1．1.1 算法的概念
预习课本P3～6，思考并完成以下问题
(1)在数学中算法是如何定义的？
(2)算法有哪四种描述方式？
(3)设计算法的两个要求是什么？
1．算法
(1)概念：
说法①：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤．
说法②：按照要求设计好的有限的确切的计算序列．
(2)作用：
这样的步骤或序列能够解决一类问题．
2．算法的描述方式
方式
3．设计算法的两个要求
(1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能重复使用．
(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果．
1．下列叙述不能称为算法的是( )
A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海
B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1
C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22
D．解方程x2－2x＋1＝0
答案：D
2．算法的有限性是指( )
A．算法必须包含输出
B．算法中每个操作步骤都是可执行的
C．算法的步骤必须有限
D．以上说法均不正确
答案：C
3．以下有六个步骤：①拨号；②等拨号音；③提起话筒(或免提功能)；④开始通话或挂机(线路不通)；⑤等复话方信号；⑥结束通话．
写出一个打本地电话的算法________(只写序号)．
解析：按照打本地电话的基本操作流程来写，应是③②①⑤④⑥.
答案：③②①⑤④⑥
4．给出一个问题的算法
S1 输入a.
S2 若a≥4，则执行S3；否则执行S4.
S3 y＝2a.
S4 y＝a2.
S5 输出y.
当输入的值a＝5时，则输出的y值为________．
解析：所给问题是求函数值问题．
已知函数解析式为y＝所以当a＝5时，y＝10.
答案：10
算法概念的理解
[典例] 以下关于算法的说法正确的是( )
A．描述算法可以有不同的方式，可用形式语言也可用其它语言
B．算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题
C．算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果
D．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果
[解析] 算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或计算序列能够解决一类问题．算法过程要求一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，只能有唯一结果，而且经过有限步后，必须有结果输出后终止，描述算法可以有不同的语言形式，如自然语言、框图语言及形式语言等．
[答案] A
有关算法概念的解题策略
(1)判断题应根据算法的特点进行求解；
(2)步骤要有限，前后有顺序，步步都明确．特别注意能在有限步内求解某一类问题，其中的每个步骤必须是明确可行的，不能模棱两可，对同一个问题可设计不同的算法．
[活学活用]
下列各式中S值不可以用算法求解的是( )
A．S＝1＋2＋3＋4
B．S＝12＋22＋32＋…＋1002
C．S＝1＋＋…＋
D．S＝1＋2＋3＋4＋…
解析：选D 由算法的有限性知，D不正确，而A、B、C都可以通过有限步骤操作，输出确定结果.
算法的设计
[典例] 求两底半径分别为2和4，高为4的圆台的表面积，写出该问题的算法．
[解] 圆台如图所示，算法如下：
S1 令r1＝2，r2＝4，h＝4.
S2 计算l＝.
S3 计算S表＝πr＋πr＋π(r1＋r2)l.
S4 输出运算结果．
设计具体问题的算法的一般步骤
(1)分析问题，找出解决问题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
[活学活用]
已知函数f(x)＝x2，g(x)＝2x－log2x(x≠0)．
(1)写出求g(f(x))的值的一个算法；
(2)若输入x＝－2，则g(f(x))输出的结果是什么？
解：(1)S1 输入x的值(x≠0)．
S2 计算y＝x2的值．
S3 计算z＝2y－log2y的值．
S4 输出z的值．
(2)当x＝－2时，由上面的算法可知y＝4，
z＝24－log24＝14，故输出的结果为14.
算法在实际生活中的应用
[典例] 到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取手续费，超过5 000元的一律收取50元手续费．试写出汇款额为x元时，计算银行手续费的一个算法．
[解] 算法步骤如下：
S1 输入自变量x的值；
S2 判断x的范围，若x≤100，则y＝1，若100S3 输出函数值y.
实际生活问题算法设计的步骤
(1)弄清已知，明确要求；
(2)建立过程模型；
(3)根据过程模型设计算法步骤，在写算法时应简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现出思维的严密性和完善性．
[活学活用]
一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？
解：S1 把银元分成3组，每组3枚；
S2 将其中两组分别放在天平两边，如果左右不平衡，则假银元就在轻的那一组；如果左右平衡，则假银元就在未称的第3组；
S3 从含有假银元的那一组中任取两枚银元放在天平两边，如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．
[层级一 学业水平达标]
1．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是( )
①S＝＋＋＋…＋；
②S＝＋＋＋…＋＋…；
③S＝＋＋＋…＋(n≥1且n∈N＋)．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析：选B 因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解．
2．结合下面的算法：
S1 输入x.
S2 判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行S3.
S3 输出x－1.
当输入的x的值为－1时，输出的结果为( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
解析：选C 根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤，当x的值为－1时，应执行x＋2这一步骤，所以输出的结果应为1，故选C.
3．给出下列算法：
S1 输入x的值．
S2 当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步．
S3 计算y＝.
S4 输出y.
当输入x＝0时，输出y＝________________.
解析：0＜4，执行S3，y＝＝2.
答案：2
4．用高斯消去法计算二元一次方程组的解．
解：S1 计算D＝3×(－1)－1×(－2)＝－1.
S2 D＝－1≠0，则x＝＝－2，
y＝＝－6.
S3 输出x，y的值．
[层级二 应试能力达标]
1．下列对算法的理解不正确的是( )
A．算法只能用自然语言来描述
B．算法可以用图形方式来描述
C．算法一般是“机械的”，有时要进行大量重复的计算，它的优点是可以解决一类问题
D．设计算法要本着简单、方便、可操作的原则
解析：选A 由算法的概念和描述方式知，A不正确．
2．对于一般的二元一次方程组在写解此方程组的算法时需要我们注意的是( )
A．a1≠0 B．a2≠0
C．a1b2－a2b1≠0 D．a1b1－a2b2≠0
解析：选C 应用高斯消去法解方程组其实质是利用加减消元法．首先要将两方程y的系数化为相同即b1b2，此时x的系数分别为a1b2和a2b1两式相减得(a1b2－a2b1)x＝c1b2－c2b1，要得出x的值，则需注意a1b2－a2b1≠0.
3．阅读下面的算法：
S1 输入两个实数a，b.
S2 若a＜b，则交换a，b的值，否则执行第三步．
S3 输出a.
这个算法输出的是( )
A．a，b中的较大数 B．a，b中的较小数
C．原来的a的值 D．原来的b的值
解析：选A 第二步中，若a＜b，则交换a，b的值，那么a是a，b中的较大数；若a＜b不成立，即a≥b，那么a也是a，b中的较大数．
4．对于算法：
S1 输入n.
S2 判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行S3.
S3 依次从2到(n－1)检验能不能整除n，若不能整除n，则执行S4；若能整除n，则执行S1.
S4 输出n.
满足条件的n是( )
A．质数 B．奇数
C．偶数 D．约数
解析：选A 从题目的条件可以看出，输出的n没有约数，因此是质数．
5．给出算法步骤如下：
S1 输入x的值；
S2 当x<0时，计算y＝x＋1，否则执行S3；
S3 计算y＝－x2；
S4 输出y.
当输入x的值为－2,3时，输出y的结果分别是______．
解析：由算法步骤可知，其算法功能是已知函数y＝当输入x的值时，求对应的y值．因为－2<0，所以对应函数解析式为y＝x＋1，因此y＝－2＋1＝－1；当x＝3时，则对应函数解析式为y＝－x2，因此y＝－32＝－9.
答案：－1，－9
6．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的步骤是________(填序号)．
①配方得(x－2)2＝1；
②移项得x2－4x＝－3；
③解得x＝1或x＝3；
④开方得x－2＝±1.
解析：使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行．
答案：②①④③
7．已知直角三角形两条直角边长分别为a，b(a>b)，写出求两直角边所对的最大角θ的余弦值的算法如下：
S1 输入两直角边长a，b的值；
S2 计算c＝的值；
S3 ________________________；
S4 输出cos θ.
将算法补充完整，横线处应填________________．
解析：根据题意知，直角三角形两直角边a，b(a>b)所对最大角θ的余弦值为，所以应填“计算cos θ＝的值”．
答案：计算cos θ＝的值
8．某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人或3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费．
解：设某户有x人，根据题意，应收取的卫生费y是x的分段函数，即y＝
算法如下：
S1 输入人数x.
S2 如果x≤3，则y＝5；如果x>3，则y＝1.2x＋1.4.
S3 输出应收卫生费y.
9．已知直线l1：3x－y＋12＝0和直线l2：3x＋2y－6＝0，求直线l1与l2及y轴所围成的三角形面积，写出解决本题的一个算法．
解：S1 解方程组得直线l1，l2的交点P(－2,6)．
S2 在方程3x－y＋12＝0中令x＝0，得y＝12，从而得到A(0,12)．
S3 在方程3x＋2y－6＝0中令x＝0，得y＝3，得到B(0,3)；
S4 求出△ABP的底边长|AB|＝12－3＝9；
S5 求出△ABP的底边AB上的高h＝2；
S6 根据三角形的面积公式计算
S＝|AB|·h＝×9×2＝9.
课件25张PPT。
“层级二 应试能力达标”见“课时跟踪检测(一)”
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课时跟踪检测（一） 算法的概念
1．下列对算法的理解不正确的是( )
A．算法只能用自然语言来描述
B．算法可以用图形方式来描述
C．算法一般是“机械的”，有时要进行大量重复的计算，它的优点是可以解决一类问题
D．设计算法要本着简单、方便、可操作的原则
解析：选A 由算法的概念和描述方式知，A不正确．
2．对于一般的二元一次方程组在写解此方程组的算法时需要我们注意的是( )
A．a1≠0 B．a2≠0
C．a1b2－a2b1≠0 D．a1b1－a2b2≠0
解析：选C 应用高斯消去法解方程组其实质是利用加减消元法．首先要将两方程y的系数化为相同即b1b2，此时x的系数分别为a1b2和a2b1两式相减得(a1b2－a2b1)x＝c1b2－c2b1，要得出x的值，则需注意a1b2－a2b1≠0.
3．阅读下面的算法：
S1 输入两个实数a，b.
S2 若a＜b，则交换a，b的值，否则执行第三步．
S3 输出a.
这个算法输出的是( )
A．a，b中的较大数 B．a，b中的较小数
C．原来的a的值 D．原来的b的值
解析：选A 第二步中，若a＜b，则交换a，b的值，那么a是a，b中的较大数；若a＜b不成立，即a≥b，那么a也是a，b中的较大数．
4．对于算法：
S1 输入n.
S2 判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行S3.
S3 依次从2到(n－1)检验能不能整除n，若不能整除n，则执行S4；若能整除n，则执行S1.
S4 输出n.
满足条件的n是( )
A．质数 B．奇数
C．偶数 D．约数
解析：选A 从题目的条件可以看出，输出的n没有约数，因此是质数．
5．给出算法步骤如下：
S1 输入x的值；
S2 当x<0时，计算y＝x＋1，否则执行S3；
S3 计算y＝－x2；
S4 输出y.
当输入x的值为－2,3时，输出y的结果分别是______．
解析：由算法步骤可知，其算法功能是已知函数y＝当输入x的值时，求对应的y值．因为－2<0，所以对应函数解析式为y＝x＋1，因此y＝－2＋1＝－1；当x＝3时，则对应函数解析式为y＝－x2，因此y＝－32＝－9.
答案：－1，－9
6．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的步骤是________(填序号)．
①配方得(x－2)2＝1；
②移项得x2－4x＝－3；
③解得x＝1或x＝3；
④开方得x－2＝±1.
解析：使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行．
答案：②①④③
7．已知直角三角形两条直角边长分别为a，b(a>b)，写出求两直角边所对的最大角θ的余弦值的算法如下：
S1 输入两直角边长a，b的值；
S2 计算c＝的值；
S3 ________________________；
S4 输出cos θ.
将算法补充完整，横线处应填________________．
解析：根据题意知，直角三角形两直角边a，b(a>b)所对最大角θ的余弦值为，所以应填“计算cos θ＝的值”．
答案：计算cos θ＝的值
8．某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人或3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费．
解：设某户有x人，根据题意，应收取的卫生费y是x的分段函数，即y＝
算法如下：
S1 输入人数x.
S2 如果x≤3，则y＝5；如果x>3，则y＝1.2x＋1.4.
S3 输出应收卫生费y.
9．已知直线l1：3x－y＋12＝0和直线l2：3x＋2y－6＝0，求直线l1与l2及y轴所围成的三角形面积，写出解决本题的一个算法．
解：S1 解方程组得直线l1，l2的交点P(－2,6)．
S2 在方程3x－y＋12＝0中令x＝0，得y＝12，从而得到A(0,12)．
S3 在方程3x＋2y－6＝0中令x＝0，得y＝3，得到B(0,3)；
S4 求出△ABP的底边长|AB|＝12－3＝9；
S5 求出△ABP的底边AB上的高h＝2；
S6 根据三角形的面积公式计算
S＝|AB|·h＝×9×2＝9.
