回扣验收特训（三） 概 率
1．同时掷3枚质地均匀的骰子，记录3枚骰子的点数之和，则该试验的基本事件总数是( )
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选B 点数之和可以为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18，共16个基本事件．
2．某娱乐栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到带苦脸的商标就不获奖．参加这个游戏的观众有三次翻商标的机会．某观众前两次翻商标均获若干奖金，如果翻过的商标不能再翻，那么这位观众第三次翻商标获奖的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 该观众翻两次商标后，还有18个商标，其中有3个含奖金，所以第三次翻商标获奖的概率为P＝＝.
3．欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 本题显然是几何概型，用A表示事件“这滴油正好落入孔中”，可得P(A)＝＝＝.
4．掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M＝{一次正面向上，一次反面向上}，事件N＝{至少一次正面向上}．则下列结果正确的是( )
A．P(M)＝，P(N)＝
B．P(M)＝，P(N)＝
C．P(M)＝，P(N)＝
D．P(M)＝，P(N)＝
解析：选B 掷一枚质地均匀的硬币两次，所有基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，所以P(M)＝＝，P(N)＝.
5．在全运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，所以选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.
6．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 基本事件为6×6＝36，P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P＝＝.
7．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只做过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中做过标记的有2只，估算该保护区共有鹅喉羚________只．
解析：设保护区内共有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以≈，解得x≈160 000.
答案：160 000
8．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈.若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．
解析：当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数；当a取其他数时，b都可以取3个数，所以他们“心有灵犀”的情况共有28种，又基本事件总数为100，所以所求的概率为＝0.28.
答案：0.28
9．在一棱长为6 cm的密闭的正方体容器内，自由飘浮着一气泡(大小忽略不计)，则该气泡距正方体的顶点不小于1 cm的概率为________．
解析：距离顶点小于1 cm的所有点对应的区域可构成一个半径为1 cm的球，其体积为，正方体的体积为216，故该气泡距正方体的顶点不小于1 cm的概率为1－.
答案：1－
10．一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则a＋b能被3整除的概率．
解：把一颗骰子抛掷2次，共有36个基本事件．设“a＋b能被3整除”为事件A，有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12个．
P(A)＝＝.
11．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，此方程有实根的条件是a≥b.
从两组数中各取数一个数的所有的基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个(其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值)，事件A包含的基本事件有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共9个．故P(A)＝＝.
12．如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．
(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
(2)求这3点与原点O共面的概率．
解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种；y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种；z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种．
所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共4＋4＋4＋8＝20种．
(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝＝.
(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝＝.
复习课(三) 概 率
古典概型
古典概型是命题的热点，主要考查古典概型概率的求法，常与互斥事件、对立事件结合在一起考查．也有时与抽样方法交汇命题．主要以选择题、填空题为主．有时也出解答题，属中低档题．
1．互斥事件与对立事件的概率
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
(2)当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，当事件A与B对立时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．
(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：
①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；
②先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
2．古典概型的求法
对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．
[典例] 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
[解] 甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示．
(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
从中选出的2名教师性别相同的结果有：
(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，
所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．
所以，选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝＝.
[类题通法]
解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
1．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P＝.
2．随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3 000名学生的体重发育评价情况，得下表：
偏痩
正常
肥胖
女生/人
300
865
y
男生/人
x
885
z
已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15.
(1)求x的值；
(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？
(3)已知y≥243，z≥243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．
解：(1)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15，可知＝0.15，所以x＝450.
(2)由题意，可知肥胖学生人数为y＋z＝500(人)．设应在肥胖学生中抽取m人，则＝.所以m＝10.
即应在肥胖学生中抽10名．
(3)由题意，可知y＋z＝500，且y≥243，z≥243，满足条件的基本事件如下：
(243,257)，(244,256)，…，(257,243)，共有15组．
设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y≤z，满足条件的(y，z)的基本事件有：(243,257)，(244,256)，…，(250,250)，共有8组，所以P(A)＝.
所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为.
几何概型
题型多为选择题和填空题，主要涉及长度型、面积型以及体积型的几何概率模型．属低档题．
(1)几何概型满足的两个特点：①等可能性；②无限性．
(2)几何概型的概率求法公式
P(A)＝.
[典例] (1)已知平面区域D1＝，D2＝.在区域D1内随机选取一点P，则点P恰好取自区域D2的概率是( )
A. B.
C. D.
(2)把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为________．
[解析] (1)因区域D1和D2的公共部分是一个半径为2的圆的，从而所求概率P＝＝，故选C.
(2)将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于木棒长度的区域内，故所求概率为2×＝.
[答案] (1)C (2)
[类题通法]
几何概型问题的解题方法
(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)＝求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．
1．如图，两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P1，P2，则P1，P2的大小关系是( )
A．P1＝P2 B．P1＞P2
C．P1＜P2 D．无法比较
解析：选A 由题意知正方形的边长为2a.左图中圆的半径为正方形边长的，故四个圆的面积和为πa2，右图中圆的半径为正方形边长的一半，圆的面积也为πa2，故P1＝P2.
2．已知区域E＝{(x，y)|0≤x≤3,0≤y≤2}，F＝{(x，y)|0≤x≤3,0≤y≤2，x≥y}，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为________．
解析：依区域E和区域F的对应图形如图所示．
其中区域E的面积为3×2＝6，区域F的面积为×(1＋3)×2＝4，所以向区域E内随机投掷一点，该点落入区域F内的概率为P＝＝.
答案：
3．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 不等式－1≤log≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.
1．同时掷3枚质地均匀的骰子，记录3枚骰子的点数之和，则该试验的基本事件总数是( )
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选B 点数之和可以为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18，共16个基本事件．
2．某娱乐栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到带苦脸的商标就不获奖．参加这个游戏的观众有三次翻商标的机会．某观众前两次翻商标均获若干奖金，如果翻过的商标不能再翻，那么这位观众第三次翻商标获奖的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 该观众翻两次商标后，还有18个商标，其中有3个含奖金，所以第三次翻商标获奖的概率为P＝＝.
3．欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 本题显然是几何概型，用A表示事件“这滴油正好落入孔中”，可得P(A)＝＝＝.
4．掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M＝{一次正面向上，一次反面向上}，事件N＝{至少一次正面向上}．则下列结果正确的是( )
A．P(M)＝，P(N)＝
B．P(M)＝，P(N)＝
C．P(M)＝，P(N)＝
D．P(M)＝，P(N)＝
解析：选B 掷一枚质地均匀的硬币两次，所有基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，所以P(M)＝＝，P(N)＝.
5．在全运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，所以选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.
6．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 基本事件为6×6＝36，P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P＝＝.
7．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只做过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中做过标记的有2只，估算该保护区共有鹅喉羚________只．
解析：设保护区内共有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以≈，解得x≈160 000.
答案：160 000
8．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈.若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．
解析：当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数；当a取其他数时，b都可以取3个数，所以他们“心有灵犀”的情况共有28种，又基本事件总数为100，所以所求的概率为＝0.28.
答案：0.28
9．在一棱长为6 cm的密闭的正方体容器内，自由飘浮着一气泡(大小忽略不计)，则该气泡距正方体的顶点不小于1 cm的概率为________．
解析：距离顶点小于1 cm的所有点对应的区域可构成一个半径为1 cm的球，其体积为，正方体的体积为216，故该气泡距正方体的顶点不小于1 cm的概率为1－.
答案：1－
10．一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则a＋b能被3整除的概率．
解：把一颗骰子抛掷2次，共有36个基本事件．设“a＋b能被3整除”为事件A，有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12个．
P(A)＝＝.
11．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，此方程有实根的条件是a≥b.
从两组数中各取数一个数的所有的基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个(其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值)，事件A包含的基本事件有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共9个．故P(A)＝＝.
12．如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．
(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
(2)求这3点与原点O共面的概率．
解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种；y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种；z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种．
所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共4＋4＋4＋8＝20种．
(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝＝.
(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝＝.
(时间120分钟 满分160分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )
A．0.95 B．0.7
C．0.35 D．0.05
解析：选D “抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.
2．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05,0.04,0.02,0.01，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为( )
A．1 000,0.50 B．800,0.50
C．800,0.60 D．1 000,0.60
解析：选D 第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为＝1 000(人)；体重正常的频率为0.40＋0.20＝0.60.
3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C 执行程序S＝1，k＝0；S＝1，k＝1；S＝2，k＝2；S＝8，k＝3，输出S＝8.
4．现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a，b时，则满足a＜|b2－2a|＜的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵试验发生包含的总的基本事件有36种，满足条件的事件需要进行讨论．
若a＝1时，b＝2或3；若a＝2时，b＝1；
∴共有3种情况满足条件，
∴概率为P＝＝.
5．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是( )
评委给高三(1)班打出的分数
A.2 B．3
C．4 D．5
解析：选A ∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，即
＝91.
∴635＋x＝91×7＝637，∴x＝2.
6．为了在运行下面的程序之后输出16，键盘输入的x应该是( )
A．3或－3 B．－5
C．5或－3 D．5或－5
解析：选D 该程序先对x进行判断，当x<0时，执行y＝(x＋1)×(x＋1)计算语句，要使输出值为16，则输入的x为－5.当x>0时，执行y＝(x－1)×(x－1)计算语句，要使输出值为16，则输入的x为5.
7．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为( )
A. B.
C. D．π
解析：选C 如图所示，动点P在阴影部分满足|PA|＜1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S′＝，又正方形的面积是S＝1，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为＝.
8.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示(如右图)．s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＝s2
C．s1＜s2 D．不确定
解析：选C 由茎叶图可知：甲得分为78,81,84,85,92；乙得分为76,77,80,94,93.则甲＝84，乙＝84，则s1＝＝，同理s2＝，故s1＜s2，所以选C.
9．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为，，，共3种，故所求概率为.
10．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8,9～16，…，153～160)，若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：选B ∵＝8，∴抽样间隔为8，
∴第1组中号码为126－15×8＝6.
11．对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：
检测次数
1
2
3
4
5
6
7
8
检测数据ai
(次/分钟)
39
40
42
42
43
45
46
47
对上述数据的统计分析中，一部分计算见如下图所示的程序框图(其中是这8个数据的平均数)，该程序框图输出的值是( )
A．6 B．7
C．8 D．56
解析：选B 该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数＝＝43，故其方差为×[(39－43)2＋(40－43)2＋(42－43)2＋(42－43)2＋(43－43)2＋(45－43)2＋(46－43)2＋(47－43)2]＝7，所以输出的s的值为7.故选B.
12．某公司共有职工8 000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：
所用时间
(分钟)
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
人数
25
50
15
5
5
公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是y＝200＋40，其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( )
A．0.5 B．0.7
C．0.8 D．0.9
解析：选D 由题意知y≤300，
即200＋40≤300，
即≤2.5，解得0≤t<60，
由表可知t∈[0,60)的人数为90人，
故所求概率为＝0.9.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：0 001，0 002，…，1 000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个号码为0 015，则第40个号码为________．
解析：根据系统抽样方法的定义，得第40个号码对应15＋39×20＝795，即得第40个号码为0 795.
答案：0 795
14．有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为________．
解析：如图，将细绳八等分，C，D分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD的任意位置剪断此绳得到的两截细绳长度都大于米．由几何概型的概率计算公式可得，两截的长度都大于米的概率为P＝＝.
答案：
15．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．
解析：从中任意取出两个的所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(2,3)，(2,4)，…，(6,7)共21个．而这两个球编号之积为偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(6,7)共15个．故所求的概率P＝＝.
答案：
16．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量x(千件)
2
3
5
6
成本y(万元)
7
8
9
12
由表中数据得到的线性回归方程＝x＋中＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元．
解析：由表中数据得＝4，＝9，代入回归直线方程得＝4.6，∴当x＝9时，＝1.1×9＋4.6＝14.5.
答案：14.5
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
18．(本小题满分12分)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下：
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
[39.97,39.99)
20
[39.99,40.01)
50
[40.01,40.03]
20
合计
100
(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在图中画出频率分布直方图；
(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批球的直径误差不超过0.03 mm的概率；
(3)统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．
解：(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
0.10
5
[39.97,39.99)
20
0.20
10
[39.99,40.01)
50
0.50
25
[40.01,40.03]
20
0.20
10
合计
100
1
频率分布直方图如图．
(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97,40.03]范围内的概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.
(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．
19．(本小题满分12分)在如图所示的程序框图中，记所有的x的值组成的集合为A，由输出的数据y组成的集合为B.
(1)分别写出集合A，B；
(2)在集合A中任取一个元素a，在集合B中任取一个元素b，求所得的两数满足a>b的概率．
解：(1)由程序框图可知A＝{6,8,10,12,14}，B＝{5,7,9,11,13}．
(2)基本事件的总数为5×5＝25，
设“两数满足a>b”为事件E，
当a＝6时，b＝5；
当a＝8时，b＝5,7；
当a＝10时，b＝5,7,9；
当a＝12时，b＝5,7,9,11；
当a＝14时，b＝5,7,9,11,13，事件E包含的基本事件数为15，故P(E)＝＝.
20．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.
(1)计算甲班的样本方差；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
解：(1)甲班的平均身高为
＝(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，
甲班的样本方差为
s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学的身高，则所有的基本事件有
(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，
而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，
故P(A)＝＝.
21．(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
注：＝，＝－.
解：(1)散点图如图所示．
(2)由表中数据得：
iyi＝52.5，＝3.5，
＝3.5，＝54.
∴＝＝0.7，
∴＝3.5－0.7×3.5＝1.05，
∴＝0.7x＋1.05.
(3)将x＝10代入回归直线方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)．
∴预测加工10个零件需要8.05小时．
22．(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
图①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
图②
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
解：(1)如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
课件22张PPT。
“回扣验收特训”见“回扣验收特训（三）”
(单击进入电子文档)
