预习课本P27～32，思考并完成以下问题
(1)如何求两个数的最大公约数？
(2)秦九韶算法的原理是什么？
1．“更相减损之术”
更相减损之术就是对于给定的两个数，以两数中较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成一对新数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差和较小的数相等，此时相等的两数便为两个原数的最大公约数．
2．割圆术
割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中所采用的用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π的方法．
3．秦九韶算法
把一元n次多项式函数P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写：
P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，
令vk＝(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k，
则递推公式为其中k＝1,2，…，n.
这样求一元n次多项式P(x)的值就转化为求n个一次多项式的值，这种求n次多项式值的方法就叫做秦九韶算法．
1．用更相减损术求98与63的最大公约数时，需做减法的次数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，∴共进行6次减法．
2．225与150的最大公约数是( )
A．15 B．30
C．45 D．75
解析：选D 因为(225,150)→(75,150)→(75,75)，所以225与150的最大公约数是75.
3．已知多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，∴f(－2)＝－.
4．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是________π的实际值．
解析：用割圆术法求出的是π的不足近似值．
答案：小于
求最大公约数
[典例] 求261和319的最大公约数．
[解] 319－261＝58，
(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)，所以319与261的最大公约数是29.
“更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n(m>n)．
第二步，计算m－n所得的差k.
第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示．
第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
[活学活用]
1．用更相减损之术求36与135的最大公约数，需做减法的次数是________．
解析：(135,36)→(99,36)→(63,36)→(36,27)→(27,9)→(18,9)→(9,9)，故共进行了6次减法运算．
答案：6
2．求378与90的最大公约数．
解：法一：378－90＝288，
288－90＝198，
198－90＝108，
108－90＝18，
90－18＝72，
72－18＝54，
54－18＝36，
36－18＝18，
∴378与90的最大公约数是18.
法二：378＝90×4＋18，
90＝18×5，
∴378与90的最大公约数是18.
用秦九韶算法求多项式的值
[典例] 用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．
[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
而x＝2，所以有
v0＝8，
v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42，
v3＝42×2＋3＝87，
v4＝87×2＋0＝174，
v5＝174×2＋0＝348，
v6＝348×2＋2＝698，
v7＝698×2＋1＝1 397.
所以当x＝2时，多项式的值为1 397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题
(1)要正确将多项式的形式进行改写．
(2)计算应由内向外依次计算．
(3)当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．
[活学活用]
用秦九韶算法写出当x＝3时，f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值．
解：因为f(x)＝((((2x＋0)x－4)x＋3)x－5)x＋1，
v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3－4＝14，v3＝14×3＋3＝45，v4＝45×3－5＝130，v5＝130×3＋1＝391，
所以f(3)＝391.
[层级一 学业水平达标]
1．78与36的最大公约数是( )
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：选D (78,36)→(42,36)→(36,6)→…→(6,6)．
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时应把f(x)变形为( )
A．x3－(3x＋2)x－11
B．(x－3)x2＋(2x－11)
C．(x－1)(x－2)x－11
D．((x－3)x＋2)x－11
解析：选D f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－11.
3．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，则f(10)的值为________．
解析：由秦九韶算法，得
f(x)＝x3－2x2－5x＋6
＝(x2－2x－5)x＋6
＝((x－2)x－5)x＋6.
当x＝10时，
f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6
＝(8×10－5)×10＋6
＝75×10＋6
＝756.
答案：756
4．求168,54,264的最大公约数．
解：为简化运算，先将三个数用2约简为84,27,132.
由更相减损之术，先求84与27的最大公约数．
84－27＝57,57－27＝30,30－27＝3，
27－3＝24,24－3＝21,21－3＝18,18－3＝15，
15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6,6－3＝3，
故84与27的最大公约数是3.
再求3与132的最大公约数．
易知132＝3×44，所以3与132的最大公约数就是3.
故84,27,132的最大公约数是3，
即168,54,264的最大公约数是6.
[层级二 应试能力达标]
1．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B 459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x5＋4x4－3x2＋x－1, 当x＝3时的值时，先算的是( )
A．3×3 B．0.5×35
C．0.5×3＋4 D．(0.5×3＋4)×3
解析：选C 把多项式表示成如下形式：
f(x)＝((((0.5x＋4)x＋0)x－3)x＋1)x－1, 按递推方法，由内往外，先算0.5x＋4的值．
3．4 830与3 289的最大公约数为( )
A．23 B．35
C．11 D．13
解析：选A 4 830＝1×3 289＋1 541；
3 289＝2×1 541＋207；
1 541＝7×207＋92；
207＝2×92＋23；92＝4×23；
∴23是4 830与3 289的最大公约数．
4．根据递推公式其中k＝1,2，…，n，可得当k＝2时，v2的值为( )
A．v2＝anx＋an－1
B．v2＝(anx＋an－1)x＋an－2
C．v2＝(anx＋an－1)x
D．v2＝anx＋an－1x
解析：选B 根据秦九韶算法知v0＝an，v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2＝(anx＋an－1)x＋an－2.
5．用“更相减损之术”求128与48的最大公约数，第一步应为________________．
解析：先求128－48的值，即128－48＝80.
答案：128－48＝80
6．117与182的最大公约数等于________．
解析：(117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大公约数为13.
答案：13
7．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入________．
解析：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，
f(x)＝(…((anx＋an －1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
f1＝an；k＝1，f2＝f1x0＋an－1；
k＝2，f3＝f2x0＋an－2；…；
归纳得第k次fk＋1＝fkx0＋an－k.故A处应填an－k.
答案：an－k
8．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．
解：将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
9．现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？
解：为了使所焊接正方体的体积最大，需找出两种规格的钢筋的最大公约数．使用更相减损之术：(5.6,2.4)→(3.2,2.4)→(0.8,2.4)→(0.8,1.6)→(0.8,0.8)．因此将正方体的棱长设计为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费材料．
课件22张PPT。
“层级二 应试能力达标”见“课时跟踪检测(八)”
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课时跟踪检测（八） 中国古代数学中的算法案例
1．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B 459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x5＋4x4－3x2＋x－1, 当x＝3时的值时，先算的是( )
A．3×3 B．0.5×35
C．0.5×3＋4 D．(0.5×3＋4)×3
解析：选C 把多项式表示成如下形式：
f(x)＝((((0.5x＋4)x＋0)x－3)x＋1)x－1, 按递推方法，由内往外，先算0.5x＋4的值．
3．4 830与3 289的最大公约数为( )
A．23 B．35
C．11 D．13
解析：选A 4 830＝1×3 289＋1 541；
3 289＝2×1 541＋207；
1 541＝7×207＋92；
207＝2×92＋23；92＝4×23；
∴23是4 830与3 289的最大公约数．
4．根据递推公式其中k＝1,2，…，n，可得当k＝2时，v2的值为( )
A．v2＝anx＋an－1
B．v2＝(anx＋an－1)x＋an－2
C．v2＝(anx＋an－1)x
D．v2＝anx＋an－1x
解析：选B 根据秦九韶算法知v0＝an，v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2＝(anx＋an－1)x＋an－2.
5．用“更相减损之术”求128与48的最大公约数，第一步应为________________．
解析：先求128－48的值，即128－48＝80.
答案：128－48＝80
6．117与182的最大公约数等于________．
解析：(117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大公约数为13.
答案：13
7．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入________．
解析：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，
f(x)＝(…((anx＋an －1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
f1＝an；k＝1，f2＝f1x0＋an－1；
k＝2，f3＝f2x0＋an－2；…；
归纳得第k次fk＋1＝fkx0＋an－k.故A处应填an－k.
答案：an－k
8．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．
解：将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
9．现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？
解：为了使所焊接正方体的体积最大，需找出两种规格的钢筋的最大公约数．使用更相减损之术：(5.6,2.4)→(3.2,2.4)→(0.8,2.4)→(0.8,1.6)→(0.8,0.8)．因此将正方体的棱长设计为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费材料．
