1．2.2 单位圆与三角函数线
预习课本P19～21，思考并完成以下问题
(1)点的射影是如何定义的？
(2)三角函数线是如何定义的？
1．单位圆
把半径为1的圆叫做单位圆．
2．单位圆中角α的坐标
角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
3．点的射影及三角函数线
(1)点的射影
(2)三角函数线
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角函数线的长度等于三角函数值．( )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( )
(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在直线y＝x上 D．在直线y＝－x上
答案：B
3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )
A. B.
C. D.或
答案：D
4．sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”)
答案：>
三角函数线的作法
[典例] 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)70°；(2)－110°；(3).
[解] (1)如图①，有向线段MP为70°角的正弦线，有向线段OM为70°角的余弦线，有向线段AT为70°角的正切线．
(2)如图②，有向线段MP为－110°角的正弦线，有向线段OM为－110°角的余弦线，有向线段AT为－110°角的正切线．
(3)在平面直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图③所示，以x轴的非负半轴为始边作的终边，与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于点M，过单位圆与x轴正半轴的交点A作x轴的垂线，与OP的反向延长线交于点T，则有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线．
三角函数线的作法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．
[活学活用]
作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图所示，
－的正弦线为，余弦线为，正切线为.
三角函数线的应用
题点一：利用三角函数线比较大小
1．利用三角函数线比较下列各组数的大小：
①sin 与sin ；②tan 与tan .
解：如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin ＝，tan ＝；的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin ＝，tan ＝，
由图可见，||＞||，且与都与y轴正方向相同，所以①sin＞sin；||＞||，且与都与y轴正方向相反，所以②tan＜tan.
题点二：利用三角函数线解不等式
2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
解：(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
.
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
题点三：利用三角函数线求函数的定义域
3．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
解：由题意，得自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
即定义域为.
1．利用三角函数线比较大小的两个关注点
(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．
(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．
2．利用三角函数线解三角不等式的方法
正弦、余弦型不等式的解法
对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围
正切型不等式的解法
对于tan x≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围
3．利用三角函数线求函数的定义域
解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．
层级一 学业水平达标
1．角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
解析：选C 在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．
2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．直线y＝x上
B．直线y＝－x上
C．直线y＝x上或直线y＝－x上
D．x轴上或y轴上
解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y＝x上或直线y＝－x上．
3．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．a
C．c解析：选C 如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然
b＝cos(－1)＝OM>0，
c＝tan(－1)＝AT<0，
a＝sin(－1)＝MP<0，
由图可知MP>AT，∴c4．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MP0>MP
C．OM0>OM
解析：选D ∵是第二象限角，∴sin >0，cos <0，∴MP>0，OM<0，∴MP>0>OM.
5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定
解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.
6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．
解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为1.
答案：1
7．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是___________________________
________________________．
解析：如图，sin 1＝MP，cos 1＝OM.
显然MP>OM，即sin 1>cos 1.
答案：sin 1>cos 1
8．若θ∈，则sin θ的取值范围是________．
解析：由图可知sin＝，
sin＝－1，－1＜sin θ＜，
即sin θ∈.
答案：
9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)；(2)－.
解：(1)如图(1)所示，在单位圆中，，分别表示角的正弦线、余弦线、正切线．
(2)如图(2)所示，在单位圆中，，分别表示－角的正弦线、余弦线、正切线．
10．求下列函数的定义域．
(1)y＝lg.
(2)y＝.
解：(1)为使y＝lg有意义，则－sin x>0，所以sin x<，所以角x终边所在区域如图所示，
所以2kπ－所以原函数的定义域是
.
(2)为使y＝有意义，
则3tan x－≥0，所以tan x≥，
所以角x终边所在区域如图所示，
所以kπ＋≤x所以原函数的定义域是
.
层级二 应试能力达标
1．下列三个命题：
①与的正弦线相等；②与的正切线相等；
③与的余弦线相等．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B 和的正弦线关于y轴对称，大小相等，方向相同；和两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；和的余弦线方向不同．
2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：选D 当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝，
∴α必为钝角．
3．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos αC．sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线，很容易地观察出||<||<||，且都与坐标轴的正方向相同．即cos α4．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A. B.
C. D．[0，π]
解析：选A 如图，画出三角函数线sin x＝，cos x＝，由于sin＝cos，
sin ＝cos ，
为使sin x≤cos x成立，
则由图可得－≤x≤.
5．sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是________．
解析：由图可知：
cos <0，tan >0，sin >0.
∵||<||，且，与y轴正方向相同，
∴sin 故cos 答案：cos 6．若0<α<2π，且sin α<，cos α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是∪.
答案：∪
7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．
(1)sin θ<－；(2)－≤cos θ<.
解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即θ－＋2kπ<θ<－＋2kπ，k∈Z.
(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即θ2kπ－≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋，k∈Z.
8．若0<α<，证明：sin α<α证明：如图所示，连接AP，设弧AP的长为l，
∵S△OAP∴|OA|·|MP|<l·|OA|<|OA|·|AT|，
∴|MP|∴sin α<α 