3．3.1 & 3.3.2 几何概型 随机数的含义与应用
预习课本P109～114，思考并完成以下问题
(1)什么是几何概型？
(2)几何概型的概率计算公式是什么？
(3)随机数的含义是什么？它的主要作用有哪些？
1．几何概型
(1)定义：事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．
(2)计算公式：
P(A)＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．
2．随机数
(1)含义
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．
(2)产生
①在函数型计算器上，每次按 键都会产生一个0～1之间的随机数．
②Scilab中用rand( )函数来产生0～1的均匀随机数．如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand( )*(b－a)＋a得到．
1．用随机模拟方法得到的频率( )
A．大于概率 B．小于概率
C．等于概率 D．是概率的近似值
答案：D
2．已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一个元素x，则x∈M∩N的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为N＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{x|－2≤x≤6}，所以M∩N＝{x|1≤x≤2}，所以所求的概率为＝.
3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是，则小狗图案的面积是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设小狗图案的面积为S1，圆的面积S＝π×42＝16π，由几何概型的计算公式得＝，得S1＝.故选D.
4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为＝.
答案：
与长度有关的几何概型
[典例] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
(2)某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率．
[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1，得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝.
答案：
(2)解：设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．
∴P(A)＝＝＝，
即该乘客等车时间超过10 min的概率是.
1．解几何概型概率问题的一般步骤
(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；
(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；
(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；
(4)利用概率公式计算．
2．与长度有关的几何概型问题的计算公式
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
[活学活用]
一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；
(2)黄灯亮；
(3)不是红灯亮．
解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝.
(2)P＝＝＝.
(3)法一：P＝＝＝＝.
法二：P＝1－P(红灯亮)＝1－＝.
与面积和体积有关的几何概型
[典例] (1)(福建高考)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A. B.
C. D.
(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[解析] (1)依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝×3×1＝，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝＝＝，故选B.
(2)先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝.
[答案] (1)B (2)
1．与面积有关的几何概型的概率公式
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
2．与体积有关的几何概型概率的求法
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
[活学活用]
1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R＝.球的体积V2＝πR3＝π.则此点落在正方体内的概率为P＝＝＝.
2．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.
随机模拟法的应用
[典例] 利用随机模拟法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．
[解] 设事件A＝“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．
S1 用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足－1S2 用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；
S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足y<2x，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不变；
S4 表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．
程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．
设阴影部分的面积为S，正方形的面积为4，由几何概型计算公式得P(A)＝.所以＝.所以S＝.即为阴影部分面积的近似值．
利用随机模拟法估计图形面积的步骤
(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示；
(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P(A)＝；
(3)设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有＝，解得S＝S′，则已知图形面积的近似值为S′.
[活学活用]
取一根长度为3 cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 cm的概率有多大？
解：设事件A＝“剪得两段的长都不小于1 cm”．
S1 用记数器n记录做了多少次试验，用记数器m记录其中有多少个数出现在1～2之间(即得两段的长都不小于1 cm)，首先置n＝0，m＝0；
S2 用变换rand( )*3，产生0～3之间的均匀随机数x；
S3 判断剪得两段是否长度都大于1 cm，即是否满足1≤x≤2，若是，则记数器m的值增加1，即m＝m＋1，若不是，m的值不变；
S4 表示随机试验次数的记数器n的值加1，即n＝n＋1；如果还需试验，则返回S2，继续执行，否则程序结束．
程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．
[层级一 学业水平达标]
1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的＝，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为，故选C.
2.如图所示，在一个边长为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C S矩形＝ab，S梯形＝b＝ab.
故所投的点在梯形内部的概率为P＝＝＝.
3．已知函数f(x)＝log2x，x∈，在区间上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为________．
解析：欲使f(x)＝log2x≥0，
则x≥1，而x∈，∴x0∈[1,2]，
从而由几何概型概率公式知所求概率P＝＝.
答案：
4．已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP-ABC<VS-ABC的概率是________．
解析：由VP-ABC<VS-ABC知，P点在三棱锥S-ABC的中截面A0B0C0的下方，P＝1－＝1－＝.
答案：
[层级二 应试能力达标]
1．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.
2.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C △ABE的面积是矩形ABCD面积的一半，由几何概型知，点Q取自△ABE内部的概率为.
3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D．1－
解析：选D S扇形＝×π×22＝π，
S阴影＝S扇形－S△OAB＝π－×2×2＝π－2，
∴P＝＝1－.
4．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2＜1”，则P(A)为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选A 如图，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x，y)与圆x2＋y2＝1内的点一一对应，所以P(A)＝.
5．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________．
解析：由于方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根，
∴Δ≥0，即1－4n≥0，∴n≤，
又n∈(0,1)，∴有实根的概率为P＝＝.
答案：
6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．
解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，
则P(A)＝＝0.005.
答案：0.005
7．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．
解析：点P到点A的距离小于等于a可以看做是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．
P＝＝π.
答案：π
8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为×π×1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为×π×12.22 cm2的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为P(B)＝＝0.01.
即“射中黄心”的概率是0.01.
9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝＝5.
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为2，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.
故所求概率为P＝＝.
课件32张PPT。
“层级二 应试能力达标”见“课时跟踪检测(十九)”
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课时跟踪检测（十九） 几何概型 随机数的含义与应用
1．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.
2.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C △ABE的面积是矩形ABCD面积的一半，由几何概型知，点Q取自△ABE内部的概率为.
3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D．1－
解析：选D S扇形＝×π×22＝π，
S阴影＝S扇形－S△OAB＝π－×2×2＝π－2，
∴P＝＝1－.
4．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2＜1”，则P(A)为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选A 如图，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x，y)与圆x2＋y2＝1内的点一一对应，所以P(A)＝.
5．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________．
解析：由于方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根，
∴Δ≥0，即1－4n≥0，∴n≤，
又n∈(0,1)，∴有实根的概率为P＝＝.
答案：
6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．
解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，
则P(A)＝＝0.005.
答案：0.005
7．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．
解析：点P到点A的距离小于等于a可以看做是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．
P＝＝π.
答案：π
8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为×π×1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为×π×12.22 cm2的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为P(B)＝＝0.01.
即“射中黄心”的概率是0.01.
9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝＝5.
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为2，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.
故所求概率为P＝＝.
