1．2.1 三角函数的定义
预习课本P14～17，思考并完成以下问题
(1)任意角的三角函数的定义是什么？
(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？
(3)如何求三角函数的定义域？
(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？
1．三角函数的定义
(1)前提准备：①以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
②设角α的终边上任一点P(x，y)，OP＝r(r≠0)．
(2)定义：
①余弦函数：叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝.
②正弦函数：叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝.
③正切函数：叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝.
④正割函数：角α的正割sec α＝＝.
⑤余割函数：角α的余割csc α＝＝.
⑥余切函数：角α的余切cot α＝＝.
[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．
2．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
3．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角函数也是函数，它们都是以角为自变量的，以比值为函数值的函数．( )
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )
(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若sin α<0，tan α>0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
3．若角α的终边经过点P(2,3)，则有( )
A．sin α＝ B．cos α＝
C．sin α＝ D．tan α＝
答案：C
4．sin＝________，cos＝________.
答案： －
三角函数的定义及应用
[典例] 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．
[解] r＝ ＝5|a|.
若a＞0，则r＝5a，故sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.
若a＜0，则r＝－5a.同理可得sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
[活学活用]
1．设θ是第三象限角，P(－4，y)为其终边上的一点，且sin θ＝y，则tan θ等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D 因为sin θ＝＝y，
所以 ＝6，解得y＝±2，
又θ是第三象限角，所以y＝－2，
所以tan θ＝＝，故选D.
2．已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α，sec α，csc α，cot α的值．
解：直线x＋y＝0，即y＝－x，则直线通过第二和第四象限．
①在第二象限内取直线上的点(－1，)，
则r＝＝2，
所以sin α＝，则csc α＝＝；
cos α＝－，则sec α＝－2；
tan α＝－，则cot α＝－.
②在第四象限内取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，
所以sin α＝－，则csc α＝－；
cos α＝，则sec α＝2；
tan α＝－，则cot α＝－.
三角函数值符号的运用
[典例] (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)设α是第三象限角，且＝－cos，则所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．
(2)∵α是第三象限角，
∴2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ＋<
∴在第二、四象限．
又∵＝－cos ，∴cos <0.
∴在第二象限．
[答案] (1)D (2)B
对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．
[活学活用]
1．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B B．cos B与sin C
C．sin C与tan A D．tan与sin C
解析：选D ∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴tan＞0；
又∵0＜C＜π，∴sin C＞0.
2．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
解析：选C ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.
求三角函数的定义域
[典例] 求函数f(x)＝的定义域．
[解] 要使f(x)有意义，
则
所以
解得：2kπ＜x＜2kπ＋，k∈Z.
所以原函数的定义域为.
求三角函数定义域的方法
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得．对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
[活学活用]
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋.
解：(1)要使函数式有意义，需tan x≠0，解得x≠kπ(k∈Z)．
要使tan x有意义，需x≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠(k∈Z)．
所以函数的定义域为.
(2)由题意得
由cos x≥0得x的终边在y轴上，或第一象限，或第四象限，或在x轴非负半轴上．
由－tan x≥0，得tan x≤0，则角x的终边在第二象限，或第四象限，或在x轴上．
综上，角x的终边在第四象限或x轴非负半轴上．
所以函数的定义域为.
层级一 学业水平达标
1．若α＝，则α的终边与圆x2＋y2＝1的交点P的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设P(x，y)，∵角α＝在第二象限，
∴x＝cos ＝－，y＝sin ＝，∴P.
2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )
A. B．－ C．－ D．－
解析：选C 由题意得P(1，－)，它与原点的距离r＝＝2，所以sin α＝－.
3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都可能
解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，
∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．
4．代数式sin 120°cos 210°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝，
cos 210°＝－，∴sin 120°cos 210°＝×＝－，故选A.
5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于( )
A．± B．±
C．± D．±
解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r＝＝，所以sin α＝＝＝.或者取P(1，－2)，则r＝＝，所以sin α＝＝－＝－.
6．计算：tan ＝________，csc＝________.
解析：∵α＝，在α的终边上取一点P(a，a)，
∴r＝2a.
∴tan ＝，csc＝2.
答案： 2
7．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，则sin α＋cos α＝________.
解析：∵tan α＝＝－，∴a＝－12.
∴r＝ ＝13.
∴sin α＝－，cos α＝.
∴sin α＋cos α＝－.
答案：－
8．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与射线y＝3x(x≥0)重合，则cos θ＝________.
解析：根据题意，在射线上取一点P(1,3)，则x＝1，y＝3，r＝＝，所以cos θ＝＝.
答案：
9．已知角θ终边上有一点P(－，m)，且sin θ＝m(m≠0)，试求cos θ与tan θ的值．
解：点P(－，m)到坐标原点O的距离r＝，由三角函数的定义，得sin θ＝＝＝m，解得m＝±.∴r＝2.
当m＝时，cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝－.
当m＝－时，cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝.
10．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α和tan α的值．
解：设点M的坐标为(x1，y1)．
由题意，可知sin α＝－，即y1＝－.
∵点M在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1，
即x＋2＝1，解得x1＝或x2＝－.
∴cos α＝或cos α＝－，
∴tan α＝－1或tan α＝1.
层级二 应试能力达标
1．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有
即－22．设a<0，角α的终边与圆x2＋y2＝1的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ∵点P在圆x2＋y2＝1上，则|OP|＝1.
即＝1，解得a＝±.
∵a<0，∴a＝－.
∴P点的坐标为.
∴sin α＝－，cos α＝.
∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝.
3．若tan x<0，且sin x－cos x<0，则角x的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵tan x<0，∴角x的终边在第二、四象限，又sin x－cos x<0，∴角x的终边在第四象限．
4．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cos α＝－，则m＝( )
A．8 B．－8
C．4 D．－4
解析：选B 由题意r＝|OP|＝＝，故cos α＝＝－，解得m＝－8.
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
解析：|OP|＝.根据任意角三角函数的定义得，＝－ ，解得y＝±8.又∵sin θ＝－＜0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y＝－8.
答案：－8
6．设0≤θ＜2π，若sin θ＜0且cos 2θ＜0，则θ的取值范围是________．
解析：因为0≤θ＜2π且sin θ＜0，所以π＜θ＜2π.
又cos 2θ＜0，所以2kπ＋＜2θ＜2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k＝1，即θ的取值范围是＜θ＜.
答案：
7．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝ ＋tan x；(2)f(x)＝.
解：(1)由题意得
即
解得0(2)若使函数有意义，则需满足cos x≥0，
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为，k∈Z.
8．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限．
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，所以sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，
得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(三)”
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课时跟踪检测（三） 三角函数的定义
层级一 学业水平达标
1．若α＝，则α的终边与圆x2＋y2＝1的交点P的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设P(x，y)，∵角α＝在第二象限，
∴x＝cos ＝－，y＝sin ＝，∴P.
2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )
A. B．－
C．－ D．－
解析：选C 由题意得P(1，－)，它与原点的距离r＝＝2，所以sin α＝－.
3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都可能
解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．
4．代数式sin 120°cos 210°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝，
cos 210°＝－，∴sin 120°cos 210°＝×＝－，故选A.
5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于( )
A．± B．±
C．± D．±
解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r＝＝，所以sin α＝＝＝.或者取P(1，－2)，则r＝＝，所以sin α＝＝－＝－.
6．计算：tan ＝________，csc ＝________.
解析：∵α＝，在α的终边上取一点P(a，a)，
∴r＝2a.
∴tan ＝，csc＝2.
答案： 2
7．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，则sin α＋cos α＝________.
解析：∵tan α＝＝－，∴a＝－12.
∴r＝ ＝13.
∴sin α＝－，cos α＝.
∴sin α＋cos α＝－.
答案：－
8．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与射线y＝3x(x≥0)重合，则cos θ＝________.
解析：根据题意，在射线上取一点P(1,3)，则x＝1，y＝3，r＝＝，
所以cos θ＝＝.
答案：
9．已知角θ终边上有一点P(－，m)，且sin θ＝m(m≠0)，试求cos θ与tan θ的值．
解：点P(－，m)到坐标原点O的距离r＝，
由三角函数的定义，得sin θ＝＝＝m，解得m＝±.∴r＝2.
当m＝时，cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝－.
当m＝－时，cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝.
10．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α和tan α的值．
解：设点M的坐标为(x1，y1)．
由题意，可知sin α＝－，即y1＝－.
∵点M在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1，
即x＋2＝1，解得x1＝或x2＝－.
∴cos α＝或cos α＝－，
∴tan α＝－1或tan α＝1.
层级二 应试能力达标
1．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有即－22．设a<0，角α的终边与圆x2＋y2＝1的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A ∵点P在圆x2＋y2＝1上，则|OP|＝1.
即＝1，解得a＝±.
∵a<0，∴a＝－.
∴P点的坐标为.
∴sin α＝－，cos α＝.
∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝.
3．若tan x<0，且sin x－cos x<0，则角x的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵tan x<0，∴角x的终边在第二、四象限，
又sin x－cos x<0，∴角x的终边在第四象限．
4．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cos α＝－，则m＝( )
A．8 B．－8
C．4 D．－4
解析：选B 由题意r＝|OP|＝＝，
故cos α＝＝－，解得m＝－8.
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
解析：|OP|＝.根据任意角三角函数的定义得，＝－ ，解得y＝±8.又∵sin θ＝－＜0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y＝－8.
答案：－8
6．设0≤θ＜2π，若sin θ＜0且cos 2θ＜0，则θ的取值范围是________．
解析：因为0≤θ＜2π且sin θ＜0，所以π＜θ＜2π.
又cos 2θ＜0，所以2kπ＋＜2θ＜2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z.
因为π＜θ＜2π，所以k＝1，即θ的取值范围是＜θ＜.
答案：
7．求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝ ＋tan x；(2) f(x)＝.
解：(1)由题意得 即
解得0(2)若使函数有意义，则需满足cos x≥0，
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为，k∈Z.
8．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限．
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，所以sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，
得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
