圆周360等分,则其中1份所对的圆心角是1度.
(2)弧度制:
①定义:以弧度为单位来度量角的制度.
②1弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
③弧度数的计算公式:在半径为r的圆中,若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,则α=.
[点睛] 用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两个字可以省略不写,如2 rad的单位“rad”可省略不写,只写2.
2.角度与弧度的互化
(1)180°=π rad.
(2)常用的角度数与弧度数的互化:


30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
225°
270°
315°
360°
弧度
0







π




  3.弧长与扇形面积公式
   公式
度量制   
弧长公式
扇形面积公式
角度制
l=
S=
弧度制
l=α·r
(0<α<2π)
S=lr=αr2
(0<α<2π)
[点睛] (1)在应用扇形面积公式S=αr2时,要注意α的单位是“弧度”.
(2)在运用公式时,根据已知条件,选择合适的公式代入.
(3)在弧度制下的扇形面积公式S=lr,与三角形面积公式S=ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似,可类比记忆.
(4)由α,r,l,S中任意的两个量可以求出另外的两个量.

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)1弧度=1°.(  )
(2)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应.(  )
(3)用弧度制度量角,与圆的半径长短有关.(  )
答案:(1)× (2)√ (3)×
2.5弧度的角的终边所在的象限为(  )
A.第一象限       B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:D
3.半径为1,圆心角为的扇形的弧长是(  )
A. B.π
C. D.
答案:C
4.(1)=________;(2)-210°=________.
答案:(1)120° (2)-
角度与弧度的换算
[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度:
(1)72°;(2)-300°;(3)2;(4)-.
[解] (1)72°=72×=.
(2)-300°=-300×=-.
(3)2=2×°=°.
(4)-=-°=-40°.
角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×=度数.      
[活学活用]
 将下列角度与弧度进行互化:
(1)π;(2)-;(3)10°;(4)-855°.
解:(1)π=×180°=15 330°.
(2)-=-×180°=-105°.
(3)10°=10×=.
(4)-855°=-855×=-.
用弧度制表示终边相同的角
[典例] 已知角α=-2 018°.
(1)将α改写成φ+2kπ(k∈Z,0≤φ<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)在区间[-2π,4π)上找出与α终边相同的角.
[解] (1)因为α=-2 018°=-6×360°+142°,且142°=142×=,
所以α=-12π+,故α是第二象限角.
(2)与α终边相同的角可表示为θ=2kπ+,k∈Z,
又-2π≤θ<4π,所以k=-1,0,1,
将k的值分别代入θ=2kπ+,k∈Z,
得θ=-,,.
用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍,还要注意角度制与弧度制不能混用.     
 [活学活用]
1.将-1 125°表示成2kπ+α,0≤α<2π,k∈Z的形式为________.
解析:因为-1 125°=-4×360°+315°,
315°=315×=,
所以-1 125°=-8π+.
答案:-8π+
2.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
解:如题图,330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度,即-,
而75°=75×=,
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
扇形的弧长公式及面积公式
题点一:利用公式求弧长和面积
1.已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为.求:
(1)这个圆心角所对的弧长;
(2)这个扇形的面积.
解:(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为,所以半径r==,
所以这个圆心角所对的弧长l=×=.
(2)由(1)得扇形的面积S=××=.
题点二:利用公式求半径和弧度数
2.扇形OAB的面积是4 cm2,它的周长是8 cm,求扇形的半径和圆心角.
解:设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l cm,半径为r cm,
依题意有
由①②,得r=2,∴l=8-2r=4,θ==2.
故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad.
题点三:利用公式求扇形面积的最值
3.已知扇形的周长是30 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
解:设扇形的圆心角为α(0<α<2π),半径为r,面积为S,弧长为l,则l+2r=30,故l=30-2r,
从而S=lr=(30-2r)r=-r2+15r=-2+,
所以,当r= cm时,α=2,
扇形面积最大,最大面积为 cm2.
弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S=lr=|α|r2(其中l是扇形的弧长,r是扇形的半径,α是扇形的圆心角).
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度.    
层级一 学业水平达标
1.下列说法中,错误的是(  )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用弧度制度量角时,角的大小与圆的半径有关
解析:选D 由角度制和弧度制的定义,知A、B、C说法正确.用弧度制度量角时,角的大小与所对圆弧长与半径的比有关,而与圆的半径无关,故D说法错误.
2.扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形的面积是(  )
A.16π B.32π
C.16 D.32
解析:选C 弧长l=2r,4r=16,r=4,得l=8,
即S=lr=16.
3.角α的终边落在区间内,则角α所在的象限是(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选C -3π的终边在x轴的非正半轴上,-的终边在y轴的非正半轴上,故角α为第三象限角.
4.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(  )
A.π B.-π
C.π D.-π
解析:选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了周,转过的弧度为-×2π=-π.
5.下列表示中不正确的是(  )
A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}
B.终边在y轴上的角的集合是
C.终边在坐标轴上的角的集合是
D.终边在直线y=x上的角的集合是
解析:选D 终边在直线y=x上的角的集合应是.
6.-135°化为弧度为________,化为角度为________.
解析:-135°=-135×=-π,
π=×180°=660°.
答案:-π 660°
7.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为________.
解析:60°=,扇形的面积公式为S扇形=αr2=××()2=π.
答案:π
8.设集合M=,N={α|-π<α<π},则M∩N=________.
解析:由-π<-<π,得-∵k∈Z,∴k=-1,0,1,2,
∴M∩N=.
答案:
9.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.
解:设扇形的半径为R,弧长为l,则2R+l=4.
根据扇形面积公式S=lR,得1=l·R.
联立解得R=1,l=2,∴α===2.
10.把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角.
(1)-1 500°;(2)π;(3)-4.
解:(1)∵-1 500°=-1 800°+300°=-10π+,
∴-1 500°与终边相同,是第四象限角.
(2)∵π=2π+π,∴π与π终边相同,是第四象限角.
(3)∵-4=-2π+(2π-4),
∴-4与2π-4终边相同,是第二象限角.
层级二 应试能力达标
1.下列转化结果错误的是(  )
A.60°化成弧度是
B.-π化成度是-600°
C.-150°化成弧度是-π
D.化成度是15°
解析:选C 对于A,60°=60×=;对于B,-π=-×180°=-600°;对于C,-150°=-150×=-π;对于D,=×180°=15°.故C错误.
2.集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是(  )
解析:选C 当k=2m,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z;当k=2m+1,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z,所以选C.
3.若角α与角x+有相同的终边,角β与角x-有相同的终边,那么α与β间的关系为(  )
A.α+β=0         B.α-β=0
C.α+β=2kπ(k∈Z) D.α-β=+2kπ(k∈Z)
解析:选D ∵α=x++2k1π(k1∈Z),β=x-+2k2π(k2∈Z),∴α-β=+2(k1-k2)·π(k1∈Z,k2∈Z).
∵k1∈Z,k2∈Z,∴k1-k2∈Z.
∴α-β=+2kπ(k∈Z).
4.已知某机械采用齿轮传动,由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示),设主动轮M的直径为150 mm,从动轮N的直径为300 mm,若主动轮M顺时针旋转,则从动轮N逆时针旋转(  )
A. B.
C. D.π
解析:选B 设从动轮N逆时针旋转θ rad,由题意,知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等,所以×=×θ,解得θ=,选B.
5.若角α的终边与π角的终边相同,则在[0,2π]上,终边与角的终边相同的角是____________.
解析:由题意,得α=+2kπ(k∈Z),∴=+(k∈Z).令k=0,1,2,3,得=,,,.
答案:,,,
6.圆的半径变为原来的3倍,而所对弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________.
解析:设原来圆的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则l=αr.设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1,则α1===,故=.
答案:
7.已知α=1 690°.
(1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π).
解:(1)1 690°=4×360°+250°=4×2π+π.
(2)∵θ与α终边相同,∴θ=2kπ+π(k∈Z).
又θ∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+π<4π(k∈Z).
解得-∴θ的值是-π,-π,π,π.
8.如图,已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;
(2)求α所对的弧的长度l及阴影部分的面积S.
解:(1)由于圆O的半径为10,弦AB的长为10,
所以△AOB为等边三角形,∠AOB=,所以α=.
(2)因为α=,所以l=α·r=.
S扇=lr=××10=,
又S△AOB=×10×5=25,
所以S=S扇-S△AOB=-25=50.
课件24张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二)”
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课时跟踪检测(二) 弧度制和弧度制与角度制的换算
层级一 学业水平达标
1.下列说法中,错误的是(  )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用弧度制度量角时,角的大小与圆的半径有关
解析:选D 由角度制和弧度制的定义,知A、B、C说法正确.用弧度制度量角时,角的大小与所对圆弧长与半径的比有关,而与圆的半径无关,故D说法错误.
2.扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形的面积是(  )
A.16π B.32π
C.16 D.32
解析:选C 弧长l=2r,4r=16,r=4,得l=8,
即S=lr=16.
3.角α的终边落在区间内,则角α所在的象限是(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选C -3π的终边在x轴的非正半轴上,-的终边在y轴的非正半轴上,故角α为第三象限角.
4.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(  )
A. π B.-π
C. π D.-π
解析:选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了周,转过的弧度为-×2π=-π.
5.下列表示中不正确的是(  )
A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}
B.终边在y轴上的角的集合是
C.终边在坐标轴上的角的集合是
D.终边在直线y=x上的角的集合是
解析:选D 终边在直线y=x上的角的集合应是.
6.-135°化为弧度为________,化为角度为________.
解析:-135°=-135×=-π,
π=×180°=660°.
答案:-π 660°
7.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为________.
解析:60°=,扇形的面积公式为S扇形=αr2=××()2=π.
答案:π
8.设集合M=,N={α|-π<α<π},则M∩N=________.
解析:由-π<-<π,得-∵k∈Z,∴k=-1,0,1,2,
∴M∩N=.
答案:
9.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.
解:设扇形的半径为R,弧长为l,则2R+l=4.
根据扇形面积公式S=lR,得1=l·R.
联立解得R=1,l=2,∴α===2.
10.把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角.
(1)-1 500°;(2)π;(3)-4.
解:(1)∵-1 500°=-1 800°+300°=-10π+,
∴-1 500°与终边相同,是第四象限角.
(2)∵π=2π+π,∴π与π终边相同,是第四象限角.
(3)∵-4=-2π+(2π-4),
∴-4与2π-4终边相同,是第二象限角.
层级二 应试能力达标
1.下列转化结果错误的是(  )
A.60°化成弧度是
B.-π化成度是-600°
C.-150°化成弧度是-π
D.化成度是15°
解析:选C 对于A,60°=60×=;对于B,-π=-×180°=-600°;对于C,-150°=-150×=-π;对于D,=×180°=15°.故C错误.
2.集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是(  )
解析:选C 当k=2m,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z;
当k=2m+1,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z,所以选C.
3.若角α与角x+有相同的终边,角β与角x-有相同的终边,那么α与β间的关系为(  )
A.α+β=0         B.α-β=0
C.α+β=2kπ(k∈Z) D.α-β=+2kπ(k∈Z)
解析:选D ∵α=x++2k1π(k1∈Z),β=x-+2k2π(k2∈Z),
∴α-β=+2(k1-k2)·π(k1∈Z,k2∈Z).
∵k1∈Z,k2∈Z,∴k1-k2∈Z.
∴α-β=+2kπ(k∈Z).
4.已知某机械采用齿轮传动,由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示),设主动轮M的直径为150 mm,从动轮N的直径为300 mm,若主动轮M顺时针旋转,则从动轮N逆时针旋转(  )
A. B.
C. D.π
解析:选B 设从动轮N逆时针旋转θ rad,由题意,知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等,所以×=×θ,解得θ=,选B.
5.若角α的终边与π角的终边相同,则在[0,2π]上,终边与角的终边相同的角是____________.
解析:由题意,得α=+2kπ(k∈Z),∴=+(k∈Z).
令k=0,1,2,3,得=,,,.
答案:,,,
6.圆的半径变为原来的3倍,而所对弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________.
解析:设原来圆的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则l=αr.设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1,则α1===,故=.
答案:
7.已知α=1 690°.
(1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π).
解:(1)1 690°=4×360°+250°=4×2π+π.
(2)∵θ与α终边相同,∴θ=2kπ+π(k∈Z).
又θ∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+π<4π(k∈Z).
解得-∴θ的值是-π,-π,π,π.
8.如图,已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;
(2)求α所对的弧的长度l及阴影部分的面积S.
解:(1)由于圆O的半径为10,弦AB的长为10,
所以△AOB为等边三角形,∠AOB=,所以α=.
(2)因为α=,所以l=α·r=.
S扇=lr=××10=,
又S△AOB=×10×5=25,
所以S=S扇-S△AOB=-25=50.