【备考2019中考数学学案】第六单元 圆 专项训练

第六单元 圆
专 项 训 练
类型一 圆的基本性质的综合题
1.（2017·上海）如图，已知⊙O的半径长为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA，OC。
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B，C两点的距离。
2.（2018·深圳）如图，在⊙O中，BC=2，AB=AC，点D为AC上的动点，且cosB=。
（1）求AB的长度；
（2）求AD·AE的值；
（3）过点A作AH⊥BD于H，求证：BH=CD+DH。
类型二 切线的证明与相关计算
3.（2018·广西）如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD。
（1）求证：PG与⊙O相切；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD=OD，求OE的长。
4.（2018·十堰）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC 于点E，过D作GF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G。
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若tanC=2，求的值。
5.（2018·广安）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D。
（1）求证：∠PCA=∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，
若cos∠P=，CP=10，求BE的长。
类型三 阴影部分面积的计算
6.（2018·南宁）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，AB=2，则莱洛三角形（即阴影部分面积）为（ ）
A.π+ B.π－ C.2π－ D.2π－2
7.（2017·乌鲁木齐）用等分圆周的方法，在半径为1的圆中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为___________。
8.（2018·安顺）如图，C为半圆内一点,O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60o，∠BCO=90o，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2。（结果保留π）
9.（2018·扬州）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F。
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是AO的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长。
10.如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90o后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处。再将线段AF绕点F顺时针旋转90o得线段FG，连接EF，CG。
（1）求证：EF∥CG；
（2）求点C，点A在旋转过程中形成的AC与线段CG所围成的阴影部分的面积。
参考答案及解析
类型一 圆的基本性质的综合题
1.（1）证明:在等腰△AOB和等腰△AOC中，∵OA＝OA，AB＝AC，OB＝OC，
∴△AOB≌△AOC，∴底角∠B＝∠OAD。又∵∠ADO＝∠ADB，∴△OAD∽△ABD.
（2）解:如图，①当∠ODC＝90°时，∵BD⊥AC，OA＝OC，∴AD＝DC，∴BA＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形。
在Rt△OAD中，∵OA＝1，∠OAD＝30°，∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，∴BC＝AC＝2AD＝.
②当∠COD＝90°时，∠BOC＝90°，BC＝＝。
③∠OCD显然不能等于90°，此情况不存在。
综上所述，BC＝或。
2.（1）解:作AM⊥BC于点M.∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2。 BM＝CM＝BC＝1.
∵cosB＝，在Rt△AMB中，BM＝1.∴AB＝BM÷cosB＝.
（2）解:连接DC，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC.
∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC＋∠ABC＝180o，∵∠ACE＋∠ACB＝180°，
∴∠ADC＝∠ACE。又∵∠CAE为公共角，∴△EAC∽△CAD，
∴，∴AD·AE＝AC2＝（）2＝10.
（3）证明:在BD上取一点N，使得BN＝CD，在△ABN和△ACD中，
∵，△ABN≌△ACD（SAS），∴AN＝AD.
∵AH⊥BD，AN＝AD，∴NH＝DH.又∵BN＝CD，NH＝DH，
∴BH＝BN＋NH＝CD＋DH.
类型二 切线的证明与相关计算
3.（1）证明:连接OB，∵∠CBG＝∠A，∠BDC＝∠A，∴∠CBG＝∠BDC.
∵CD为直径，∴∠DBC＝90°，∠BDC＋∠BCD＝90°
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠BCD，∴∠OBG＝90°，∴PG与⊙O相切.
（2）解:∵EF⊥BC，DB⊥BC，∴EF∥DB，∴①，
在△DBE与△ACE中，∵∠BDC＝∠A，∠DEB＝∠AEC，∴△DBE∽△ACE。∴②，
由①×②，得，∴,又∵，∴，
∵CD＝2OC，∴，∴。
（3）解:∵PD＝OD，∠PBO＝90°，∴BD＝OD＝8，
在Rt△DBC中，BC＝＝8，又∵OD＝OB，
∴△DOB是等边三角形，∴∠DOB＝60°，∵∠DOB＝∠OBC＋∠OCB，OB＝OC，
∴∠OCB＝30°∴，，∴可设EF＝x，则EC＝2x，FC＝x，
∴BF＝8﹣x，在Rt△BEF中，BE2＝EF2＋BF2，∴100＝x2＋（8﹣x）2，
解得:x＝6±，∵6＋＞8，舍去，∴x＝6-，∴EC＝12-2，
∴OE＝8-（12-2）＝2- 4.
4.（1）证明:连接AD、OD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AC＝AB，∴CD＝BD。∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴FG是⊙O的切线。
（2）解:∵tanC＝＝2，BD＝CD，∴BD:AD＝1:2，
∵∠GDB＋∠ODB＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，∴∠GDB＝∠ODA.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠GDB＝∠GAD，∵∠G＝∠G，∴△GDB∽△GAD，
设BG＝a.∴，∴DG＝2a，AG＝4a，∴BG:GA＝1:4.
5.（1）证明:∵PC与⊙O相切于点C，∴∠PCA＋∠OCA＝90°。
∵AB是⊙O的直径，∴∠OCB＋∠OCA＝90°。∴∠PCA＝∠OCB.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC.∴∠PCA＝∠ABC.
（2）解:∵cos∠P＝＝，CP＝10，∴OP＝。
∴OC＝，∴AB＝15.∵AE∥PC，∴∠BAE＝∠P.
∵AB是⊙O的直径，∴∠E＝90°∴AE＝AB·cos∠BAE＝15×＝12.
∴BE＝＝9.
类型三 阴影部分面积的计算
6.D 7.π－
8.π 解析:∵∠BOC＝60°，△B'OC'是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B'OC′＝60°，△BCO≌△BCO，∴∠B'OC＝60°，∠C'B'O＝30°，∴∠B'OB＝120°，
∵AB＝2cm，∴OB＝1cm，OC'＝，∴B'C'＝，
∴S扇形B'OB＝，S扇形C'OC=，
∴阴影部分面积＝S扇形B'OB＋S△B'C'O－S△BCO－S扇形C'OC＝S扇形B'OB－S扇形C'OC＝。
9.（1）证明:过点O作AC的垂线OD，垂足为D.
∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，∴OB＝OC，∠BAO＝∠CAO.
∵OE⊥AB，OD⊥AC，∴OE＝OD.∵OE为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线。
（2）解:∵点F是AO的中点，∴AO＝2OF。∵OF＝OE＝3，∴AO＝6.
在Rt△AOE中，cos∠AOE＝＝＝，∴∠AOE＝60°，
∴AE＝OE× tan∠AOE＝3×tan60°＝3。
∴阴影部分的面积＝×AE×EO×3×3。
（3）解:BP＝.
10.（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°。
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△ABF，∴△ABF≌△CBE.
∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC。∴∠AFB＋∠FAB＝90°，
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG.
∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB.∴EC∥FG。∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG.
∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG。
（2）解:∵△ABF≌△CBE，∴FB＝BE＝AB＝1.∴AF＝＝。
在△FEC和△CGF中，∵EC＝FG，∠ECF＝∠GFC，FC＝CF，∴△FEC≌△CGF.∴S△FEC＝S△CGF。
∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG。