2．3.1 & 2.3.2 变量间的相关关系 两个变量的线性相关
习课本P73～78，思考并完成以下问题预
(1)相关关系是函数关系吗？
(2)什么是正相关、负相关？与散点图有什么关系？
(3)回归直线方程是什么？如何求回归系数？
(4)如何判断两个变量之间是否具备相关关系？
1．两个变量的关系
分类
函数关系
相关关系
特征
两变量关系确定
两变量关系带有随机性
2．散点图
将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．
3．正相关与负相关
(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．
(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．
4．最小二乘法
设x，Y的一组观察值为(xi，yi)，i＝1,2，…，n，且回归直线方程为＝a＋bx，当x取值xi(i＝1,2，…，n)时，Y的观察值为yi，差yi－i(i＝1,2，…，n)刻画了实际观察值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q＝(yi－a－bxi)2作为总离差，并使之达到最小．这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条．由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法．
5．回归直线方程的系数计算公式
回归直线方程
回归系数
系数的
计算公式
方程或
公式
＝＋x
＝
＝－
上方加
记号“^ ”
的意义
区分y的估计值与实际值y
a，b上方加“^ ”表示由观察值按最小二乘法求得的估计值
1．下列命题正确的是( )
①任何两个变量都具有相关关系；
②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．
A．①③④ B．②③④
C．③④⑤ D．②④⑤
解析：选C ①显然不对，②是函数关系，③④⑤正确．
2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
解析：选C 由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．
3．若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为________kg.
解析：把x＝80代入回归方程可得其预测值＝5×80＋250＝650(kg)．
答案：650
4．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，这条回归直线的方程为______________________．
解析：由题意可知＝＝5，
＝＝50.
即样本中心为(5,50)．
设回归直线方程为＝6.5x＋，
∵回归直线过样本中心(，)，
∴50＝6.5×5＋，即＝17.5，
∴回归直线方程为＝6.5x＋17.5
答案：＝6.5x＋17.5
相关关系的判断
[典例] (1)下列关系中，属于相关关系的是________(填序号)．
①正方形的边长与面积之间的关系；
②农作物的产量与施肥量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.
年龄x(岁)
1
2
3
4
5
6
身高y(cm)
78
87
98
108
115
120
①画出散点图；
②判断y与x是否具有线性相关关系．
[解析] (1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
答案：②④
(2)解：①散点图如图所示．
②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系．
两个变量是否相关的两种判断方法
(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．
(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．
[活学活用]
如图所示的两个变量不具有相关关系的是________(填序号)．
解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
答案：①④
求回归方程
[典例] (1)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
(2)一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
①画出散点图；
②如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；
③在实际生产中，若它们的近似方程为y＝x－，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
[解析] (1)依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A、B得A正确．
答案：A
(2)解：①散点图如图所示：
②近似直线如图所示：
③由y≤10得x－≤10，解得x≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内．
求回归直线方程的步骤
(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(数据一般由题目给出)．
(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．
(3)把数据制成表格xi，yi，x，xiyi.
(4)计算，，，iyi.
(5)代入公式计算，，公式为
(6)写出回归直线方程＝x＋.
[活学活用]
已知变量x，y有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程．
解：(1)散点图如图所示．
(2)＝＝，
＝＝，
iyi＝1＋6＋12＋20＝39.
＝1＋4＋9＋16＝30，
＝＝，
＝－×＝0，
所以＝x为所求的回归直线方程.
利用线性回归方程对总体进行估计
[典例] 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程＝x＋；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
[解] (1)散点图如图：
(2)＝＝4.5，＝＝3.5，
iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
所以＝
＝＝0.7，
＝－ ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
所以所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)当x＝100时，＝0.7×100＋0.35＝70.35(吨标准煤)，
90－70.35＝19.65(吨标准煤)．即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤．
只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归直线方程对总体进行估计和预测．否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计和预测结果也是不可信的．
[活学活用]
(重庆高考)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程＝t＋；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．
解：(1)列表计算如下：
i
ti
yi
t
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2.
又－n2＝55－5×32＝10，
iyi－n＝120－5×3×7.2＝12，
从而＝＝1.2，＝－＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
[层级一 学业水平达标]
1．下列变量具有相关关系的是( )
A．人的体重与视力
B．圆心角的大小与所对的圆弧长
C．收入水平与购买能力
D．人的年龄与体重
解析：选C B为确定性关系；A，D不具有相关关系，故选C.
2．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为
A.＝1.5x＋2
B.＝－1.5x＋2
C.＝1.5x－2
D.＝－1.5x－2
解析：选B 设回归方程为＝x＋，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以<0，>0，因此方程可能为＝－1.5x＋2.
3.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示，则以下结论正确的是( )
A．直线l过点(，)
B．回归直线必通过散点图中的多个点
C．直线l的斜率必在(0,1)
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
解析：选A A是正确的；回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B错误；回归直线的斜率不确定，故C错误；分布在l两侧的样本点的个数不一定相同，故D错误．
4．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数5～32人，船员人数y关于吨位x的回归方程为＝9.5＋0.006 2x，
(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数；
(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．
解：(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2，则
1－2＝9.5＋0.006 2x1－(9.5＋0.006 2x2)
＝0.006 2×1 000≈6，
即船员平均相差6人．
(2)当x＝192时，＝9.5＋0.006 2×192≈11，
当x＝3 246时，＝9.5＋0.006 2×3 246≈30.
即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30人和11人．
[层级二 应试能力达标]
1．一个口袋中有大小不等的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(大于5个)，从中取5次，那么取出红球的次数和口袋中红球的数量是( )
A．确定性关系 B．相关关系
C．函数关系 D．无任何关系
解析：选B 每次从袋中取球取出的球是不是红球，除了和红球的个数有关外，还与球的大小等有关系，所以取出红球的次数和口袋中红球的数量是一种相关关系．
2．农民工月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归直线方程为＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高130元
D．当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元
解析：选B 由回归直线方程＝50＋80x知，x每增加1，y增加80，但要注意x的单位是千元，y的单位是元．
3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
解析：选C 计算得，＝＝176，＝＝176，根据回归直线经过样本中心(，)检验知，C符合．
4．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，
C.a′ D.解析：选C 由(1,0)，(2,2)求b′，a′.
b′＝＝2，a′＝0－2×1＝－2.
求，时，iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝3.5，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴＝＝，
＝－×3.5＝－＝－，
∴a′.
5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为＝0.72x－58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm，她的体重应该在________ kg左右．
解析：用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．
答案：69.96
6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
4
5
6
7
8
9
销量y(件)
92
82
80
80
78
68
由表中数据，求得线性回归方程为＝－4x＋，则＝________.
解析：＝＝，
＝＝80，
由回归方程过样本中心点(，)
得80＝－4×＋.
即＝80＋4×＝106.
答案：106
7．对某台机器购置后的运行年限x(x＝1,2,3，…)与当年利润y的统计分析知x，y具备线性相关关系，回归方程为＝10.47－1.3x，估计该台机器最为划算的使用年限为________年．
解析：当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y＝0时，令10.47－1.3x＝0，解得x≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．
答案：8
8．某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x(件)之间有一组数据如下表：
每天销售服装件数x(件)
3
4
5
6
7
8
9
该周内所获纯利y(元)
66
69
73
81
89
90
91
(1)求，；
(2)若纯利y与每天销售这种服装的件数x之间是线性相关的，求回归直线方程；
(3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？
(提示：＝280，＝45 309，iyi＝3 487)
解：(1)＝＝6，
＝≈79.86.
(2)∵＝≈4.75，
＝79.86－4.75×6＝51.36，
∴纯利与每天销售件数x之间的回归直线方程为＝51.36＋4.75x.
(3)当＝200时，200＝4.75x＋51.36，所以x≈31.29.
因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件．
9．2016年元旦前夕，某市统计局统计了该市2015年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入
x(万元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食
支出y
(万元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)如果已知y与x是线性相关的，求回归方程；
(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
(参考数据：iyi＝117.7，＝406)
解：依题意可计算得：
＝6，＝1.83，2＝36， ＝10.98，
又∵iyi＝117.7，＝406，
∴＝≈0.17，
＝－＝0.81，∴＝0.17x＋0.81.
∴所求的回归方程为＝0.17x＋0.81.
(2)当x＝9时，＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．
可估计年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．
课件39张PPT。
“层级二 应试能力达标”见“课时跟踪检测(十四)”
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课时跟踪检测（十四） 变量间的相关关系 两个变量的线性相关
1．一个口袋中有大小不等的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(大于5个)，从中取5次，那么取出红球的次数和口袋中红球的数量是( )
A．确定性关系 B．相关关系
C．函数关系 D．无任何关系
解析：选B 每次从袋中取球取出的球是不是红球，除了和红球的个数有关外，还与球的大小等有关系，所以取出红球的次数和口袋中红球的数量是一种相关关系．
2．农民工月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归直线方程为＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高130元
D．当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元
解析：选B 由回归直线方程＝50＋80x知，x每增加1，y增加80，但要注意x的单位是千元，y的单位是元．
3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
解析：选C 计算得，＝＝176，＝＝176，根据回归直线经过样本中心(，)检验知，C符合．
4．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，C.a′ D.解析：选C 由(1,0)，(2,2)求b′，a′.
b′＝＝2，a′＝0－2×1＝－2.
求，时，iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝3.5，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴＝＝，
＝－×3.5＝－＝－，
∴a′.
5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为＝0.72x－58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm，她的体重应该在________ kg左右．
解析：用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．
答案：69.96
6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
4
5
6
7
8
9
销量y(件)
92
82
80
80
78
68
由表中数据，求得线性回归方程为＝－4x＋，则＝________.
解析：＝＝，
＝＝80，
由回归方程过样本中心点(，)
得80＝－4×＋.
即＝80＋4×＝106.
答案：106
7．对某台机器购置后的运行年限x(x＝1,2,3，…)与当年利润y的统计分析知x，y具备线性相关关系，回归方程为＝10.47－1.3x，估计该台机器最为划算的使用年限为________年．
解析：当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y＝0时，令10.47－1.3x＝0，解得x≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．
答案：8
8．某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x(件)之间有一组数据如下表：
每天销售服装件数x(件)
3
4
5
6
7
8
9
该周内所获纯利y(元)
66
69
73
81
89
90
91
(1)求，；
(2)若纯利y与每天销售这种服装的件数x之间是线性相关的，求回归直线方程；
(3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？
(提示：＝280，＝45 309，iyi＝3 487)
解：(1)＝＝6，
＝≈79.86.
(2)∵＝≈4.75，
＝79.86－4.75×6＝51.36，
∴纯利与每天销售件数x之间的回归直线方程为＝51.36＋4.75x.
(3)当＝200时，200＝4.75x＋51.36，所以x≈31.29.
因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件．
9．2016年元旦前夕，某市统计局统计了该市2015年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入
x(万元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食
支出y
(万元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)如果已知y与x是线性相关的，求回归方程；
(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
(参考数据：iyi＝117.7，＝406)
解：依题意可计算得：
＝6，＝1.83，2＝36， ＝10.98，
又∵iyi＝117.7，＝406，
∴＝≈0.17，
＝－＝0.81，∴＝0.17x＋0.81.
∴所求的回归方程为＝0.17x＋0.81.
(2)当x＝9时，＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．
可估计年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．
