【备考2019中考数学学案】第七单元 图形与变换 第2节 投影、视图

第七单元 图形与变换
第2节 投影、视图
考 点 知 识 清 单
考点一 立体图形与平面图形
1.直棱柱展开图
直棱柱的上、下底面是全等的多边形，各个侧面都是矩形，侧棱数、侧面数都等于底面的边数，相邻的两条侧棱①___________。
2.正方体的展开图
（1）一四一型
（2）二三一型
（3）二二二型
（4）三三型
【温馨提示】1.点动成线，线动成面，面动成体。
2.常见的立体图形有:正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱。
3.要得到正方体的展开图，需要把正方体剪开7条棱。
考点二 投影
定义
一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的②_________叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
中心
投影
定义
由③_______（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。
性质
（1）在灯光下，等高的物体垂直于地面放置时，离点光源越近，物体的影子越④______；（2）在灯光下，等长度的物体平行于地面放置时，离点光源越近，物体的影子越⑤__________。
平行
投影
定义
由⑥_______形成的投影叫做平行投影。
正投影
在平行投影中，投影线⑦________投影面而产生的投影叫正投影。
性质
平行形不变，倾斜形改变，垂直成⑧___________。
【温馨提示】1，线段的正投影:线段平行于投影面时，线段的长度不变；线段既不平行，又不垂直于影面时，线段变短；线段垂直于投影面时，投影成一个点。
2.平面图形的正投影:当平面图形与投影面平行时，平面图形的形和大小不变；当平面多形与投影面既不平行，又不垂直时，平面图形的形状发生变化；当平面形形与投影面垂直时，平面图形的形状为一条线段。
考点三 三视图
主视图
在正面内得到的前向后观察物体的视图。
俯视图
在水平面内得到的⑨__________观察物体的视图。
左视图
在侧面得到的⑩___________观察物体的图。
【温馨提示】1.画物体的三视时，看得见部分的廓线用实线，看不见部分的是廓线用虚线。
2.主视与俯视圈的“长对正”，主视图与左视图的“高平齐”，左视图与俯视圈的“宽相等”
考点四 尺规作图
1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
2.初中阶段共有5种基本作图:（1）作一条线段等于已知线段，（2）作一个角等于已知角，（3）作已知角的平分线，（4）作已知线段的垂直平分线，（5）过一点作已知直线的垂线，要掌握这五种基本作图的方法和步骤，一些复杂的尺规作图问题可以分解成以上基本作图来完成。
题 型 归 类 探 究
类型一 展开与折叠（易错点）
【典例1】（2018·无锡）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（ ）
【思路导引】正方体的展开图共有11种，可按下列“口诀”记忆:“一线不过四，田、凹应弃之，相间、“Z”端是对面，间二、拐角邻面知”。
【自主解答】
【方法技巧】根据正方体展开图的特点，判断两个面是不是为对面的根据是:展开图的对面之间不能有公共边或公共顶点，通过空间想象得出答案。
【变式训练】
1.（2018·内江）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）
A.认 B.真 C.复 D.习
类型二 投影（难点）
【典例2】（2015·陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场上散步，小聪问小军:“你有多高？”小军一时语塞.小聪思考片刻后，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高，于是，两人在灯下沿直线NQ移动如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长。（结果精确到0.01米）
【思路导引】先证明△CAD∽△MND，利用相似三角形的性质求得MN＝9.6米，再证明△EFB∽△MFN，即可解答。
【自主解答】
【方法技巧】（1）平行投影的特点:①平行投影中，同一时刻的光线是平行的；②平行投影的物高与影长对应成比例.（2）中心投影的特点:①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短。
【变式训练】
2.（2017·贺州）小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是（ ）
类型三 简单几何体的三视图（高频点）
【典例3】（1）（2018·聊城）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）

（2）（2018·通辽）如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为6的等边三角形，俯视图是直径为6的圆，则此几何体的全面积是（ ）
A.18π B.24π
C.27π D.42π
【思路导引】（1）从几何体的上面看，把能看到的轮廓用实线勾勒出来，看不见的部分的轮廓用虚线画出；（2）由几何体的三视图判断几何体为圆锥，再进一步算出此几何体的全面积。
【自主解答】
【方法技巧】常见视图与几何体对应关系:
视图
可能的形状
圆
无圆心
球、圆柱
有圆心
圆锥
三角形
圆锥或三棱柱
长方形
柱体（圆柱或棱柱）
【变式训练】
3.（2018·荆门）某几何体由若干大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（ ）
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
类型四 尺规作图
【典例4】（2018·贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.如图，已知∠a和线段a，求作:△ABC，使∠A＝∠a，∠C＝90o，AB＝a。
【思路导引】先作∠A等于已知角∠a，再在角的一边上截取线段AB＝a，再过B点作角的另一边的垂线，垂足为C，则△ABC即为所求。
【自主解答】
【方法技巧】应用尺规作图应注意的问题:（1）在尺规作图中，要保留作图的痕迹，若题目中不要求写出作法，要注明哪个图形是要求作的图形；（2）在尺规作图中，基本作图不要求叙述作图过程。
【变式训练】
4.（2017·自贡）两个城镇A、B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A、B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P.（不要求写作法，保留作图痕迹.）
中 考 真 题 回 放
考点一 展开与折叠
1.（2018·陕西）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A.正方体
B.长方体
C.三棱柱
D.四棱锥
2.（2018·大庆）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A.庆 B.力
C.大 D.魅
3.（2016·枣庄）有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（ ）
A.白 B.红 C.黄 D.黑
4.（2015·聊城）图1是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，第4格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A.梦 B.水 C.城 D.美
5.（2017·绥化）正方形的正投影不可能是（ ）
A.线段 B.矩形 C.正方形 D.梯形
考点二 投影与三视图
6、（2018·济南）如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
7.（2018·潍坊）如图所示的几何体的左视图是（ ）
8.（2018·烟台）由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙，如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为（ ）
A.9 B.11 C.14 D.18
9.（2018·临沂）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位:cm）.根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（ ）
A. 12 cm2 B.（12＋π）cm2
C.6πcm2 D.8πcm2
10.（2018·菏泽）下图是两个等直径圆柱构成的“T”形管道，其左视图是（ ）
11.（2018·济宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A.24＋2π B.16＋4π C.16＋8π D.16＋12π
12.（2018·青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块、它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有__________种。
13.（2018·日照）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位:cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是____________。
考点三 尺规作图
14.（2018·河北）尺规作图要求，Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、做线段的垂直平分线Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:
则正确的配对是
A.①Ⅳ，②Ⅱ，③Ⅰ，④Ⅲ B.①Ⅳ，②Ⅲ，③Ⅱ，④Ⅰ
C.①Ⅱ，②Ⅳ，③Ⅲ，④Ⅰ D.①Ⅳ，②Ⅰ、③Ⅱ，④Ⅲ
15.（2018·潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是:（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC.下列说法不正确的是（ ）
A.∠CBD＝30° B.S△BDC＝AB2
C.点C是△ABD的外心 D. sin2A＋cos2D＝1
16.（2018·青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
已知:如图，∠ABC，射线BC上一点D.
求作:等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等。
参考答案及解析
【题型归类究】
【典例1】
【自主解答】C 解析，选项A、B，因为折叠后侧面有个面重叠，两侧中的一面；选项D，因为折叠后，侧面有一个面重合，缺少一个底面，故也不能围成正方体。
【变式训练】1. B
【典例2】
【自主解答】 解：由题意，得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，
∴△CAD∽△MND，∴，∴，∴MN=9.6米。
又∵∠EFB=∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN，∴，
∴，∴EB≈1.75（米）。∴小军身高约为1.75米
【变式训练】2. B
【典例3】
【自主解答】（1）D 解析:从左边看是高度不同的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线。
（2）C 解析:这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为6，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的全面积＝×6π×6＋π×32＝18π＋9π＝27π。
【变式训练】3. B 解析:求这个几何体的小正方体最少个数，可以让同一平面内的小正方体只有一条
棱重合、由此可想象出其俯视图如图所示，数字表示对应位置上小正方体的个数，因此最少有5个小
正方体。
【典例4】
【自主解答】解:所作图形如下:
【变式训练】4.解：如图所示，点P即为所求。
【中考真题回放】
1.C 2.A 3.C 4.A 5.D 6.D 7.D 8.B 9.C 10.B
11.D 解析:三视图中，主视图与左视图都是长方形，所以几何体是柱体，又因为俯视图是半圆，所以几何体是半圆柱体，如图所示，该几何体的表面积等于两个半圆、一个正方形、一个曲面的面积之和，由主视图知，底面圆的直径为4，所以两个底面的面积和为π×22＝4π，正方形的面积就是主视图的面积，即为4×4＝16，曲面展开后是一个长方形，它的一边长为底面的弧长，即为π×2＝2π，相邻的另一边长由主视图知为4，所以曲面的面积为2π×4＝8n，于是该几何体的表面积为＝4π＋16＋8π＝16＋12π。
12. 10 解析:已知该几何体由16个小正方体组成，且最下面一层摆放了9个小立方块.根据主视图和左视图，可知俯视图中有两个位置小正方体的个数是确定的，分别为4个和3个，其他位置小正方体的个数为1或2，共10种情形。
13. 4πcm2 解析:观察三视图确定此几何体为圆锥，由左视图知此圆锥的底面半径为1，圆锥高为2，由勾股定理计算母线长为3，所以此圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝πrl＋πr2＝π×1×3＋π×12＝3π＋π＝4πcm2.
14.D
15.D 解析:由作法可知△ABC是等边三角形，点A，B，D在以点C为圆心的圆上，AD为直径，∴∠ABD＝90°，又∠A＝60°，∴∠D＝30°，∴∠CBD＝∠D＝30°，在Rt△ABD中，BD＝AB· tan60o＝AB，∴S△ABD＝AB·BD＝ 2AB·AB＝AB2，
∴S△BDC＝S△ABD＝AB2.sin2A＋ cos2D＝sin260o+cos230o＝，故A、B、C正确，D错误。
16.作法:（1）作∠ABC的平分线BE；（2）作线段BD的垂直平分线交BE于点P；
（2）连接PD，则△PBD为所求作的等腰三角形。