2．1.2 系统抽样
预习课本P52，思考并完成以下问题
(1)系统抽样的概念是什么？
(2)系统抽样适用范围是什么？
1．系统抽样的概念
将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．
2．系统抽样的适用范围
适用于样本容量较大，且个体之间无明显差异的情况．
1．某报告厅有50排座位，每排有60个座位(编号1～60)，一次报告会坐满了观众，会后留下座号为18的所有观众进行座谈．这是运用了( )
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样 D．有放回抽样
答案：C
2．为了解1 200名学生对学校教改实验的意见，学校打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为( )
A．40 B．30
C．20 D．12
答案：A
3．乡镇卫生院要从某村72名年龄在60岁以上的老人中，用系统抽样的方法抽取9人，了解心脏功能情况，医生把老人们编号为01～72号，现在医生已经确定抽取了03号， 那么其余被抽到的编号为_______________________________________________．
解析：由系统抽样知，每段中有8人，已知在第一段中选的03号，则下面的各段中依次选的号码应为3＋8＝11,11＋8＝19,19＋8＝27,27＋8＝35,35＋8＝43,43＋8＝51,51＋8＝59,59＋8＝67.
答案：11,19,27,35,43,51,59,67
系统抽样的概念
[典例] 某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．以上都不对
[解析] 上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N*)号，符合系统抽样的特点．
[答案] C
系统抽样的判断方法
(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体．
(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样．
(3)最后看是否等距抽样．
[活学活用]
一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
解析：由题意知，若m＝6，则在第7组中抽取的号码的个位数字与13的个位数字相同，而第7组中编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.
答案：63
系统抽样的设计
[典例] (1)某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k＝＝16，即每16人抽取一人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是________．
(2)某装订厂平均每小时大约装订图书360册，要求检验员每小时抽取40册图书，检验其质量状况，请你设计一个抽样方案．
[解析] (1)因为采用系统抽样方法，每16人抽取一人，1～16中随机抽取一个数抽到的是7，所以在第k组抽到的是7＋16(k－1)，所以从33～48这16个数中应取的数是7＋16×2＝39.
答案：39
(2)解：第一步：把这些图书分成40个组，由于＝9，所以每个小组有9册书；
第二步：对这些图书进行编号，编号分别为0，1，…，359；
第三步：从第一组(编号为0,1，…，8)的书中用简单随机抽样的方法，抽取1册书．比如说，其编号为k；
第四步：按顺序抽取编号分别为下面的数字的图书：k，k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋39×9.这样总共就抽取了40个样本．
系统抽样的4个步骤
(1)编号(在保证编号的随机性的前提下，可以直接利用个体所带有的号码)．
(2)分段(确定分段间隔k，注意剔除部分个体时要保证剔除的随机性和客观性)．
(3)确定起始个体编号l(在第1段采用简单随机抽样来确定)．
(4)按照事先确定的规则抽取样本(通常是将l加上k，得到第2个个体编号l＋k，再将l＋k加上k，得到第3个个体编号l＋2k，这样继续下去，直到获取整个样本)．
[活学活用]
某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
解：(1)先把这253名学生编号000,001，…，252；
(2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这3个号对应的学生；
(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250；
(4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生；
(5)以第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l.
(6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．
这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本.
[层级一 学业水平达标]
1．老师从全班50名同学中抽取学号为3,13,23,33,43的五名同学了解学习情况，其最可能用到的抽样方法为( )
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．随机数法 D．系统抽样
解析：选D 从学号上看，相邻两号总是相差10，符合系统抽样的特征．
2．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B 由系统抽样定义可知，所分组距为＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720－480)÷20＝12.
3．某班级有52名学生，要从中抽取10名学生调查学习情况，若采用系统抽样方法，则此班内每个学生被抽到的机会是________．
解析：52名学生中每名学生被抽到的机会均等，且均为＝.
答案：
4．某学校高一年级有1 003名学生，为了解他们的视力情况，准备按1∶100的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
解：由于总体容量不能被样本容量整除，需先剔除3名学生，使得总体容量能被样本容量整除，取k＝＝100，然后再利用系统抽样的方法进行．
(1)将每位同学由0001至1003编号．
(2)利用随机数表法剔除3名同学．
(3)将剩余的1 000名学生重新编号1至1 000.
(4)分段，取间隔k＝＝100，将总体均分为10组，每组含有100名学生．
(5)从第一段即001到100号中随机抽取一个号l.
(6)按编号将l,100＋l,200＋l，…，900＋l共10个号选出．
这10个号所对应的学生组成所需样本．
[层级二 应试能力达标]
1．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是( )
A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样
B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样
C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
解析：选C A总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B样本容量很小，适宜用随机数法；D总体容量很小，适宜用抽签法．
2．下列抽样不是系统抽样的是( )
A．体育老师让同学们随机站好，然后按1～5报数，并规定报2的同学向前一步走
B．为了调查“地沟油事件”，质检人员从传送带上每隔五分钟抽一桶油进行检验
C．五一期间麦当劳的工作人员在门口发放50份优惠券
D．《唐山大地震》试映会上，影院经理通知每排(每排人数相等)28号观众留下来座谈
解析：选C C中，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的规则入样，所以不是系统抽样．
3．学校为了了解某企业1 203名职工对公司餐厅建设的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为( )
A．40 B．30.1
C．30 D．12
解析：选C 因为1 203除以40不是整数，所以先随机去掉3个人，再除以40，得到每一段有30个人，则分段的间隔k为30.
4．某机构为了了解参加某次公务员考试的12 612名考生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为200的样本，那么从总体中随机剔除个体的数目是( )
A．2 B．12
C．612 D．2 612
解析：选B 因为12 612＝200×63＋12，系统抽样时分为200组，每组63名，所以从总体中随机剔除个体的数目是12.
5．某厂将从64名员工中用系统抽样的方法抽取4名参加2016年职工劳技大赛，将这64名员工编号为1～64，若已知编号为8,24,56的员工在样本中，那么样本中另外一名员工的编号是________．
解析：由系统抽样的知识知，将64名员工对应的编号分成4组，每组16个号码，由题意8,24,56在样本中，知8,24,56分别是从第1,2,4组中抽取的，则第3组中抽取的号码是8＋2×16＝40.
答案：40
6．若总体含有1 645个个体，采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为35的样本，则编号后编号应分为________段，分段间隔k＝________，每段有________个个体．
解析：由N＝1 645，n＝35，知编号后编号应分为35段，且k＝＝＝47，则分段间隔k＝47，每段有47个个体．
答案：35 47 47
7．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均值，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均值，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；
(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．
解析：20个小球分4组，每组5个．
(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17,4球编号平均值为＝9.5.
(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18,4球编号平均值为＝10.5.
答案：(1)9.5 (2)10.5
8．为了了解参加某种知识竞赛的20个班的1 000名学生(每个班50人)的成绩，要抽取一个样本容量为40的样本，应采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．
解：系统抽样的方法比较恰当．
系统抽样的过程：
(1)分别将每个班的50名学生随机地编号为1,2，3，…，50；
(2)在第一个班的学生编号中，利用简单随机抽样抽取两个编号，如15,34；
(3)将其余19个班的编号为15和34的学生成绩取出，这样，所有的编号为15和34的40名学生的成绩就是所要抽取的样本．
9．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分成10组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地取出后面各组的号码，即第k组中抽取号码的后两位数为x＋33k的后两位数．
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．
解：(1)当x＝24时，按规则可知所抽取样本的10个号码依次为：
024,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为：
0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.
又抽取的样本的10个号码中有一个的后两位数是87，
从而x可以是：87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.
所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．
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“层级二 应试能力达标”见“课时跟踪检测(十)”
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课时跟踪检测（十） 系统抽样
1．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是( )
A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样
B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样
C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
解析：选C A总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B样本容量很小，适宜用随机数法；D总体容量很小，适宜用抽签法．
2．下列抽样不是系统抽样的是( )
A．体育老师让同学们随机站好，然后按1～5报数，并规定报2的同学向前一步走
B．为了调查“地沟油事件”，质检人员从传送带上每隔五分钟抽一桶油进行检验
C．五一期间麦当劳的工作人员在门口发放50份优惠券
D．《唐山大地震》试映会上，影院经理通知每排(每排人数相等)28号观众留下来座谈
解析：选C C中，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的规则入样，所以不是系统抽样．
3．学校为了了解某企业1 203名职工对公司餐厅建设的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为( )
A．40 B．30.1
C．30 D．12
解析：选C 因为1 203除以40不是整数，所以先随机去掉3个人，再除以40，得到每一段有30个人，则分段的间隔k为30.
4．某机构为了了解参加某次公务员考试的12 612名考生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为200的样本，那么从总体中随机剔除个体的数目是( )
A．2 B．12
C．612 D．2 612
解析：选B 因为12 612＝200×63＋12，系统抽样时分为200组，每组63名，所以从总体中随机剔除个体的数目是12.
5．某厂将从64名员工中用系统抽样的方法抽取4名参加2016年职工劳技大赛，将这64名员工编号为1～64，若已知编号为8,24,56的员工在样本中，那么样本中另外一名员工的编号是________．
解析：由系统抽样的知识知，将64名员工对应的编号分成4组，每组16个号码，由题意8,24,56在样本中，知8,24,56分别是从第1,2,4组中抽取的，则第3组中抽取的号码是8＋2×16＝40.
答案：40
6．若总体含有1 645个个体，采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为35的样本，则编号后编号应分为________段，分段间隔k＝________，每段有________个个体．
解析：由N＝1 645，n＝35，知编号后编号应分为35段，且k＝＝＝47，则分段间隔k＝47，每段有47个个体．
答案：35 47 47
7．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均值，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均值，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；
(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．
解析：20个小球分4组，每组5个．
(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17,4球编号平均值为＝9.5.
(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18,4球编号平均值为＝10.5.
答案：(1)9.5 (2)10.5
8．为了了解参加某种知识竞赛的20个班的1 000名学生(每个班50人)的成绩，要抽取一个样本容量为40的样本，应采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．
解：系统抽样的方法比较恰当．
系统抽样的过程：
(1)分别将每个班的50名学生随机地编号为1,2，3，…，50；
(2)在第一个班的学生编号中，利用简单随机抽样抽取两个编号，如15,34；
(3)将其余19个班的编号为15和34的学生成绩取出，这样，所有的编号为15和34的40名学生的成绩就是所要抽取的样本．
9．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分成10组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地取出后面各组的号码，即第k组中抽取号码的后两位数为x＋33k的后两位数．
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．
解：(1)当x＝24时，按规则可知所抽取样本的10个号码依次为：
024,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为：
0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.
又抽取的样本的10个号码中有一个的后两位数是87，
从而x可以是：87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.
所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．
